专题25 函数y＝Asin(＋)的图象及应用（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】函数y＝Asin(＋)的图象及变换 4
【考点2】由图象确定函数y＝Asin（＋）的解析式 5
【考点3】三角函数图象、性质的综合应用 8
【分层检测】 10
【基础篇】 10
【能力篇】 12
【培优篇】 14
考试要求：
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．（2022·全国·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点1】函数y＝Asin(ωx＋)的图象及变换
一、单选题
1．（23-24高一上·天津宁河·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
2．（2024·四川·模拟预测）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点中心对称，给出下列三个结论：
①；
②函数在上单调递减；
③将的图象向左平移个单位可得到的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、多选题
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，下列判断正确的是（ ）
A．若，且，则
B．时，直线为图象的一条对称轴
C．时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若在上恰有9个零点，则的取值范围为
4．（2024·云南·一模）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位
三、填空题
5．（2007·安徽·高考真题）函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是 ．(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
6．（2024·浙江·二模）将函数的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移得到函数的图象，若函数与函数图象交于点，其中，则的值为 .
反思提升：
作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【考点2】由图象确定函数y＝Asin（ωx＋）的解析式
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·浙江金华·三模）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．在区间的最小值为
4．（2024·广东汕头·二模）如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点、、，且的面积为，则（ ）
A．点的纵坐标为1
B．在上单调递增
C．点是图象的一个对称中心
D．的图象可由的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位得到
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是 ．
6．（2023·广西·模拟预测）已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为 ．
反思提升：
由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
（1）如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ.
（2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
【考点3】三角函数图象、性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·山东泰安·二模）已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称 D．在上的值域为
2．（2024·浙江丽水·二模）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．若，则在区间上的最大值为
4．（2023·广东佛山·模拟预测）已知函数的图象关于对称，则（ ）
A．的最大值为2
B．是偶函数
C．在上单调递增
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称
三、填空题
5．（2022·四川广安·二模）函数（）的图象向右平移后所得函数图象关于轴对称，则 ．
6．（2021·陕西西安·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，设，下列结论正确的是 .
①函数值域为；
②函数对称轴为；
③函数与在内交点的横坐标之和是；
④函数在是增加的.
反思提升：
（1）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【基础篇】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．（2024·山东潍坊·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西晋城·二模）将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川南充·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·浙江·模拟预测）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．（2024·安徽合肥·三模）已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（ ）
A．在上单调递增
B．的图象关于直线对称
C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．在上仅有1个零点
7．（22-23高三上·湖南常德·阶段练习）函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值为3 B．函数关于点对称
C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为
三、填空题
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数(，)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，且是一个极小值点.若把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为 .
9．（2023·湖北·一模）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则 ．
10．（2022·陕西咸阳·二模）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为 .
四、解答题
11．（22-23高一下·辽宁铁岭·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.
12．（2021·浙江·三模）函数.
（1）求函数的对称中心；
（2）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，其中且，求函数在上的取值范围.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西汉中·二模）函数的图象如图所示，为图象上两点，对于向量，为了得到的图象，需要将图象上所有点的坐标（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位
D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位
二、多选题
2．（2024·安徽·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的一个周期
B．在上递减
C．将图象向左平移个单位可得到的图象
D．若，则
三、填空题
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则下列有关与的描述正确的有 （填序号）.
①；
②方程所有根的和为；
③函数与函数图象关于对称.
四、解答题
4．（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
【培优篇】
一、单选题
1．（2020·陕西·模拟预测）如图是函数的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
二、多选题
2．（2022·海南·模拟预测）已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列错误的是（ ）
A．图像的对称轴方程为
B．在上的值域为
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．在上单调递减
三、填空题
3．（2024·辽宁抚顺·一模）已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在内恰有2个最值点，则实数的取值范围为 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题25 函数y＝Asin(＋)的图象及应用（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 6
【考点1】函数y＝Asin(＋)的图象及变换 6
【考点2】由图象确定函数y＝Asin（＋）的解析式 10
【考点3】三角函数图象、性质的综合应用 17
【分层检测】 23
【基础篇】 23
【能力篇】 31
【培优篇】 35
考试要求：
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．（2022·全国·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
1．C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，
考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
2．A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
3．D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
4．C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
5．B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
【考点1】函数y＝Asin(ωx＋)的图象及变换
一、单选题
1．（23-24高一上·天津宁河·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
2．（2024·四川·模拟预测）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点中心对称，给出下列三个结论：
①；
②函数在上单调递减；
③将的图象向左平移个单位可得到的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、多选题
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，下列判断正确的是（ ）
A．若，且，则
B．时，直线为图象的一条对称轴
C．时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若在上恰有9个零点，则的取值范围为
4．（2024·云南·一模）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位
三、填空题
5．（2007·安徽·高考真题）函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是 ．(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
6．（2024·浙江·二模）将函数的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移得到函数的图象，若函数与函数图象交于点，其中，则的值为 .
参考答案：
1．B
【分析】利用三角函数的伸缩变换可以得到答案.
【详解】因为把函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，就能得到函数的图象.
故选：B
2．D
【分析】由题意先求出，再由三角函数的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为函数的周期为，所以，
又图象对称中心为，即，
则，有，
由，所以，故，
此时，结论①正确；
当时，，函数单调递减，结论②正确；
将的图象向左平移个单位可得图象对应的函数为，
因为，所以结论③正确．
故选：D.
3．BD
【分析】利用二倍角公式化简，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.
【详解】，
对于，根据条件，可得，故A错误；
对于，当时，，
所以直线为的一条对称轴，故B正确；
对于，当时，，将向左平移个单位长度后可得，
为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，由题意，则，因为在上恰有9个零，
所以，解得，故D正确.
故选：BD.
4．ACD
【分析】根据已知条件，逐项分析各个选项，利用诱导公式化简函数解析式即可判断.
【详解】A选项，向左平行移动个单位，有，A正确；
B选项，向左平行移动个单位，有，B错误；
C选项，向右平行移动个单位，有，
，C正确；
D选项，向右平行移动个单位，有，
，D正确；
故选：ACD
5．②③
【分析】对于①：直接求出即可验证；对于②：用代入法进行判断；对于③：直接求出增区间即可；对于④：利用相位变换即可判断.
【详解】因为f(x)＝3sin
对于①：由得：，
所以f(x)＝3sin的对称轴方程为：，
令，解得：，故①错误；
对于②：因为，
所以图象C关于点对称；故②正确；
对于③：令，
解得：，
所以f(x)的递增区间为，
当k=0时，是f(x)的一个递增区间，故③正确；
对于④：y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到，故④错误.
故答案为：②③
6．/
【分析】先利用伸缩变换和平移变换得到，再根据题意，由求解.
【详解】解：由题意得：，
因为函数与函数图象交于点，
所以，即 ，
整理得，
因为，所以，
又因为，所以，
故答案为：
反思提升：
作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【考点2】由图象确定函数y＝Asin（ωx＋）的解析式
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·浙江金华·三模）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．在区间的最小值为
4．（2024·广东汕头·二模）如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点、、，且的面积为，则（ ）
A．点的纵坐标为1
B．在上单调递增
C．点是图象的一个对称中心
D．的图象可由的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位得到
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是 ．
6．（2023·广西·模拟预测）已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为 ．
参考答案：
1．B
【分析】由图象可得最小正周期，可求，，点的坐标代入函数的解析式，可求解析式，进而利用图象变换可求函数的解析式.
【详解】由图像可得，函数的最小正周期为，
所以，将点的坐标代入函数的解析式，
且函数在附近递增，所以.
则，
得.因为，所以当时，，
因此.
函数的图象向右平移个单位长度，然后横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的解析式为.
故选：B.
2．D
【分析】结合图象，以及周期公式，求出，再结合平移伸缩的法则即可求解.
【详解】由图象可知，
则的一个最低点为，
的最小正周期为，则，
，即，
所以，
又因为，所以，
所以，
将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，
得的图象，
再将所得曲线向左平移个单位长度，
得，
故，
故选：D.
3．ACD
【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出，可得A正确，B错误；由诱导公式可得C正确；整体代入由正弦函数的值域可得D正确.
【详解】由题意得，
由图象可得，
又，所以，
由五点法可得，
所以.
A：由以上解析可得，故A正确；
B：由以上解析可得，故B错误；
C：，故C正确；
D：当时，，
所以最小值为，故D正确；
故选：ACD.
4．ABC
【分析】首先根据周期，以及条件求函数的解析式，再根据函数的性质判断BC，以及根据函数图象变换规律判断D.
【详解】对于A，由周期可知，，所以，
则，即点的纵坐标为1，故A正确；
即，且，
所以，即，
对于B，当时，，
所以在上单调递增，故B正确；
对于C，，所以点是图象的一个对称中心，故C正确；
对于D，将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得，再将图象向左平移个单位得，故D错误.
故选：ABC
5．
【分析】结合图象求得的最小正周期，即可求得，然后结合图象上的点的坐标及可求得，得到的解析式，进而利用三角函数图象的变换法则得到的解析式，最后利用正弦函数的图象求得m的取值范围．
【详解】设的最小正周期为T，则由图象知，
所以，则，
由在处取得最小值，可得，，
得，．因为，所以，
所以；
（或由题意可得，，亦可得）
，
由，得，
所以由题意得，解得，
即实数m的取值范围是．
故答案为：.
6．
【分析】根据图象可知半个周期，求得，代入点的坐标结合已知可求得，再利用图象平移即可得出的解析式，进而求出.
【详解】由图象可知的最小正周期为，
解得，
代入可得，
解得，
又，所以，
故，
左移个单位长度得，
故．
故答案为：
反思提升：
由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
（1）如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ.
（2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
【考点3】三角函数图象、性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·山东泰安·二模）已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称 D．在上的值域为
2．（2024·浙江丽水·二模）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．若，则在区间上的最大值为
4．（2023·广东佛山·模拟预测）已知函数的图象关于对称，则（ ）
A．的最大值为2
B．是偶函数
C．在上单调递增
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称
三、填空题
5．（2022·四川广安·二模）函数（）的图象向右平移后所得函数图象关于轴对称，则 ．
6．（2021·陕西西安·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，设，下列结论正确的是 .
①函数值域为；
②函数对称轴为；
③函数与在内交点的横坐标之和是；
④函数在是增加的.
参考答案：
1．C
【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得，结合正弦函数的图象与性质，依次判断选项即可.
【详解】A：将的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，
得到函数，故A错误；
B：由选项A可知，
由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
C：由选项A可知，则，
所以函数图象关于点中心对称，故C正确；
D：由选项A可知，由，得，
所以，则，即的值域为，故D错误.
故选：C
2．A
【分析】根据函数图象的平移可得，利用三角函数的最值，求出自变量，的值，然后判断选项即可，
【详解】因函数的最小正周期为，
将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
若对满足的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有，
不妨，则，即在取得最小值，
当时，，
此时，，，不合题意，
当时，，
此时，，，当，满足题意，
故选：A，
3．BC
【分析】首先利用三角函数的性质求出和的关系，进一步利用三角函数的性质求出结果.
【详解】由于函数是偶函数，所以，
由于将的图象向左平移个单位长度，
再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象，则，
对于A，因为曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，
故，解得，故A不正确；
所以函数，则或，
，则或，
对于B，令，解得，
所以当时，的图象关于直线对称，故B正确；
对于C,令，解得，
所以当时，所以的图象关于点对称，故C正确；
对于D，当时，或，
所以或，
当时，当时，，
所以在上单调递增，故函数的最大值为；
当时，当时，，
所以在上单调递减，故函数的最大值为，故D错误；
故选：BC.
4．AB
【分析】依题意可求出，从而可得，结合函数的图象性质逐一判断即可.
【详解】因为函数的图象关于对称，
所以，解得，
所以，其最大值为2，故A正确；
令，
定义域为，，
所以即是偶函数，故B正确；
时，，在单调递增，
在单调递减，故C错误；
把的图象向左平移个单位长度，得到函数
的图象，
因为，
所以的图象不关于点对称，故D错误.
故选：AB
5．
【分析】根据函数的平移变换及函数的奇偶性即可求解.
【详解】由的图象向右平移后，可得
的图象，
因为的图象关于轴对称，
所以,解得
因为，解得，
当时，.
故答案为：.
6．①②③
【分析】由已知得，根据平移规律可得，
由得的值域可判断① ；由的对称轴为可判断② ；画出函数与在的图象可判断③ ；由图象可判断④ .
【详解】由
，
的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
所以，
当时，，所以，
所以，故①正确；
的对称轴为即为，
函数对称轴为，故②正确；
令得，
如图函数与在内交点共有8个，前4个是关于对称的，后4个是关于对称的，所以交点的横坐标之和是，所以③正确；
如图由于是的一条对称轴，所以在是下降的，所以④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，解题的关键点是对函数解析式进行化简和画出函数的图象，考查了学生分析问题解决问题的能力.
反思提升：
（1）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【基础篇】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．（2024·山东潍坊·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西晋城·二模）将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川南充·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·浙江·模拟预测）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．（2024·安徽合肥·三模）已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（ ）
A．在上单调递增
B．的图象关于直线对称
C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．在上仅有1个零点
7．（22-23高三上·湖南常德·阶段练习）函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值为3 B．函数关于点对称
C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为
三、填空题
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数(，)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，且是一个极小值点.若把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为 .
9．（2023·湖北·一模）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则 ．
10．（2022·陕西咸阳·二模）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为 .
四、解答题
11．（22-23高一下·辽宁铁岭·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.
12．（2021·浙江·三模）函数.
（1）求函数的对称中心；
（2）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，其中且，求函数在上的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】
结合诱导公式，利用三角函数图象的平移和变换求解即可.
【详解】
因为，
所以只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：A
2．B
【分析】根据平移变换和周期变换的原则求解即可.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
得，
再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
得.
故选：B.
3．C
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，由在上有2个零点得，解之即可求解.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
得的图象， 由，得，
又在上有2个零点，所以，
解得，即实数的取值范围为.
故选：C
4．A
【分析】根据三角函数的图象变换得，再解方程求解可得答案．
【详解】函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，，
令，，
则，，或，，
即，，或，，
可得，，，，
，，，，
相邻交点距离的最小值为．
故选：A．
5．AD
【分析】根据函数图象平移结论逐项检验可得结论.
【详解】把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数的图象，A正确；
把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数的图象，B错误；
把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数的图象，C错误；
把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数的图象，D正确；
故选：AD.
6．ABD
【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】由题意可知，函数的最小正周期，，．
对于，当时，，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确；
对于B，因为，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，将的图象向右平移个单位长度得到：
，故C错误；
对于D，当时，，仅当，即时，，
即在上仅有1个零点，故D正确．
故选：ABD．
7．ACD
【分析】根据题意由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由图象顶点坐标求出的值，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【详解】由图可知，，，，
将点代入，得，
故，向右平移个单位长度得：
，
函数的最大值为3，故A正确；
，故B错误；
，，函数在上单调递增，故C正确；
函数的最小正周期为，故D正确.
故选：ACD．
8．
【分析】利用三角函数的图象的性质求得周期，进而得到原函数右侧的第一个最值点，也就是对称轴，也就是对称轴，然后得到的最小值.
【详解】相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，∴,∴，
∴最小值点右侧最近的一个最大值点为，第二个最值点为最小值点，即是第一个超过的最值点，即右侧第一条对称轴为，∴把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为,
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的平移变换，属基础题.注意相邻的中心与轴间的距离为四分之一周期，相邻极值点间的距离为半个周期.注意平移的方向，找到函数在直线右侧的第一条对称轴是关键.
9．
【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据偶函数即可求解,进而可求解.
【详解】，
由于是偶函数，所以,故，
所以，
故答案为：
10．（答案不唯一）
【分析】根据辅角公式可知原函数为，再将其按照题意平移后函数，根据函数为偶函数，可知，由此即可求出结果.
【详解】因为，
所以将函数的图象向右平移个单位长度后，
由题意可知，函数是偶函数，
所以，即.
故答案为：（答案不唯一）.
11．(1)，
(2).
【分析】（1）由图象可知，相邻的对称中心和对称轴距离相差，再代入关键点可得解析式；
（2）根据图象的变换得到解析式，再根据正弦函数的图象与性质可得其在区间上最值.
【详解】（1）由图象可知的最大值为1，最小值-1，故；
又∴，
将点代入，
∴，
∵∴
故答案为：，.
（2）由的图象向右平移个单位长度得到函数
∵
∴
∴当时，即，；
当时，即，.
12．（1）；（2）.
【分析】（1）化简函数，令，即可求得函数的对称中心；
（2）由三角函数的图象变换，得到，根据题设条件，求得，结合正弦函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数
，
令，解得，
所以函数的对称中心为.
（2）由题意，将函数的图象向左平移个单位得到，
因为，且，可得，，且，
又因为，所以，
当时，函数取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为，
所以.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西汉中·二模）函数的图象如图所示，为图象上两点，对于向量，为了得到的图象，需要将图象上所有点的坐标（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位
D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位
二、多选题
2．（2024·安徽·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的一个周期
B．在上递减
C．将图象向左平移个单位可得到的图象
D．若，则
三、填空题
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则下列有关与的描述正确的有 （填序号）.
①；
②方程所有根的和为；
③函数与函数图象关于对称.
四、解答题
4．（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
参考答案：
1．D
【分析】根据图象及题设条件，求出，从而得到，再利用图象的平移变换，即可求出结果.
【详解】设的最小正周期为，如图，易知，，所以，
又，所以，得到，所以，即，
又由图象知，过点，所以，即，
又，所以，得到，
为了得到的图象，需要将图象上所有点的坐标横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，
故选：D.
2．ACD
【分析】由三角函数的最小正周期公式可判断A；通过的单调性可判断B；通过函数图象左右平移作用于自变量，且左加右减可判断C；由题代入求出，再通过诱导公式和二倍角公式凑角求值可判断D.
【详解】对于A，由题意，函数，可得的最小正周期为，
所以是的一个周期，故A正确；
对于B，由，可得，
所以函数在上不单调，故B错误；
对于C，将的图象向左平移个单位可得，，
即，故C正确；
对于D，若，即，即，
所以，
故D正确.
故选：ACD.
3．①③
【分析】根据图象分别确定，结合五点作图法可最终求得解析式；利用三角函数平移变换可知①正确；利用三角恒等变换知识化简方程为，结合范围求得方程的根，可得②错误；利用诱导公式化简可得，知③正确.
【详解】由图象可知：，，；
又，由五点法可知：，解得：；
；
对于①，，①正确；
对于②，，即；
，，或或或，
所有根的和为，②错误；
对于③，，
与图象关于对称，③正确.
故答案为：①③
【点睛】思路点睛：本题考查三角函数性质的综合应用问题，涉及到已知图象求解析式、整体法求解方程的根、图象对称性问题；已知图象求解解析式的基本思路是通过五点作图法的方式，将图象与正弦函数图象进行对应，从而确定参数的取值.
4．(1)，
(2).
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法,求得的函数表达式，解方程求得的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求出即可.
【详解】（1）由题意可得：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，
又，所以，故.
令，得，
所以函数的递减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
的两个根对应的点关于直线对称，即，
有，
在上有两个不同的根，
所以；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.
【培优篇】
一、单选题
1．（2020·陕西·模拟预测）如图是函数的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
二、多选题
2．（2022·海南·模拟预测）已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列错误的是（ ）
A．图像的对称轴方程为
B．在上的值域为
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．在上单调递减
三、填空题
3．（2024·辽宁抚顺·一模）已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在内恰有2个最值点，则实数的取值范围为 ．
参考答案：
1．B
【分析】先由图用求出，由 求出,由 求出,
得到；运用二倍角公式和辅助角公式化简
利用三角函数图象平移性质得解.
【详解】如图知: ,
， , 又
,,
解得：
又,，，
由三角函数图象平移性质得
(技巧：由三角函数图象平移性质得 )
所以函数向右平移个单位长度得到.
故选：B
【点睛】本题考查由图象求函数的解析式.
确定的步骤和方法:
(1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，；
(2)求：确定函数的周期，则可；
(3)求：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
2．ABC
【分析】根据题意的图象关于点对称，又当时，取得最小值，
当取最小值时，即周期最大，可得，所以，函数在时取得最小值，所以．求得，再逐项分析判断即可得解.
【详解】因为，所以的图象关于点对称，又对任意，都有，所以当时，取得最小值，
当取最小值时，即周期最大，
可得．得，所以，
函数在时取得最小值，
所以．因为，所以．
即．
令，得．故A错误；
当时，．
此时的值域为，故B错误；
将的图象向左平移个单位长度得到函数
的图象，故C错误；
当时，，单调递减，故D正确．
故选：ABC
3．
【分析】根据函数零点的最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个最值点可限定出，即可解得实数的取值范围.
【详解】由可得或；
根据正弦函数图象性质可知，解得；
将函数的图象向左平移个单位后可得为偶函数，
则，又可得；
因此；
当时，可知，
若函数在内恰有2个最值点，可知，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得，再由平移后的函数为偶函数求得，得出函数的解析式后问题便迎刃而解.
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