专题34 等比数列及其前n项和（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 9
【考点1】等比数列基本量的运算 9
【考点2】等比数列的判定与证明 12
【考点3】等比数列的性质及应用 21
【分层检测】 25
【基础篇】 25
【能力篇】 32
【培优篇】 36
考试要求：
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
3．（2022·全国·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
二、填空题
4．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
5．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ．
6．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
7．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
8．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
参考答案：
1．C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
2．C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
3．D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
4．①③④
【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.
【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.
对于②，取则均为等比数列，
但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，
方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
5．
【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.
【详解】由题设有，因为，故，故，
当时，，故，此时为闭区间，
当时，不妨设，若，则，
若，则，
若，则，
综上，，
又为闭区间等价于为闭区间，
而，故对任意恒成立，
故即，故，
故对任意的恒成立，因，
故当时，，故即.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.
6． 48 384
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
7．
【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
8．
【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.
【详解】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
【考点1】等比数列基本量的运算
一、单选题
1．（2024·河南·三模）设为数列的前项和，若，则（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
3．（2024·江苏南通·模拟预测）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（ ）
A．等差数列是等差比数列
B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同
C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列
D．若数列是等比数列，则数列等差比数列
4．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列可能为常数列
B．数列可能为等比数列
C．若，则
D．若，记是数列的前项积，则的最大值为
三、填空题
5．（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等比数列的前项的和，若，，则 .
6．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据的关系可得递推公式，利用递推公式可得.
【详解】当时，，所以，
整理得，所以.
故选：B．
2．B
【分析】根据等比中项的性质得到，再由对数的运算性质及下标和性质计算可得.
【详解】因为与的等比中项为，
所以，
所以.
故选：B
3．BCD
【分析】考虑常数列可以判定A错误，代入等差比数列公式可判断BCD说法正确
【详解】等差数列若为常数列，则，无意义，
所以等差数列不一定是等差比数列，A选项错误；
若公比为的等比数列是等差比数列，则不是常数列，，
，即该数列的公比与公差比相同， B选项正确.
若数列是等差比数列，则，所以数列是等比数列，故C选项正确；
若数列是等比数列，公比为，则，
所以数列等差比数列，故D选项正确
故选：BCD.
4．ABD
【分析】根据常数列的定义，结合条件，判断A；根据等比数列的定义，判断为常数，判断B；根据数列的公比，并求数列的首项，利用等比数列的前项和公式判断C；结合数列的通项公式，并判断数列的单调性，即可判断D.
【详解】A.当时，，得或（舍），
此时为常数列，故A正确；
B.，，
，
若时，此时，不是等比数列，
若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确；
C.若，，所以，故C错误；
D.若，，数列是首项为，公比为的等比数列，
，数列单调递减，，
当时，，当时，，
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD
5．
【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，由题意可得，
由，可得，解得，
又，即，所以，
同理，，，，
因为，
所以.
故答案为：
6． 23 57.5/
【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.
【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则，
故，.
故答案为：.
反思提升：
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
【考点2】等比数列的判定与证明
一、解答题
1．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)若是数列的前项和，求的最小值.
2．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，求，并证明：.
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
4．（23-24高二下·北京·期中）已知数列为等差数列，，，数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)设，求数列的前项和.
5．（2024·全国·模拟预测）对于给定的正整数，若对任意的正整数，数列均满足，且，则称数列是“数列”．
(1)证明：各项均为正数的等比数列是“数列”．
(2)已知数列既是“数列”，又是“（3）数列”．
①证明：数列是等比数列．
②设数列的前项和为，若，，问：是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由．
6．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）曲线的切线 曲面的切平面在平面几何 立体几何以及解析几何中有着重要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工具，更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线 曲面的切平面，用以解决实际问题：
(1)对于函数，分别在点处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”.
①设函数，记的“切线轴数列”为；
②设函数，记的“切线轴数列”为，
则，求的通项公式.
(2)在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列，我们把该数列称为牛顿数列，令数列满足，且，证明：.（注：当时，恒成立，无需证明）
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，再由等差数列的通项公式和前n项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式；
（2）由裂项相消法求和即可得，根据数列单调性可求得答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，
即，解得，
所以，
即数列的通项公式为.
（2）由，
.
因为，即，
所以为严格增数列，
所以时，有最小值.
2．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义证明；
（2）由错位相减法求得和，再由分离出，证明恒成立即得证．
【详解】（1）由得
又，
数列是以为首项，以为公比的等比数列.
（2）由（1）的结论有
①
②
①②得：
因为，所以恒成立
.
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由条件推导，即证明是公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得的通项公式，从而求出，由分组求和即可求出数列的前项和.
【详解】（1）因为数列中，，，
所以，且，
所以是等比数列，公比为2，首项为2
（2）由(1)可得，即，
所以数列的前项和
4．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求出的公差，然后利用首项即得通项公式；
（2）直接利用条件即可证明；
（3）写出的求和式，再分组求和.
【详解】（1）设的公差为，则，故.
再由即知，故所求通项公式为.
（2）由于，，故是首项为，公比为的等比数列.
（3）在（2）最后我们得到是首项为，公比为的等比数列，从而，即.
所以.
分别使用等差数列和等比数列的求和公式，可得，.
所以.
5．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②存在，，
【分析】（1）根据题意，由等比数列的性质，结合“数列”的定义即可证明；
（2）①根据题意，结合“数列”的定义，再由等比数列的定义即可证明；②假设存在，即可得到，然后分为奇数与为偶数分别讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为是等比数列，所以，
所以，
因此各项均为正数的等比数列是“数列”．
（2）①数列既是“（2）数列”，又是“（3）数列”，
因此当时，（ⅰ），
当时，（ⅱ），
由（ⅰ）知，当时，（ⅲ），
（ⅳ），
将（ⅲ）（ⅳ）代入（ⅱ），得，其中，
所以是等比数列，设其公比为，
在（ⅰ）中，取，则，所以，
在（ⅰ）中，取，则，所以，
所以数列是等比数列．
②由①及，知
所以．易知，所以．
所以，．
假设存在正整数，使得，即，即．
当为奇数时，，
设，，则，
所以，
可得，所以，
所以，
所以存在，使得．
当为偶数时，，
若为偶数，则为奇数，所以．
若为奇数，则，（提示：时，不成立）
为偶数，为个奇数之和，也为奇数，所以．
（提示：一个偶数与一个大于1的奇数的乘积一定不等于）
所以当为偶数时，不存在正整数，使得．
综上所述，存在，，，使得．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了等比数列的定义以及数列新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解“数列”的定义，然后结合数列的知识解答.
6．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合导数的几何意义分别求出函数，在时的切线方程，由此可求，再利用错位相减法求；
（2）结合导数的几何意义证明，由此可得，证明为等比数列，结合所给结论，利用放缩法和等比数列求和公式证明结论.
【详解】（1）由题意则.
设切点为
则过切点的切线为
令，整理得，
所以.
由题意则.
设切点为则过切点的切线为.
令整理得
所以.
对于当是正奇数时；当是正偶数时即
.
所以
两式相减，得
所以.
（2）因为二次函数有两个不等实根,
所以不妨设，
则，
因为所以
所以在横坐标为的点处的切线方程为
令则
即，
因为
所以.
因为所以所以.
令则，又
所以，
数列是公比为2的等比数列.
.
由因为所以即.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，数列求和，证明不等式，第一问解题的关键在于结合导数的几何意义求出切线方程，进一步求出，利用错位相减法求和，第二问解决的关键在于结合所给结论，通过适当放缩，证明结论.
反思提升：
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【考点3】等比数列的性质及应用
一、单选题
1．（2024·安徽滁州·三模）已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）等比数列中，则（ ）
A． B．5 C．10 D．20
二、多选题
3．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．小华一共前进3步的概率最大
4．（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空题
5．（21-22高三上·山东聊城·期末）已知等比数列的公比，且，则 .
6．（23-24高二下·广东广州·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里.
参考答案：
1．A
【分析】利用等比数列的性质求出，再解方程组求出，即可得解.
【详解】因为是等比数列，
所以，
则，解得或，
又因为是单调递增的等比数列，
所以，
所以公比.
故选：A.
2．C
【分析】根据等比数列的通项的性质求得公比，即可得结论.
【详解】设等比数列的公比为，
则，所以，
故.
故选：C.
3．BC
【分析】根据题意直接求概率判断选项A，然后根据题意求出递推公式即可判断选项B，根据递推公式判断数列是首项为，公比为的等比数列，求通项公式判断选项C，分类讨论求解概率通项的最大值判断D.
【详解】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，，
故选项A错误；
当时，其前进几步是由两部分组成：先前进步，再前进1步，其概率为，
或者先前进步，再前进2步，其概率为，所以，
故选项B正确；
因为，所以，
而，所以，即，
故选项C正确；
因为当时，，所以，
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以，所以.
当n为奇数时，为偶数，则，此时数列单调递增，所以；
当n为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减，
所以；
综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误.
故选：BC
4．BC
【分析】结合选项，利用等比数列单调性分析判断即可.
【详解】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值；
，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值；
，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，
所以等比数列有最大值，也有最小值；
，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值，
偶数项为正无最大值.
故选：BC
5．120
【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案.
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
故答案为：120
6．192
【分析】设第一天走里，则每日行走里程构成以为首项，为公比的等比数列，然后利用等比数的求和公式列方程求出.
【详解】设第一天走里，则每日行走里程构成以为首项，为公比的等比数列.
由题意得，解得，
所以该人第一天走的路程为192里.
故答案为：192
反思提升：
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列等比数列，且则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．（2024·山东泰安·模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，已知，其前项之积为，且，则取得最大值时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高二上·山东青岛·期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．的公比为 B．的前项和为
C．的前项积为 D．
7．（23-24高三上·全国·开学考试）记公比为的单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知是等比数列的前项和，若，则 .
9．（23-24高二上·山东青岛·期末）数列是等比数列，且前项和为，则实数 ．
10．（2024·贵州·模拟预测）拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一共有 个节点.（填写具体数字）
四、解答题
11．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知数列满足，，数列前n项和．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求、的通项公式；
(3)设，求的最大值．
12．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知等差数列满足（），数列是公比为3的等比数列，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列和中的项由小到大组成新的数列，记数列的前n项和为，求．
参考答案：
1．A
【分析】由题意知对折后的等腰直角三角形的腰长成首项为，公比为的等比数列，进而求出对折6次后的腰长，即可求解.
【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，
故对折6次后，得到腰长为的等腰直角三角形，
所以斜边长为.
故选：A．
2．D
【分析】根据等比中项的性质计算得，从而可得，再利用对数运算性质计算即可.
【详解】由等比中项性质可知，
又.
故选：D
3．C
【分析】利用等比中项和等比数列的通项公式求解即可.
【详解】因为是各项均为正数的等比数列，
所以，解得，
所以，
故选：C
4．A
【分析】由已知可得，进而可得，可得等比数列是递减数列，且，可求取得最大值时的值．
【详解】由，得， ，
则，由于，得，
所以等比数列是递减数列，故，则取得最大值时．
故选：A．
5．BD
【分析】根据题意，结合等比数列的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由等比数列的首项为，公比为，
对于A中，若，可得，所以为递减数列，所以A错误；
对于B中，若，可得，所以为递增数列，所以B正确；
对于C中，若，可得，所以为递减数列，所以C错误；
对于D中，若，可得，所以为递增数列，所以D正确.
故选：BD.
6．AB
【分析】对A，根据等比数列的基本量关系，结合等比数列的定义判断即可；对B，由A可得，再根据等差数列求和公式求解即可；对C，根据求解即可；对D，代入求解即可.
【详解】对A，设等比数列的公比为，则，得，
所以，所以，
所以，
所以数列的公比为，故A正确
对B，因为，所以的前项和为
，故B正确；
对C，的前项积为，故C错误
对D，因为，
所以的前项和为，故D错误．
故选：AB
7．ABC
【分析】先求得，进而求得，由此求得，进而判断出正确选项．
【详解】设等比数列的公比为，由，，
得，解得或，
又因为数列单调递增，所以，故A正确；
所以，解得，
所以，故B正确；
，，故C正确，D错误.
故选：ABC.
8．5
【分析】结合推论若等比数列的前项和为，则，，，成等比数列即可直接求出结果.
【详解】因为是等比数列的前项和，
所以，，，成等比数列，
因为，所以，
所以，
即，
所以，
所以，
所以.
故答案为：5.
9．
【分析】由作差求出的通项，再由是等比数列，求出.
【详解】因为，当时，
当时，所以，
则，
又数列是等比数列，所以，解得.
故答案为：
10．1023
【分析】由等比数列的求和公式即可求得答案.
【详解】由图可知，每一层节点的个数组成以1为首项，2为公比的等比数列，
所以到第10层节点的总个数是.
故答案为：1023.
11．(1)证明见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）根据条件，取倒数可得，进而可证结论；
（2）根据等差数列的通项公式可求，利用的关系可得；
（3）根据的通项公式，判断其单调性，结合单调性可得答案.
【详解】（1）因为，，
所以，
则，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）可得：，
所以，
当时，
，
当时，满足，所以 .
（3）由（2）可得，
可得，
所以，
由，
可得当，2时，，
当时，，单调递减，
可得为最大值，.
12．(1)，
(2)4582
【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义即可得到公差，代入计算即可得到数列的通项公式，再由等比数列的通项公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由分组求和代入计算，即可得到结果.
【详解】（1），①，（），②，
得：，
∵为等差数列，∴，，
，即，
∴，
因为数列是公比为3的等比数列，，
即，解得：，
所以；
（2）由（1）可知，，，
且数列和中的项由小到大组成新的数列，
其中，，此时，
所以数列中数列有项，数列有项，
，
．
【能力篇】
一、单选题
1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知非零实数a，b，c不全相等，则下列结论正确的是（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则，，构成等差数列
B．若a，b，c成等比数列，则，，构成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则，，构成等比数列
D．若a，b，c成等比数列，则，，构成等比数列
二、多选题
2．（23-24高二下·湖北·阶段练习）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为，数列的前项为，则（ ）
A． B．满足的的最小值为11
C． D．
三、填空题
3．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为 .
四、解答题
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，数列的前项和为，且．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前项和．
参考答案：
1．C
【分析】A、B、D选项可以通过特值法排除，C选项直接翻译得到，用等比中项的方法可判断C对.
【详解】解：当，，时，,A错误；
当，， 时，,，B错误；
若a，b，c成等差数列，则，
所以，
故，，构成等比数列，C正确；
当，，时，D显然错误．
故选：C．
2．BD
【分析】由条件可得数列满足递推关系，结合递推证明数列是等比数列，由此可求数列的通项公式，判断A，结合通项公式判断B，结合拓展规则可得，证明数列是等比数列，求数列的通项判断C，利用分组求和法求判断D.
【详解】数列1，3第次拓展后的项数为，则，，
根据拓展规则可知，，
即，又，
数列是首项为2，公比为2的等比数列
，即；故A项错误；
由，即，解得，故B项正确；
根据拓展规则可知，第次“和扩充”所新增的数的和为，
所以，
，又，
数列是首项为6，公比为3的等比数列，
，所以；故C项错误；
，故D项正确．
故选：BD.
3．
【分析】根据条件，利用等比列的性质及基本不等式，即可求出结果.
【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，又，
所以，得到，即，
故答案为：.
4．(1)，
(2)
【分析】（1）作差得到，利用累乘法求出的通项公式，根据作差得到，结合等比数列的通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以当时，，得．
当时，，
所以，所以．
因为时也满足，
所以，所以，即，
又也满足，所以.
因为，所以当时，，解得．
当时，，所以，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，故．
（2）由（1）可得，
所以，
，
两式相减得
，
所以.
【培优篇】
一、单选题
1．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的满足，则下列选项之中，不可能成立的为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）在边长为3的正方形中，作它的内接正方形，且使得，再作正方形的内接正方形，使得依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，，）则（ ）
A． B．
C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前项和取值范围
三、填空题
3．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，（），对任意，都存在，使得.若（），则 ， .
参考答案：
1．C
【分析】分类讨论，结合等比数列的通项和性质分析判断.
【详解】当时，则有：
①当，则为非零常数列，故符合题意，A可能成立；
②当，则为单调数列，故恒不成立，即且不合题意；
当时，可得，则有：
①当，若为偶数时，则；
若为奇数时，则；
故符合题意，B可能成立；
②当，若为偶数时，则，
且，即；
若为奇数时，则，且，
即；故符合题意，D可能成立；
③当，若，可得，
，则，可得，则，这与等比数列相矛盾，
故和均不合题意，C不可能成立.
故选：C.
2．ABD
【分析】利用正方形的特征结合的三角函数值可判定A、B选项，利用相似三角形的相似比可判定C选项，同时结合等比数列的求和公式可判定D选项.
【详解】对A：由题意可知，
，
而，则，
所以，故A正确；
对B：由上可知，
所以，故B正确；
对C：易知，此后对应三角形均相似，
而相似比，
即是首项为3，公比为的等比数列，
是首项为，公比为的等比数列，故C错误；
对D：由上可得，则，
则，
显然单调递减，即，所以的取值范围为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出等比数列的首项和公比，由此即可顺利得解.
3．
【分析】由和与的关系，得出（），分别求出与，再由建立方程组进行求解即可.
【详解】∵，
∴当时，，
以上两式相减，得，即（），
又∵，∴当时，，
∴，
①当时，，
∴，即，
对任意，不一定存在，使得，
∴不成立；
②当时，则（），
∴（），即（），
当时，，，即时，存在使成立；
当时，，，
若对任意，都存在，使得，
则，即时，有满足题意，
解得.
又∵
∴将和代入，得，解得.
∴，.
故答案为：，.
【点睛】本题解题关键是由建立方程组，再由题意得出，存在使成立，从而可以对和进行求解.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题34 等比数列及其前n项和（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】等比数列基本量的运算 4
【考点2】等比数列的判定与证明 5
【考点3】等比数列的性质及应用 7
【分层检测】 8
【基础篇】 8
【能力篇】 10
【培优篇】 11
考试要求：
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
3．（2022·全国·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
二、填空题
4．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
5．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ．
6．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
7．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
8．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
【考点1】等比数列基本量的运算
一、单选题
1．（2024·河南·三模）设为数列的前项和，若，则（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
3．（2024·江苏南通·模拟预测）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（ ）
A．等差数列是等差比数列
B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同
C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列
D．若数列是等比数列，则数列等差比数列
4．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列可能为常数列
B．数列可能为等比数列
C．若，则
D．若，记是数列的前项积，则的最大值为
三、填空题
5．（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等比数列的前项的和，若，，则 .
6．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
反思提升：
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
【考点2】等比数列的判定与证明
一、解答题
1．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)若是数列的前项和，求的最小值.
2．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，求，并证明：.
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
4．（23-24高二下·北京·期中）已知数列为等差数列，，，数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)设，求数列的前项和.
5．（2024·全国·模拟预测）对于给定的正整数，若对任意的正整数，数列均满足，且，则称数列是“数列”．
(1)证明：各项均为正数的等比数列是“数列”．
(2)已知数列既是“数列”，又是“（3）数列”．
①证明：数列是等比数列．
②设数列的前项和为，若，，问：是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由．
6．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）曲线的切线 曲面的切平面在平面几何 立体几何以及解析几何中有着重要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工具，更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线 曲面的切平面，用以解决实际问题：
(1)对于函数，分别在点处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”.
①设函数，记的“切线轴数列”为；
②设函数，记的“切线轴数列”为，
则，求的通项公式.
(2)在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列，我们把该数列称为牛顿数列，令数列满足，且，证明：.（注：当时，恒成立，无需证明）
反思提升：
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【考点3】等比数列的性质及应用
一、单选题
1．（2024·安徽滁州·三模）已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）等比数列中，则（ ）
A． B．5 C．10 D．20
二、多选题
3．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．小华一共前进3步的概率最大
4．（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空题
5．（21-22高三上·山东聊城·期末）已知等比数列的公比，且，则 .
6．（23-24高二下·广东广州·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里.
反思提升：
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列等比数列，且则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．（2024·山东泰安·模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，已知，其前项之积为，且，则取得最大值时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高二上·山东青岛·期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．的公比为 B．的前项和为
C．的前项积为 D．
7．（23-24高三上·全国·开学考试）记公比为的单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知是等比数列的前项和，若，则 .
9．（23-24高二上·山东青岛·期末）数列是等比数列，且前项和为，则实数 ．
10．（2024·贵州·模拟预测）拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一共有 个节点.（填写具体数字）
四、解答题
11．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知数列满足，，数列前n项和．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求、的通项公式；
(3)设，求的最大值．
12．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知等差数列满足（），数列是公比为3的等比数列，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列和中的项由小到大组成新的数列，记数列的前n项和为，求．
【能力篇】
一、单选题
1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知非零实数a，b，c不全相等，则下列结论正确的是（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则，，构成等差数列
B．若a，b，c成等比数列，则，，构成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则，，构成等比数列
D．若a，b，c成等比数列，则，，构成等比数列
二、多选题
2．（23-24高二下·湖北·阶段练习）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为，数列的前项为，则（ ）
A． B．满足的的最小值为11
C． D．
三、填空题
3．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为 .
四、解答题
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，数列的前项和为，且．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【培优篇】
一、单选题
1．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的满足，则下列选项之中，不可能成立的为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）在边长为3的正方形中，作它的内接正方形，且使得，再作正方形的内接正方形，使得依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，，）则（ ）
A． B．
C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前项和取值范围
三、填空题
3．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，（），对任意，都存在，使得.若（），则 ， .
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