专题19 利用导数研究函数的零点（新高考专用）
【真题自测】 2
【考点突破】 14
【考点1】判断、证明或讨论零点的个数 14
【考点2】根据零点情况求参数范围 22
【考点3】与函数零点相关的综合问题 31
【分层检测】 44
【基础篇】 44
【能力篇】 54
【培优篇】 59
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
2．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
3．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
6．（2021·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
参考答案：
1．B
【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
2．（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
（2）令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，
所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，
所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：
1.当时，利用，换元放缩；
2.当时，利用，换元放缩.
3．(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.
4．(1)
(2)证明见的解析
【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.
【详解】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为，则
令,得
当单调递减
当单调递增，
若,则,即
所以的取值范围为
[方法二]：同构处理
由得：
令，则即
令，则
故在区间上是增函数
故，即
所以的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证,即证
因为,即证
又因为,故只需证
即证
即证
下面证明时，
设，
则
设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令
所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令，则，
所以在上单调递增，故只有1个解
又因为有两个零点，故
两边取对数得：，即
又因为，故，即
下证
因为
不妨设，则只需证
构造，则
故在上单调递减
故，即得证
【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
这个函数经常出现，需要掌握
5．(1)
(2)
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对分类讨论,对分两部分研究
【详解】（1）的定义域为
当时,,所以切点为,所以切线斜率为2
所以曲线在点处的切线方程为
（2）
设
若,当,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若,当,则
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若
(1)当,则,所以在上单调递增
所以存在,使得,即
当单调递减
当单调递增
所以
当,
令则
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
又，，
所以在上有唯一零点
又没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设
所以在单调递增
所以存在,使得
当单调递减
当单调递增,
又
所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减，
当，，
又，
而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点
即在上有唯一零点
所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为
【点睛】
方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.
6．(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
(2)若选择条件①：
由于，故，则，
而，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于，故，则，
当时，，，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
当时，构造函数，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
注意到，故恒成立，从而有：，此时：
，
当时，，
取，则，
即：，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
【考点1】判断、证明或讨论零点的个数
一、单选题
1．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6
二、多选题
2．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象
D．函数的零点个数为7
三、填空题
3．（2021·浙江·模拟预测）已知实数且，为定义在上的函数，则至多有 个零点；若仅有个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·四川成都·二模）已知函数.
(1)判断的零点个数并说明理由；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数.
(1)时，求的零点个数；
(2)若时，恒成立，求a的取值范围.
6．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求证：；
(2)求函数的零点个数.
参考答案：
1．A
【分析】画出函数图象，令，则，所以，即方程必有两个不同的实数根，再利用韦达定理及函数图象分类判断即可.
【详解】根据题意作出函数的图象：，当，函数单调递增，
当时，函数单调递减，所以；
函数，时单调递减，所以，
对于方程，令，则，所以，
即方程必有两个不同的实数根，且，
当时，，3个交点；
当时，，也是3个交点；
故选：A．
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2．ABD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数的解析式，再分析判断ABC；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D作答.
【详解】观察图象知，函数的周期，则，而，
即有，由知，，因此，A正确；
显然，当时，，因此单调递增，B正确；
将图象上各点横坐标变为原来的得，再将所得图象向右平移个单位长度，得，
而，C错误；
由，得，令，则，
令，显然当时，，即恒有，函数在上无零点，
当时，，令，，
函数在上都递减，即有在上递减，，
，因此存在，，
当时，，当时，，有在上递增，在递减，
，，
于是存在，，当时，，当时，，
则函数在上递减，在递增，，，
从而函数在上存在唯一零点，而函数周期为，在上单调递增，如图，
，，，
从而函数在上各有一个零点，又0是的零点，即函数在定义域上共有7个零点，
所以函数的零点个数为7，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
3．
【分析】令（，且），可得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数，数形结合可得出结论.
【详解】令（，且），可得，
等式两边取自然对数得，即，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，且当时，，如下图所示：
由图象可知，直线与函数的图象至多有两个交点，
所以，函数至多有个零点.
若函数只有一个零点，则或，解得或.
故答案为：；.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
4．(1)一个零点，理由见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性，结合函数特殊点函数值、单调性，即可判断零点个数；
（2）首先不等式变形为，并构造函数，根据（1）的结果讨论和两种情况，讨论不等式恒成立的问题.
【详解】（1）.
当时，.
函数在上单调递增；
当时，；
当时，.
在上有且仅有一个零点；
（2），
.
设.
①当时，由，
当时，不合题意.
②当时，由①在上单调递增.
又在上恒成立.
设.
在上恒成立，在上单调递减.
又在上恒成立.
，满足题意.
综上，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用（1）的 结果，对不等式进行放缩，从而转化为求恒成立问题.
5．(1)2个；
(2)
【分析】（1）变形得到，得到一个零点为，令，求导得到其单调性和极值情况，得到答案；
（2）求导，分和两种情况，结合单调性和极值情况，得到不等式，求出答案.
【详解】（1）时，，
显然，
令，则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
又，则有且只有1个零点，
∴时，有2个零点和.
（2），
当时，时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
时，，所以符合题意，
当时，可由，解得或，
若，即时，当时，，
当时，，当时，，
故在，上单调递增，在上单调递减，
∵，∴，此时要使在时恒成立，还需满足，即，
若，即时，恒成立，故在R上递增，则时，符合题意；
若，即时，当时，，
当时，，当时，，
故在，上单调递增，在上单调递减，
时，，即符合题意，
综上所述：.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
6．(1)证明见解析
(2)个
【分析】（1）利用导数求出的单调区间，从而得到的最小值，即可证明；
（2）由（1）可得当时，，则，令，利用导数求出的单调区间，得到的最小值，从而求得零点个数.
【详解】（1）当时，，则，令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
.
（2）由（1）知当时，，即，
，，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
最小值为，，
，无零点.
反思提升：
利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
【考点2】根据零点情况求参数范围
一、单选题
1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2021·山东聊城·二模）用符号表示不超过的最大整数，例如：，.设有3个不同的零点，，，则（ ）
A．是的一个零点
B．
C．的取值范围是
D．若，则的范围是.
三、填空题
3．（2021·安徽安庆·三模）已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为 ．
四、解答题
4．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）设函数
(1)若时函数有三个互不相同的零点，求m的范围；
(2)若函数在内没有极值点，求a的范围；
5．（23-24高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的范围.
6．（2023·天津滨海新·模拟预测）已知函数，.
(1)若，求的单调区间.
(2)若，且在区间上恒成立，求a的范围；
(3)若，判断函数的零点的个数.
参考答案：
1．D
【分析】画出的图象，将恰有5个不同零点转化为与有5个交点即可.
【详解】由题知，
零点的个数可转化为与交点的个数，
当时，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
如图所示：
所以时有最大值：
所以时，由图可知必有两个交点；
当时，因为，，
所以，
令，则
则有且，如图所示：
因为时，已有两个交点，
所以只需保证与有三个交点即可，
所以只需，解得.
故选：D
【点睛】思路点睛：函数零点问题往往可以转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合方便分析求解.
2．AD
【分析】令，可得或，可知的一个零点是，另外两个零点是方程的2个解，从而可得到，进而构造函数，可知直线与函数的图象有2个不同交点，利用数形结合方法，可求出的范围，及另外两个零点所在区间，进而结合的含义，可选出答案.
【详解】由题意，令，则或，
显然是方程的解，也是方程的解，所以选项A正确；
因为有3个不同的零点，所以方程有2个不同的解，且两解都不等于，
易知，可得，
令，则直线与函数的图象有2个不同交点，
求导得，，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
又当时，；当时，，当时，取得最大值.
可画出函数的图象，如下图所示，
根据图象可知，当时，直线与函数的图象没有交点；
当或时，直线与函数的图象只有1个交点；
当，即时，直线与函数的图象有2个不同交点.
又因为，且直线与函数的图象的2个不同交点的横坐标不等于，所以，即，
综上所述，当时，直线与函数的图象有2个不同交点，且两个交点的横坐标都不等于e ，此时有3个不同的零点，故C错误；
不妨设，是直线与函数的图象的2个不同交点，且，
则，，
根据的图象，当趋近与0时，趋近于1，趋近于无穷大，此时趋近于无穷大，故选项B错误；
对于选项D，由，，可得，，
因为，所以，则，
则，，
所以，即，
故选项D正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．
【分析】通过换元法将方程变为，其中；利用导数可求得的大致图象，从而确定其与的交点个数，将所求式子化为，利用韦达定理可求得结果.
【详解】由，两边同时除以变形为，
有
设即，所以
令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，当时，其大致图像如下．
要使关于x的方程有三个不相等的实数解，，，且．
结合图像可得关于t的方程一定有两个不等的实数根，
且，从而．
，，则，．
所以
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
4．(1)
(2)
【分析】（1）参变分离，利用导数研究函数的单调性及极值即可求得的取值范围；
（2）根据极值点与导函数的关系并二次函数根的分布计算即可.
【详解】（1）当时，，
因为有三个互不相同的零点，所以，
即有三个互不相同的实数根．
令，则．
令，令，
所以在和均为减函数，在为增函数，
即的极小值为，极大值为，
故m的取值范围．
（2）由题意可知，在上没有变号零点，
又因为，所以，解之得．
故a的范围为.
5．(1)
(2)或
【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先得，这样问题转化为函数在区间上没有零点，这样求函数的导数，讨论极值点与定义域的关系，判断函数的单调性，即可求解的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
，，
所以函数在处的切线方程为；
（2），易知，
所求问题等价于函数在区间上没有零点，
因为，，得，
当，，所以在上单调递减，
当，，在上单调递增.
①当，即时，函数在区间上单调递增，所以，
此时函数在区间上没有零点，满足题意.
②当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
要使在上没有零点，只需，即，解得，
所以.
③当，即时，函数在区间上单调递减，
在区间上满足，此时函数在区间上没有零点，满足题意.
综上所述，实数的范围是或.
6．(1)的单调减区间为，的单调增区间为.
(2)
(3)时，的零点个数为1
【分析】对于（1），求导即可得单调区间；
对于（2），在区间上恒成立等价于在上的最小值大于1；
对于（3），判断出单调性，后由零点存在性定理可得答案.
【详解】（1）当时，，.
则，由，得；由，
得.故的单调递增区间为，的单调递减区间为.
（2）在区间上恒成立，则在上的最小值大于1
，
①当时，，得在上单调递增，故
，又，
则，即不合题意.
②当时，，由，得或；
由，得.
故在上单调递增，在上单调递减.
i当，即时，.
ii当，即时，，
由题有，
又，
则.
综上a的范围为
（3）由题，.
则，设，
则，当，得；
当，得，故在上单调递减，
在上单调递增.则，
又，则，故.
则在上单调递增.注意到，
设，则，
由，得；由，得.
则在上单调递减，在上单调递增.
则，得恒成立
，又，
则
，又，
故，使，即时，有唯一零点·.
【点睛】关键点点睛：本题涉及恒成立问题及求含参函数零点个数，难度较大.
（1）问较为基础，（2）问难点在于时，不清楚与大小，
采用可避免讨论，（3）问难点在于零点所在区间的寻找.
反思提升：
1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.
2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
【考点3】与函数零点相关的综合问题
一、单选题
1．（2024·湖北·二模）已知函数（e为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则
C．当时，可能有三个零点
D．当时，函数的极小值大于极大值
二、多选题
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
三、填空题
3．（2024·安徽·模拟预测）对于函数，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为，求 .
四、解答题
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知函数．
(1)当时，证明：有且仅有一个零点．
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
(3)证明：．
5．（2024·江西景德镇·三模）已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)已知实数.
①求证：函数有且仅有一个零点；
②设该零点为，若图象上有且只有一对点，关于点成中心对称，求实数的取值范围.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的两个极值点分别为，证明：；
(3)设，求证：当时，有且仅有2个不同的零点．
（参考数据：）
参考答案：
1．D
【分析】对于A：，通过求导找到零点，进而确定定义域；对于B：求出，，，进而可得切线方程，从而得到面积；对于CD：求出，利用零点存在定理，确定零点位置，从而得到极值，进而可判断零点个数以及极值关系.
【详解】记，则，所以为单调递增函数，
，，所以函数有唯一零点，
因为有意义需使，所以函数的定义域为，所以A错误；
因为，，，
所以函数在点P处的切线方程为，，
此直线与x轴、y轴的交点分别为，，
由三角形的面积公式得，解得或，所以B错误；
当时，，
当时，记，
则，明显单调递增，
而，，
由零点存在定理知存在，使得，即，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即当时，，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，其中，，
当时，记，，
所以在上单调递增，
，，
由零点存在定理知存在，使得，
即当时，，从而有，
当时，，从而有，
综上可知在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，在上单调递增，其中，且，，
所以，．
又因为，，
所以当时，，当时，，且，
所以最多只有两个零点，C错误，D正确．
故选：D.
【点睛】方法点睛：1．函数零点的判定常用的方法有：
（1）零点存在性定理；（2）数形结合；（3）解方程f(x)＝0.
2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．
3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
2．ACD
【分析】对于A：直接代入求单调性即可；对于B：直接代入求极值即可；对于C：将函数两个不等于1的零点转化为有两个不等于1的根，，求导，研究其单调性，根据单调性确定，然后证明和对应的值一样即可；对于D：将问题转化为函数有两个极值点，求导解答即可.
【详解】对于A：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，A正确；
对于B：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，无极值，B错误；
对于C：令，得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，单调递增，且，
当时，，单调递减，且，
若函数只有两个不等于的零点，即函数与有两个交点，
则不妨取，
当时，，
所以函数与的两个交点横坐标互为倒数，即，C正确；
对于D：明显，所以是函数的一个零点，且，
函数有三个零点，且函数在上为连续函数，则函数必有两个极值点（不为1），
因为，
所以，
设，则
当时，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，所以在上单调递减，不可能有3个零点，
所以，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，
所以，所以，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导数问题要学会将问题进行转化，比如选项C，将零点问题转化为函数图象的交点问题，选项D，将零点个数问题转化为极值点个数问题.
3．
【分析】函数恰有两个零点等价于与直线有且只有两个交点，根据图象可知：与直线在点相切，函数恰有四个个零点等价于与直线有且只有四个交点，根据图象可知：与直线在点相切，根据导数的几何意义以及三角恒等变换化简可得答案.
【详解】函数恰有两个零点等价于与直线有且只有两个交点，函数恰有四个个零点等价于与直线有且只有四个交点，与直线的图象如下：
根据图象可知， 与直线有且只有两个交点时，则与在点处相切，且切点的横坐标为，此时对应的函数解析式为，所以，则，又，所以，则
同理，与直线有且只有四个交点时，则与在点处相切，且切点的横坐标为，此时对应的函数解析式为，所以，则，又，所以，则
所以
故答案为：.
4．(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数探讨函数的单调性，再利用零点存在性定理推理即得.
（2）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最大值即得.
（3）利用（2）的结论得，再赋值并借助不等式性质，等比数列前n项和公式推理即得.
【详解】（1）当时，函数定义域为，则，
令，则在上恒成立，则在上单调递增，
则，即在上恒成立，在上单调递增，
而，，
所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点．
（2）当时，等价于，
令，求导得，令，
则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，于是当时，，单调递增，
当时，，单调递减，因此，
所以a的取值范围为．
（3）由（2）可知，当时，有，则，
因此，
所以．
【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
5．(1)取极小值，无极大值
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值.
（2）①把问题转化成，换元，令，，所以或，再分别判断这两个方程解得情况.
②问题转化成方程只有一个正根.根据零点的存在性求参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，
令，函数在上单调递减，
，函数在上单调递增，
故当时，取极小值.
（2）①令，
换元，，即或.
构造函数，显然单调递增，且，
方程必定存在一负根.
对于函数，当时，当时，
恒成立，方程无根.
当实数时，函数有且仅有一个零点.
②由上可知.
构造函数，根据对称性不妨假设，
若存在唯一正根，则.
.
，，，，
令，即.
令，构造函数，
，且显然在上单调递减，
存在正零点的必要条件是.
易证明当时，，
，
只要当时，就有，
故是存在正零点的充要条件，
而，且，，
在上单调递增，
，又，
故，即实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：函数的图象关于点对称.
6．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导得，设，分类讨论的根的情况，可得的单调区间；
（2）求导根据题意可得方程在上有两个不同的实数解，可得解得，要证，需证，进而换元可证结论；
（3）在上有且仅有2个不同的根，等价于直线与函数的图象在上有2个交点，求导得，分，讨论可证结论．
【详解】（1）函数的定义域为，
．
设，
则函数为二次函数，对称轴为直线，
且．
令，则．
当，即时，，
故当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间．
当时，，
故当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间．
当时，令，得，
当时，，当时，，
故当时，函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）．
因为函数有两个极值点，
所以方程在上有两个不同的实数解，
则解得，
所以
．
要证，
即证．
不妨设，
则只需证．
设，则只需证．
令．
则，
所以在上单调递增，
所以，得证．
（3）由得，
在上有且仅有2个不同的根，
等价于直线与函数的图象在上有2个交点．
设，
①当时，令，，
所以在上单调递增．
又因为，
即当时，存在，且的图象连续，
所以在上有且仅有1个零点，即存在，使．
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
所以在上存在唯一的极小值点．
①当时，又，
记，则，则在上单调递减，
所以，所以当时，恒成立，
则，
所以当时，直线与函数的图象在上有1个交点．
②当时，，
所以在上单调递增．
已证在上单调递增，
所以在上单调递增．
又因为，
由①知，
所以当时，直线与函数的图象在上有1个交点．
③当时，，
设，则，
故函数在上单调递增，
所以，
则当时，直线与函数的图象在上无交点．
综上，当时，直线与函数的图象在上有2个交点．
即当时，有且仅有2个不同的零点．
【点睛】方法点睛：求含参数的函数的单调区间，求导后能转化为一元二次方程的问题，常利用判别式进行分类讨论求解；函数有两个极值点即为导函数有两个零点，在此基础上证不等式恒成立问题，常转化为构造函数，通过求最大值与最小值证明；函数有几个零点问题，常转化为两个函数的图象有几个交点问题处理.
反思提升：
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为增函数 B．有两个零点
C．的最大值为2e D．的图象关于对称
2．（2024·四川凉山·二模）若，，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（22-23高三下·江西·阶段练习）若函数有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·内蒙古包头·一模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有两个零点 B．点是曲线的对称中心
C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，下列正确的是（ ）
A．若函数有且只有1个零点，则
B．若函数有两个零点，则
C．若函数有且只有1个零点，则，
D．若有两个零点，则
6．（21-22高三上·湖北·期中）已知函数，下列结论成立的是（ ）
A．函数在定义域内无极值
B．函数在点处的切线方程为
C．函数在定义域内有且仅有一个零点
D．函数在定义域内有两个零点，，且
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．若有极值点，则
B．当时，有一个零点
C．
D．当时，曲线上斜率为2的切线是直线
三、填空题
8．（2023·四川内江·模拟预测）若函数有两个零点，则的取值范围为 ．
9．（2021·海南·二模）函数的零点个数为 .
10．（20-21高三上·吉林长春·期中）若函数有且只有一个零点，则实数的值为 .
四、解答题
11．（20-21高二下·重庆·期末）已知函数的图象在处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若函数在上无零点，求的取值范围.
12．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．
参考答案：
1．D
【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合选项依次计算，即可求解.
【详解】A：，令，得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
B：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，所以函数在R上没有零点，故B错误；
C：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即函数的最小值为，故C错误；
D：，所以函数图象关于直线对称，故D正确.
故选：D
2．C
【分析】
求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.
【详解】,
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，，，
则的草图如下：
由图象可得函数的零点个数为.
故选：C.
3．C
【分析】
通过导数求解函数的单调区间，得到其最小值，令最小值小于等于零进行求解即可.
【详解】已知函数，则，，
当时，；当时，.
在区间上单调递减；在区间上单调递增.
所以，则，又，
所以.
故选：C.
4．C
【分析】利用导函数讨论单调性和极值、最值即可求解A,C，再根据奇函数的对称关系可判断B，根据导数的几何意义可判断D.
【详解】，
令解得，令解得或，
所以在单调递减，单调递增，单调递减，
，且，
所以在各有一个零点，共3个零点，A错误；
为奇函数，所以图象关于对称，
所以的图象关于点对称，B错误；
由单调性可知有两个极值点为，C正确；
对于D，令，解得则，
但是当时，对于直线，有，即直线不经过切点，D错误，
故选:C.
5．AD
【分析】根据函数零点的性质，结合常变量分离法，导数的性质逐一判断即可.
【详解】由，
当时，
令，
当时，，函数单调递增，
当时，函数单调递减，故，
函数的图象如下图所示：
当时，直线与函数的图象没有交点，所以函数没有零点，
当时，直线与函数的图象只有一个交点，所以函数只有一个零点，而，所以选项A正确，选项C不正确；
当时，直线与函数的图象只有二个交点，所以函数只有二个零点，因此选项B不正确，选项D正确，
故选：AD
6．ABD
【分析】求出定义域与导函数可判断A；利用导数的几何意义可判断B；利用函数单调性以及零点存在性定理可判断C；根据选项C可判断D.
【详解】A，函数定义域为，
，
在和上单调递增，则函数在定义域内无极值，故A正确；
B，由，则，
又，
函数在点处的切线方程为
即，故B正确；
C，在上单调递增，
又，
，
所以函数在存在，使，
又，即，
且，
即为函数的一个零点，所以函数在定义域内有两个零点,故C错误.
D，由选项C可得，所以，故D正确.
故选：ABD
7．BC
【分析】对A，判断当时情况即可；对B，求导分析函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；对C，根据得关于对称，再判断的对称性判断即可；对D，根据导数的几何意义判断即可.
【详解】对A，由题得，当时，递增，不存在极值点，故A选项错误；
对B，当时，，令得或，
令得，所以在上单调递减，在，上单调递增．
因为，，，
所以函数在上有一个零点，在上无零点．
综上所述，函数有一个零点，故B选项正确；
对C，由得关于对称，
令，该函数的定义域为R，因为，
则是奇函数，图象的对称中心是原点，
将的图象向上平移一个单位长度得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C选项正确；
对D，令，可得．又，，
所以当切点为时，切线方程为，
当切点为时，切线方程为，故D选项错误.
故选：BC．
8．
【分析】分离常数，将问题转化为y＝与y＝的图象有两个交点，令（x∈R），利用导数求出的最值，再给合的正负分析即可得答案．
【详解】解：因为有两个零点，
即有两个零点 有两个解，
即y＝与y＝的图象有两个交点，
令（x∈R），
则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，
又因当时，＝＜0，
当时，＝＞0，
当时，＝＝0，
要使y＝与y＝的图象有两个交点，
所以0＜＜，即
故的取值范围为．
故答案为：．
9．1
【解析】根据函数零点的定义，结合导数进行判断即可,.
【详解】因为，
所以单调递增，又因为，所以有且仅有1个零点.
故答案为：1
10．1
【解析】求出导函数，利用导数与函数单调性的关系求出单调区间，由题意，只需即可求解.
【详解】由，（），则，
令，解得，
令，解得，
所以函数在上单调递减，
在上单调递增，
所以在时取得极小值.
所以函数有且只有一个零点，
只需，即，解得.
故答案为：1
11．（1）；（2）
【分析】（1）首先求出导函数，由即可求解.
（2）由题意可得在上无解，分离参数，转化为两个函数无交点即可求解.
【详解】（1）由函数，，
，所以可得，解得.
（2）若函数在上无零点，即在上无解，
即在上无解，
令，，
，在上，
所以在上单调递增，
所以，
即，
若在上无解，
则或，
即或.
所以的取值范围为
12．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）直接用导数求出的最大值即可；
（2）构造并证明时，并对该不等式代入特殊值即可得证.
【详解】（1）首先由可知的定义域是，从而.
故，从而当时，当时.
故在上递增，在上递减，所以具有最大值.
所以命题等价于，即.
所以的取值范围是.
（2）不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有.
在的范围内定义函数.
则，所以单调递增.
这表明时，即.
又因为，且和都大于，
故由在上的单调性知，即.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·辽宁·三模）已知函数为实数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，则与有相同的极值点和极值
B．存在，使与的零点同时为2个
C．当时，对恒成立
D．若函数在上单调递减，则的取值范围为
三、填空题
3．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知，分别是函数和的零点，且，，则 ．
四、解答题
4．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】进行合理换元和同构，转化为的图象与直线有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可.
【详解】令，
所以．
令，定义域为，
令，易知在上单调递增，且．
所以，
则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点．
则，当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，；当时，，
则，解得，即实数的取值范围是．
故选：D．
2．AC
【分析】对于A，分别各自求导，结合导数与函数极值的关系即可判断；对于B，分别求出与的零点为2个时的范围，看它们的交集是否为空集即可判断；对于C，构造函数，求导，对分类讨论，只需判断是否成立即可；对于D，原问题等价于对恒成立，从而即可进一步求解.
【详解】对于A，当时，
，
当时，有，此时均单调递减，
当时，有，此时均单调递增，
所以当时，均各自取到相应的极值，且，
所以当时，则与有相同的极值点和极值，故A正确；
，
令，
，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，当，，
当时，有极大值，，
在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示，
所以方程有两个根当且仅当，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当从1的左边趋于1时，趋于正无穷，当从1的右边趋于1时，趋于负无穷，
当时，，单调递增，
令，则，，当时，，
当时，有极小值，，
在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示，
方程有两个根当且仅当，
综上所述，不存在，使与的零点同时为2个，故B错误；
设，
，
，
当时，显然，
若，即，在此情况下：
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
即在的情况下，对恒成立，
若，即，在此情况下：
当时，，单调递减，
所以，
所以在的情况下，对恒成立，
综上所述，当时，对恒成立，故C正确；
对于D，若函数在上单调递减，
这意味着对恒成立，
也就是说对恒成立，即对恒成立，
注意到在上单调递减，
所以，也就是说的取值范围为，故D错误.
故选：AC.
3．1
【分析】求，判断函数在上的单调性，根据函数零点及单调性可得，化简可得的值.
【详解】由题意可得，，
又，当时，，所以在上单调递减，
因为，，且，
又，所以，所以．
故答案为：1.
4．(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）求出导函数，根据和分类讨论求解即可；
（2）根据函数的单调性易知且，根据零点存在性定理结合函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】（1）．
①若，，在为增函数；
②若，令，得.
当时，为减函数，
当时，为增函数.
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）当时，在单调递增，不可能有两个零点，不符合题意.
当时，在单调递减，在单调递增，
因为有两个零点，必有，
因为，所以.令，
则，所以在单调递减，而，
所以当时，，即.
又，故在有1个零点；
当时，因为，则，由得，由得，
所以函数在单调递减，在单调递增，所以，即，故，所以，
取，有，
所以在有1个零点.
综上所述，当有两个零点时，.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知函数，，，则（ ）
A．当时，函数有两个零点
B．存在某个，使得函数与零点个数不相同
C．存在，使得与有相同的零点
D．若函数有两个零点，有两个零点，，一定有
三、填空题
3．（2024·广东佛山·二模）若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
参考答案：
1．C
【分析】先将的图象向左平移2个单位长度，可得函数图像，即把问题转化为直线与函数图象交点的个数问题；再证明为奇函数，然后求导后得到在区间上为减函数；再求出曲线在点处的切线方程为，求出，，时的范围；最后作出的图象和的图像，数形结合得到结果.
【详解】将的图象向左平移2个单位长度，可得函数的图象，
所以原题转化为“函数有3个零点”，
即研究直线与函数图象交点的个数问题．
因为的定义域为，且，
所以为奇函数．
因为，
所以在区间上为减函数，
且曲线在点处的切线方程为．
当时，；
当时，；
当的，，
作出的图象．如图：
由图知：当时，直线与函数的图象有3个交点．
故实数的取值范围是．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将的图象向左平移2个单位长度，可得函数图像，即把问题转化为直线与函数图象交点的个数问题；再根据函数的奇偶性和单调性作出函数图像.
2．ACD
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理及同构式一一判定选项即可.
【详解】由，
令，令，
即在上单调递减，在上单调递增，
即，
对于A项，当时，则，
又易知，且时，，
根据零点存在性定理可知函数在和内各有一个零点，故A正确；
对于B项，当时，此时，则有一个零点，
当时，，则此时无零点，
又易得，
则，函数的零点个数与的零点个数相同，故B错误；
对于C项，由A、B项结论可知：当时，有两个零点，，
同时有两个零点，，
则根据单调递增可知，存在唯一的满足成立，
有，
若C正确，因为，则只能有，即，
由题意易知：，
令，则时，，
时，，故在上单调递减，在上单调递增，
且时，，时，，
设，，
因为，时，，，
所以存在，使得，即，所以，，
即存在，使得与有相同的零点，故C正确；
对于D项，由C项结论可知，此时，
则由，故D正确.
综上：ACD正确.
故选：ACD
【点睛】难点点睛：可以先利用导数含参讨论函数的单调性与最值，结合零点存在性定理判定零点个数，对于第二项，注意观察两个函数的解析式，利用同构式判定可零点之间的联系；第三项，构造函数利用其单调性可判定同构式是否有解.
3．
【分析】化简函数，得到和在上单增，结合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，结合，进而得到实数的取值范围．
【详解】由函数，
设，可得，单调递增，
且，，
所以存在唯一的，使，即，
令，即，
设，可得，则在上单增，
又由且时，，
所以当时，存在唯一的，使，即，
若时，可得，则，可得，所以，
所以，
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题19 利用导数研究函数的零点（新高考专用）
【真题自测】 2
【考点突破】 3
【考点1】判断、证明或讨论零点的个数 3
【考点2】根据零点情况求参数范围 4
【考点3】与函数零点相关的综合问题 5
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 8
【培优篇】 9
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
2．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
3．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
6．（2021·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
【考点1】判断、证明或讨论零点的个数
一、单选题
1．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6
二、多选题
2．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象
D．函数的零点个数为7
三、填空题
3．（2021·浙江·模拟预测）已知实数且，为定义在上的函数，则至多有 个零点；若仅有个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·四川成都·二模）已知函数.
(1)判断的零点个数并说明理由；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数.
(1)时，求的零点个数；
(2)若时，恒成立，求a的取值范围.
6．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求证：；
(2)求函数的零点个数.
反思提升：
利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
【考点2】根据零点情况求参数范围
一、单选题
1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2021·山东聊城·二模）用符号表示不超过的最大整数，例如：，.设有3个不同的零点，，，则（ ）
A．是的一个零点
B．
C．的取值范围是
D．若，则的范围是.
三、填空题
3．（2021·安徽安庆·三模）已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为 ．
四、解答题
4．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）设函数
(1)若时函数有三个互不相同的零点，求m的范围；
(2)若函数在内没有极值点，求a的范围；
5．（23-24高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的范围.
6．（2023·天津滨海新·模拟预测）已知函数，.
(1)若，求的单调区间.
(2)若，且在区间上恒成立，求a的范围；
(3)若，判断函数的零点的个数.
反思提升：
1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.
2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
【考点3】与函数零点相关的综合问题
一、单选题
1．（2024·湖北·二模）已知函数（e为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则
C．当时，可能有三个零点
D．当时，函数的极小值大于极大值
二、多选题
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
三、填空题
3．（2024·安徽·模拟预测）对于函数，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为，求 .
四、解答题
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知函数．
(1)当时，证明：有且仅有一个零点．
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
(3)证明：．
5．（2024·江西景德镇·三模）已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)已知实数.
①求证：函数有且仅有一个零点；
②设该零点为，若图象上有且只有一对点，关于点成中心对称，求实数的取值范围.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的两个极值点分别为，证明：；
(3)设，求证：当时，有且仅有2个不同的零点．
（参考数据：）
反思提升：
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为增函数 B．有两个零点
C．的最大值为2e D．的图象关于对称
2．（2024·四川凉山·二模）若，，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（22-23高三下·江西·阶段练习）若函数有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·内蒙古包头·一模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有两个零点 B．点是曲线的对称中心
C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，下列正确的是（ ）
A．若函数有且只有1个零点，则
B．若函数有两个零点，则
C．若函数有且只有1个零点，则，
D．若有两个零点，则
6．（21-22高三上·湖北·期中）已知函数，下列结论成立的是（ ）
A．函数在定义域内无极值
B．函数在点处的切线方程为
C．函数在定义域内有且仅有一个零点
D．函数在定义域内有两个零点，，且
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．若有极值点，则
B．当时，有一个零点
C．
D．当时，曲线上斜率为2的切线是直线
三、填空题
8．（2023·四川内江·模拟预测）若函数有两个零点，则的取值范围为 ．
9．（2021·海南·二模）函数的零点个数为 .
10．（20-21高三上·吉林长春·期中）若函数有且只有一个零点，则实数的值为 .
四、解答题
11．（20-21高二下·重庆·期末）已知函数的图象在处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若函数在上无零点，求的取值范围.
12．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·辽宁·三模）已知函数为实数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，则与有相同的极值点和极值
B．存在，使与的零点同时为2个
C．当时，对恒成立
D．若函数在上单调递减，则的取值范围为
三、填空题
3．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知，分别是函数和的零点，且，，则 ．
四、解答题
4．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知函数，，，则（ ）
A．当时，函数有两个零点
B．存在某个，使得函数与零点个数不相同
C．存在，使得与有相同的零点
D．若函数有两个零点，有两个零点，，一定有
三、填空题
3．（2024·广东佛山·二模）若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
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