专题16 导数与函数的单调性（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 8
【考点1】不含参函数的单调性 8
【考点2】含参函数的单调性 15
【考点3】根据函数的单调性求参数 21
【考点4】函数单调性的应用 28
【分层检测】 37
【基础篇】 37
【能力篇】 45
【培优篇】 48
考试要求：
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
参考答案：
1．C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
2．A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
3．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
5．BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
6．
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
【考点1】不含参函数的单调性
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若曲线在处的切线方程为，则
B．若，则函数的单调递增区间为
C．若，则函数在区间上的最小值为
D．若，则的取值范围为
三、填空题
3．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ．
四、解答题
4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点．
(1)求实数的值；
(2)求函数的单调区间与极值．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
(1)求在处的切线；
(2)比较与的大小并说明理由.
6．（2024·北京西城·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若集合有且只有一个元素，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】首先利用导数求出函数在上的单调性，再根据奇函数的性质得到函数在上的单调性，即可判断.
【详解】当时，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又函数是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增，在上单调递减.
故选：D
2．BD
【分析】由，可判定A错误；当，利用导数求得的单调递增区间，可判定B正确；当，利用导数求得函数的的单调性，求得在上的最小值为，可判定C错误；根据题意，分和、，结合函数的单调性，以及，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为函数，可得，
则，所以，解得，所以A错误；
对于B中，若，则，
当时，可得，所以的单调递增区间为，所以B正确；
对于C中，若，则，
令，解得或（舍去），
当，即时，在上，可得，在上是增函数，
所以函数在上的最小值为；
当，即时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在上的最小值为，所以C错误；
对于D中，因为，当时，，所以函数在上是增函数，
则，所以成立；
当时，由C项知：当时，，则成立；
当时，，即在区间上存在使得，
则不成立，
综上，实数的取值范围为，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】方法技巧：利用导数研究函数的极值、最值等问题的求解策略：
1、求函数在闭区间上的最值时，在得到函数的极值的基础上，结合区间端点的函数值与的各极值进行比较得到函数的最值；
2、若所给函数含有参数，则需通过对参数分离讨论，判断函数的单调性，从而的函数的最值；
3、若函数在区间上有唯一的极值点，这个极值点就是函数的最值点，此结论在导数的实际问题中经常使用.
3．
【分析】利用导数求当时的单调递增区间，再根据奇函数的对称性求得结果.
【详解】当时，,
由，解得，所以在区间上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以函数图象关于原点对称，
所以在区间上单调递增.
故答案为：.
4．(1)
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到切线方程，由切线过点代入计算可得；
（2）由（1）可得的解析式，利用导数求出函数的单调性，即可求出极值.
【详解】（1）因为，则，
所以，，
故直线，
又直线在轴上的截距为，所以，解得．
（2）由（1）得，的定义域为，
又，
由，解得或；由，解得，
所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，
所以在处取得极大值，即，
在处取得极小值，即．
5．(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）求得，得到在上单调递增，结合，得到即可得到.
【详解】（1）解：因为函数，可得，
可得，且，
所以在处的切线方程为，即.
（2）解：由，可得，所以在上单调递增，
又由，所以时，，即在上恒成立，
所以，即.
6．(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为
(3)
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；
（2）对函数求导得到，由函数定义域知，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；
（3）对函数求导得到，再分和两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.
【详解】（1）当时，，
所以,得到，
所以曲线在点处切线的斜率为．
（2）当时，，易知的定义域为，
又，
因为，所以，
所以时，，时，
所以的单调递增区间为；单调递减区间为．
（3）因为，所以，
易知，当时，的定义域为，
所以恒成立，故在上单调递增，
又，所以不合题意，
当时，的定义域为，此时，
所以时，，时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以．
设，则，
当时，，时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为．
所以，
所以集合有且只有一个元素时．
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：
一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；
二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；
三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
反思提升：
确定函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
【考点2】含参函数的单调性
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．当时，有两个零点
C．一定存在零点
D．若存在，有，则
三、填空题
3．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数恰有两个零点，则 .
四、解答题
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程;
(2)若，讨论的单调性.
5．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
6．（2024·河南·二模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
参考答案：
1．D
【分析】由已知结合奇函数定义先求出当时的函数解析式，然后利用导数对进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求．
【详解】因为是定义域为的奇函数，且当时，．
当时，，则，
所以当时，，此时
当时，在，上恒成立，函数在，上单调递增，当时，函数取得最小值，解得（舍，
当时，，，函数单调递减；，，函数单调递增，时，函数取得最小值，解得，
综上，．
故选：D．
2．BD
【分析】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，即可判断A、C、D，结合零点存在性定理判断B.
【详解】定义域为，，
当时恒成立，所以在上单调递增，
当时令解得，令解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，故A错误；
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
当时，，当时，，
由零点存在定理可知，当时，有两个零点，故B正确；
当时，，故不存在零点，故C错误；
当时在上单调递增，不存在使得，
当时在上单调递增，在上单调递减，
所以若存在，有，则，故D正确.
故选：BD．
3．
【分析】利用导数，求出的单调区间，由函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，从而建立等量关系求解可得.
【详解】因为，
所以
令，则，令，
故当时，函数为增函数，
当时，函数为减函数，
即当时函数有最小值，
若，即时，此时函数在R上为增函数，与题意不符，且当时，的零点为1；
若，即时，此时函数与x轴有两个不同交点，
设交点为，且，即，
所以当或时，即，此时函数为增函数，
当时，即，此时函数为减函数，
依题意，函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，即或，
所以或，
所以，所以，
故答案为：.
【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：
设
方法一：转化为函数与x轴交点个数问题，通过求解单调性构造不等式求解；
方法二：转化为函数的交点个数问题求解.
4．(1)
(2)增区间为，，减区间为
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；
（2）对求导，根据条件得到的两根为，，进而得出，当或时，，当，，即可求出结果.
【详解】（1）当时，，所以，
当时，，又，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）因为，所以，
令，得到，因为，又，所以，
即有两根，由求根公式知两根为，，且，
所以，当或时，，当，，
故的增区间为，，减区间为.
5．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）结合二次函数的性质，对分类讨论计算即可得.
【详解】（1）当时，，
，
所求切线方程为，整理得：；
（2），
因为，故时，在上单调递增，
当时，对于，
若，则，此时在上单调递增，
若，令，得，
当时，单调递增；
当时，单调递增；
当时，单调递减；
综上所述：时，在上单调递增；
时，在、上单调递增，在上单调递减.
6．(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）直接使用导数并分类讨论即可；
（2）先证明熟知的结论，然后在条件中的不等式里取直接得到，再利用不等式及其取对数后的，直接得出时不等式恒成立；
（3）结合及其对数版本的取等条件，得到，然后即可直接得到要证明的结果.
【详解】（1）由，有.
当时，，
所以在上单调递减；
当时，有，
故当时，当时.
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）先证明一个结论：对任意实数都有，且不等号两边取等当且仅当.
证明：设，则，
从而当时有，当时有.
从而在上递减，在上递增，
故，即，且等号只在时成立，这就证明了结论.
回到原题.
代入的表达式，将题目中的不等式等价变形为.
整理得到，故我们要求的取值范围使得对恒成立.
一方面，若该不等式恒成立，则特别地对于成立，即，从而；
另一方面，若，则对，利用之前证明的结论可以得到，再取对数又能得到，
所以，故原不等式对任意恒成立.
综上，的取值范围是.
（3）对，由于，故由（2）证明的结论，有，再取对数得到.
所以
，这就证明了结论.
反思提升：
1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
【考点3】根据函数的单调性求参数
一、单选题
1．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·广东茂名·一模）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
三、填空题
3．（22-23高二下·广西·期中）若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数，
(1)若在定义域内是减函数，求a的取值范围；
(2)当时，求的极值点．
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)若在区间上不是单调函数，求的取值范围．
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数．
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若的最小值为6，求实数的值．
参考答案：
1．A
【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选：A.
2．CD
【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可．
【详解】由题意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在，上单调递减，
若函数在区间上单调，
则或或，解得或或，
即或.
故选：CD.
3．
【分析】将题意转化为：在有解，利用参变量分离得到，转化为，结合导数求解即可．
【详解】，等价于在有解，即在有解，
即在有解，所以，
令，
则，即在上是增函数，
∴，所以.
故答案为：.
4．(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）先由在定义域内是减函数得出对于，恒成立，进而分离参数将问题转化为函数的最值；再利用基本不等式得出，即可解答.
（2）分和两种情况讨论，在每一种情况中借助导数判断函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由可得：函数定义域为，.
因为在定义域内是减函数，
所以对于，恒成立，即对于，恒成立.
则对，恒成立.
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
则，
所以
故a的取值范围为.
（2）因为，，
所以当时，，则函数在上单调递增，此时无极值点；
当时，方程的判别式，方程两根为，.
令，解得；
令，解得或，
则函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极小值点为，极大值点为.
综上可得：当时， 无极值点；
当时，函数的极小值点为，极大值点为.
5．(1)
(2)．
【分析】（1）首先对原函数求导，方法一：通过讨论a的范围得到函数的单调区间，只需要极值点在区间内即可求出a的范围；方法二：求出函数恒单调时a的取值范围，取其补集即可；
（2）原不等式整理后可得在上恒成立，构造新函数，，通过二次求导结合分类讨论思想即可得到答案.
【详解】（1）方法一 由，得．
若，则恒成立，为增函数，不符合题意．
若，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在区间上不是单调函数，所以，
所以，所以．
方法二 由，得．
若在区间上是单调函数，
则或在上恒成立．
若在上恒成立，则在上恒成立，所以．
若在上恒成立，则在上恒成立，所以．
所以若在区间上不是单调函数，则．
（2）当时，，即，
整理得在上恒成立．
令，，则．
令，则．
因为，所以，所以在上为增函数，
所以在上为增函数．
所以．
所以．
当，即时，恒成立，所以在上为增函数，
所以，即恒成立．
当，即时，因为在上单调递增，所以，使得．
即当时，，当时，．
又因为，所以在上不恒成立．
综上可知，的取值范围是．
【点睛】第二问转化为在上恒成立，其实只要注意到，必有成立，可以得到这个必要条件，然后再论证是满足题意也是可行的.
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数单调性得到恒成立，再令新函数，根据单调性求最值即可.
（2）根据函数单调性构造函数，再根据零点存在定理求出零点，解出方程即可求出的值.
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，，
因为在上单调递减，所以恒成立且不恒为0，
所以，即恒成立．
设，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，
则，
所以实数的取值范围是．
（2）解法一 由（1）知，，
因为的最小值为6，所以，得．
设，则，
所以在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，
当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增，
所以．
因为，所以，
解得（舍去）或，
所以．
解法二 由题意知在上恒成立，则在上恒成立．
令，则，
，
由得，由得或，
所以在和上单调递减，在上单调递增．
又，当时，，
所以，故．
因为的最小值为6，所以．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性问题，其中关键是零点存在定理的应用.在研究函数的单调性时，利用零点存在定理找到导函数的隐零点，即存在，使得，再根据最值求解的值即可.
反思提升：
根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【考点4】函数单调性的应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·江苏·三模）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且满足（为函数的导函数），，若存在，使得，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2023·山东·模拟预测）已知函数及其导函数满足，且．
(1)求的解析式，并比较，，的大小；
(2)试讨论函数在区间上的零点的个数．
5．（2024·河南开封·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(2)函数；若方程在上存在实根，试比较与的大小．
6．（23-24高三下·浙江杭州·阶段练习）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)，，求的最小值；
(3)若在区间存在零点，求的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】结合已知要比较函数值的结构特点，构造函数，利用导数研究函数单调性，通过函数单调性比较大小即可.
【详解】构造函数，则，，，
由，令得，令得，
则在上单调递增，在上单调递减．
因为，所以，所以；
因为，所以，所以；
令，且，则，
令，，
则，
所以在上单调递增，
又，所以，所以，
因为，且，所以，所以.
故选：B
2．BC
【分析】对于A，利用三角函数的性质判断出，，即可判断；对于B，判断出，即可判断；对于C，令，，利用导数判断单调性即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断出，即可判断，
【详解】对于A，∵，
，
∴，故A错误；
对于B，记，，则，
记，，则，
令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增，
而，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，，所以，
所以，，，故，故B正确；
对于C，记，则，
令，得；令，得；
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以对任意，都有，即恒成立，
令，，所以，
对于函数，，因为恒成立，
所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，
因为，即，所以，
因为，
所以，故C正确，
对于D，令，若，令，
，由解得：，解得：，
所以在上单调递减；上单调递增，所以，
记，因为，
所以在上单调递增，因为，
所以，即，
所以，则，故D错.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：比较大小类题目解题方法：
（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.
3．
【分析】利用已知以及导数的运算法则求得的解析式，进而参变分离，得到在上有解，令，通过求得，可求得实数的取值范围．
【详解】由及得，
故，故（为常数），又，
所以，解得，所以．
由存在，使得，得在上有解．
令，则，
当时，，，则；
当时，，，则．
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用导数求出的解析式，再利用分离参数处理能成立问题.
4．(1)
(2)2个
【分析】（1）可设，得到，利用导数得到函数的单调性，结合时，，求得，再设函数，得到函数在上单调递增，进而得到，即可求解；
（2）根据题意，当时，；当时，，分，和，三种情况讨论，求得函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，
可设且为常数，
令，可得，所以，
则，当时，，所以在单调递增，
因为均小于，只需比较这三个数的大小即可，
设，
因为当时，，所以，所以，又，所以，
设函数，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，所以，
所以.
（2）解：由题意知，函数，
当时，；当时，，
（i）令，当时，，
所以在上单调递减，
因为，所以存在唯一的，使得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减；
（ii）当时，令，则，
所以在上单调递减，所以，
又因为在上，，
所以，在上单调递减；
（iii）当时，，在上单调递减，
由（i）（ii）（iii）可得，在上单调递增，在在上单调递减，
因为，
所以存在唯一的，使得，
故在区间上仅有两个零点.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
5．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性与极值；
（2）利用导数说明的单调性，即可得到，，令，则方程在，上存在实根，结合（1）中函数的单调性，可得，即，则，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，所以在上单调递增，无极值，
当时，令，解得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，取到极小值，无极大值，
综上所述，当时，在上单调递增，无极值，
当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值．
（2）因为，，
则，
令，解得或（舍），
所以当时，单调递增，
所以，即，
令，，则，
若方程在上存在实根，
则方程在，上存在实根，
当时在上单调，则在上有解，
即应该在上有解，但是在上无解，不合题意，
所以在上不单调，即，
由（1）知，即，
所以，，
令，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
6．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）当时，有，由基本不等式有，当时，有，可得，继而得证；
（2）由，需判断正负，通过指对同构，只需判断，设，，通过求导判断出即可；
（3）通过时函数值正负，易得时函数无零点；当时，通过假设函数恒大于，进而得出矛盾说明函数存在零点.
【详解】（1）证明：函数，定义域为，当时，有，
由基本不等式有，当且仅当即时等号成立，
则当时，有，则，可得，即.
（2）函数，.
令，则，解得，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增. 由已知当时，
设，则，.设，，设，由，所以单调递增.又因为，当时，，则，，即，即.
所以时， ，即单调递减 ； 时， ，单调递增.所以.由有解，得，即的最小值为.
（3）若，恒成立恒成立.
而 ，二者矛盾，因此当时有零点，
当 时，无零点；
当 时，，无零点.
反思提升：
1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·四川凉山·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·天津·期中）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数在上为增函数
B．函数在上为增函数
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的值域为R
C．若是的极值点，则
D．若是的极小值点，则在区间单调递减
三、填空题
7．（21-22高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，，若对，，且，使得，则实数a的取值范围是 .
8．（23-24高二下·湖北·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ．
9．（23-24高二下·江苏·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ．
四、解答题
10．（23-24高二下·北京·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若曲线在直线的上方，求实数的取值范围．
11．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函数在点处的切线的斜率为
(1)求；
(2)求的单调区间和极值．
12．（23-24高二下·江苏·期中）设函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值：
(3)若在上存在增区间，求的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】利用导数判断的单调性，结合单调性比较大小.
【详解】因为在上恒成立，可知在上单调递增，
又，所以.
故选：D.
2．A
【分析】根据函数解析求出定义域，求导，求解单调性.
【详解】由的定义域为，，
令，解得,
当,则，
所以的单调递减区间为，
故选：A
3．B
【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得.
【详解】依题意，在区间上能成立，
即在区间上能成立，
设，则，故只需求在上的最小值，
而在时，取得最小值，故得.
故选：B.
4．A
【分析】由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围.
【详解】因为函数，则，
因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，
所以，即，经检验，当也符合.
故选：A.
5．AD
【分析】结合的图象，分析的取值情况，即可得到的单调性与极值点.
【详解】由图可知当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
所以在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，
在上为增函数，故A正确，B错误，
则在处取得极大值，处取得极小值，
即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确.
故选：AD
6．ABC
【分析】求导可得，利用导数分类讨论当、时对应的单调性，结合极值点的概念依次判断选项即可.
【详解】，则，
当即时，方程至多有1个实根，
此时，函数在R上单调递增；
当即时，方程有2个不等的实根，设为，且，
则，；，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
A：当时，；当时，，所以，故A正确；
B：由选项A知，的值域为R，故B正确；
C：若是的极值点，则，故C正确；
D：若是的极小值点，则，
在上单调递增，在上单调递减，故D错误.
故选：ABC
7．
【分析】根据二次函数的性质求出函数的值域，利用导数讨论函数的单调性，进而作出其大致图象，根据图象列出不等式组，解之即可.
【详解】因为函数，
所以，
所以对，函数的值域为；
由，，
得，
当时，，函数单调递减，不符合题意，
所以，令，解得，则，否则不符题意
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
作出函数在上的大致图象，如图，
由图象可知，要使对，使得成立，
则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
8．
【分析】利用导函数值恒大于或等于0来研究原函数单调递增，即可解决问题.
【详解】由得：，
因为在区间上单调递增，所以，
即，又因为，所以，
即，
故答案为：.
9．
【分析】根据导数研究函数的单调性，将单调区间的端点代入导函数值为零，计算并验证即可.
【详解】由题意可得：且，解得
此时，令解得符合题意，故.
故答案为：.
10．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程；
（2）依题意可得当时，恒成立，参变分离可得当时，恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的范围，从而得解.
【详解】（1）当时，，则，
所以切线斜率，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）由题意可知，当时，恒成立，
即当时，恒成立，
设，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
即实数的取值范围为．
11．(1)
(2)的单调递增区间为、，的单调递减区间为，极大值，极小值.
【分析】（1）由求得；
（2）由确定的单调区间和极值．
【详解】（1），则， 解得；
（2）由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
12．(1)
(2)单调减区间为，单调增区间为，极小值为2
(3)
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求得的值；
（2）利用导数与单调性以及极值的关系即可求解；
（3）将在上存在增区间转化为有解，分离参数，即可求出的取值范围.
【详解】（1）由题可得，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，解得；
（2）由（1）知，令，解得
由，解得，由，解得，
所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取得极小值；
（3）由在上存在增区间，
即在上有解，
即在上有解，所以，
令，易知在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以
即的取值范围为.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·辽宁·二模）已知定义在R上的函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若，则在上的最小值为0
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
三、填空题
3．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，若在,上单调递增，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)证明：.
参考答案：
1．A
【分析】构造函数并判断奇偶性，通过导函数求出函数的单调区间，根据函数单调性比较大小即可
【详解】令，因为，
所以为偶函数．
，
因为当时，，，此时，
所以在上单调递增．
因为，，，
因为，，，
所以，所以，
即．
故选：A．
2．AB
【分析】根据为函数的极值点可对A判断；由可求得即可对B判断；由在上单调递减等价于在区间上恒成立，即可对C判断；由在上恒成立等价于，构造函数，，再利用导数从而求出，即可对D判断．
【详解】
对于A，由，得，因为是函数的极值点，
所以，得，经检验是函数的极小值点，故A正确．
对于B，由选项A，由，得，可知，
则，由，得，由，得，
所以在递增，在上递减，
所以当时，时，取得最小值，故B正确．
对于C，因为在上单调递减，所以，即，
得在上恒成立，令，则，
所以在单调递增，所以，即，所以，故C不正确．
对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，
即在上恒成立，令，，则，
所以在上单调递增，所以，所以，故D不正确．
故选：AB．
3．,
【分析】将在,上单调递增，转化为恒成立即可，设，求导确定单调性即可得最值，从而可得实数的取值范围．
【详解】，，
若在,上单调递增，则只需在,上恒成立，
即在,上恒成立，令，，
在,上单调递增，
，则，解得，
则实数的取值范围为,．
故答案为：,．
4．(1)答案见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）求导可得，分和两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；
（2）构建，，根据单调性以及零点存在性定理分析的零点和符号，进而可得的单调性和最值，结合零点代换分析证明.
【详解】（1）由题意可得：的定义域为，，
当时，则在上恒成立，
可知在上单调递减；
当时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）构建，
则，
由可知，
构建，
因为在上单调递增，则在上单调递增，
且，
可知在上存在唯一零点，
当，则，即；
当，则，即；
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，
又因为，则，，
可得，
即，所以.
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·湖北·二模）求解下列问题，
(1)若恒成立，求实数k的最小值；
(2)已知a，b为正实数，，求函数的极值．
2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；
(3)已知数列的通项公式为，求证：．
3．（2024·河北邯郸·二模）已知函数．
(1)是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)已知是的零点，是的零点．
①证明：，
②证明：．
参考答案：
1．(1)1
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，然后分和讨论，确定单调性，进而得最值；
（2）先发现，当时，，当，时，取，，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.
【详解】（1）记，则需使恒成立，
，
当时，恒成立，则在上单调递减，
且在时，，不符合题意，舍去；
当时．令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要使恒成立，只要即可，
解得，所以k的最小值为1；
（2），，，，易知，
当时，，此时函数无极值；
当，时，，
取，，，，，，，
则，当时，由得，由（1）知，
当时，，
因为，所以，所以，即，当时，，
所以，则，所以，
即在上单调递增，在单调递减．
所以函数，，，
当时，同理有，
由得，即在上单调递增，在上单调递减．
所以函数，，，
综上可知，当时，函数没有极值；当时，函数有唯一的极大值，其中，没有极小值．
【点睛】关键点点睛：取，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.
2．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明；
（2）求导可得，分、和三种情况，结合导数分析单调性即可；
（3）根据（1）（2）分析可得，进而可得，根据题意结合裂项相消法分析证明.
【详解】（1）由题意可知：等价于，其中．
构建，
则，
可知在上单调递减，则时，，
所以时，．
（2）由题意可知：，
则
①若，则，由可得，
可知在上单调递减，不合题意；
②若，则，
可知上为增函数，符合题意；
③若，则，由可得，
可知在上单调递减，不合题意；
综上所述：．
（3）由（2）知：在上单调递增，
所以时，，即，
由（1）知：时，，
则，
所以时，，
令得：，
即，
因为，
所以，
由知：，又因为，
所以，
所以．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
3．(1)存在，且
(2)①证明见解析 ②证明见解析
【分析】（1）结合导数与函数单调性的关系，分与进行讨论即可得；
（2）①利用导数得到的单调性后，借助零点的存在性定理可得，解出即可得；②构造函数，结合导数得到函数的单调性，画出相应图象，可得从而得到，，从而可得，结合的范围即可得解.
【详解】（1）由题意得，
当时，，所以和在上都单调递增，符合题意；
当时，若和在上的单调区间相同，
则和有相同的极值点，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
所以无解，
综上，当时，和在上的单调区间相同；
（2）①由题意，有两个零点，，
若，则，所以在上单调递增，不符合题意，
若，则当时，单调递减，
当时，单调递增，
且当时，，当时，，
所以，解得，得证；
②令，得，即，
令，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
在同一坐标平面内作出函数与函数的图象，
它们有公共点，如图，
故，且有，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，
故.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于构造函数，结合导数得到函数的单调性，从而得到.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题16 导数与函数的单调性（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 3
【考点1】不含参函数的单调性 3
【考点2】含参函数的单调性 4
【考点3】根据函数的单调性求参数 6
【考点4】函数单调性的应用 7
【分层检测】 8
【基础篇】 8
【能力篇】 10
【培优篇】 10
考试要求：
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【考点1】不含参函数的单调性
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若曲线在处的切线方程为，则
B．若，则函数的单调递增区间为
C．若，则函数在区间上的最小值为
D．若，则的取值范围为
三、填空题
3．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ．
四、解答题
4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点．
(1)求实数的值；
(2)求函数的单调区间与极值．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
(1)求在处的切线；
(2)比较与的大小并说明理由.
6．（2024·北京西城·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若集合有且只有一个元素，求的值．
反思提升：
确定函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
【考点2】含参函数的单调性
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．当时，有两个零点
C．一定存在零点
D．若存在，有，则
三、填空题
3．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数恰有两个零点，则 .
四、解答题
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程;
(2)若，讨论的单调性.
5．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
6．（2024·河南·二模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
反思提升：
1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
【考点3】根据函数的单调性求参数
一、单选题
1．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·广东茂名·一模）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
三、填空题
3．（22-23高二下·广西·期中）若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数，
(1)若在定义域内是减函数，求a的取值范围；
(2)当时，求的极值点．
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)若在区间上不是单调函数，求的取值范围．
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数．
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若的最小值为6，求实数的值．
反思提升：
根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【考点4】函数单调性的应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·江苏·三模）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且满足（为函数的导函数），，若存在，使得，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2023·山东·模拟预测）已知函数及其导函数满足，且．
(1)求的解析式，并比较，，的大小；
(2)试讨论函数在区间上的零点的个数．
5．（2024·河南开封·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(2)函数；若方程在上存在实根，试比较与的大小．
6．（23-24高三下·浙江杭州·阶段练习）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)，，求的最小值；
(3)若在区间存在零点，求的取值范围.
反思提升：
1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·四川凉山·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·天津·期中）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数在上为增函数
B．函数在上为增函数
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的值域为R
C．若是的极值点，则
D．若是的极小值点，则在区间单调递减
三、填空题
7．（21-22高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，，若对，，且，使得，则实数a的取值范围是 .
8．（23-24高二下·湖北·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ．
9．（23-24高二下·江苏·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ．
四、解答题
10．（23-24高二下·北京·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若曲线在直线的上方，求实数的取值范围．
11．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函数在点处的切线的斜率为
(1)求；
(2)求的单调区间和极值．
12．（23-24高二下·江苏·期中）设函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值：
(3)若在上存在增区间，求的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·辽宁·二模）已知定义在R上的函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若，则在上的最小值为0
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
三、填空题
3．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，若在,上单调递增，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)证明：.
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·湖北·二模）求解下列问题，
(1)若恒成立，求实数k的最小值；
(2)已知a，b为正实数，，求函数的极值．
2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；
(3)已知数列的通项公式为，求证：．
3．（2024·河北邯郸·二模）已知函数．
(1)是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)已知是的零点，是的零点．
①证明：，
②证明：．
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