2024-2025学年北师大版必修二单元测试 第二章 平面向量及其应用（含解析）

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2024-2025学年北师大版必修二单元测试 第二章 平面向量及其应用
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知平面向量,.若,则( )
A.或1 B. C.1 D.
2．已知向量，，若，则( )
A. B.1 C. D.
3．已知,,则等于( )
A.10 B.-10 C.3 D.-3
4．已知菱形的边长为1,,点E是边上的动点,则的最大值为( ).
A.1 B. C. D.
5．请运用所学三角恒等变换公式,化简计算,并从以下选项中选择该式子正确的值( )
A. B. C.2 D.1
6．如图，已知圆O的半径为2，弦长，C为圆O上一动点，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7．已知在四边形中，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
8．如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段，分别于点N，M，且，，其中，则的最小值为( )
A. B. C.1 D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A., B.,
C., D.,
10．已知向量,,则下列结论正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
11．已知点,,,，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知的内角A,B,C的对边为a,b,c,的面积为,且,,则的周长为__________.
13．如图,在正六边形中,__________.
14．设,向量,,若,则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）在中,a,b,c分别是角A、B、C所对的边,记的面积为S,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①;②;③.
16．如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，连接，P为线段上的一个动点.
(1)用基底表示；
(2)求的值；
(3)设，求的取值范围.
17．已知的面积.
(1)求证：；
(2)设D为的中点，且，求的值.
18．已知中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，且.
(1)求B；
(2)若，的面积为，求a.
19．在中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，边上的高为，求三角形的周长.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,,则,,
又因为,则,解得或,
且,所以.
故选：B.
2．答案：B
解析：由，又，
所以，
则.
故选：B
3．答案：B
解析：由向量,,可得,,
所以.
4．答案：D
解析：设,,
,
的最大值为.
故选：D.
5．答案：A
解析：
6．答案：C
解析：取的中点D，连接、，
则
，
又，
所以，，
即，
所以，.
故的取值范围为.
故选：C
7．答案：D
解析：在中，由，
且，可得，
由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
故选：D.
8．答案：C
解析：，
则，，
又P，M，N共线，.又，
，
当且仅当时取等号，
故选：C.
9．答案：BC
解析：A选项:,与共线,A错误;
B选项:,与不共线,B正确;
C选项:,与不共线,C正确;
D选项:,与共线,D错误;
故选:BC.
10．答案：BCD
解析：由,得,即,解得或,则A错误,B正确;由,得,解得,则C,D正确.
故选：BCD.
11．答案：BC
解析：因为,,,，
所以,，则，故A不正确；
因为,，故B正确；
因为，故C正确；
因为,,，故D不正确.
故选：BC.
12．答案：6
解析：,,
,
, ,
,,
, ,又,
是边长为2的等边三角形,
的周长为6.
13．答案：
解析：由题意,根据正六边形的性质
.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意得,解得,
故答案为:.
15．答案：（1）,
（2）证明见解析
解析：（1）由函数,
可得,
化简得:,
因为,
所以,
所以函数的单调递增区间为,.
（2）若
由,所以,所以,
由,知,因为,所以,
所以,所以,
所以,
由余弦定理:,
将代入得:,,,
所以.
若由,由由,知,
由,,所以,,
由余弦定理:结合,
所以,,,所以,,
所以.
若由,由,所以,所以,
所以,,所以,
再由得:,
所以,所以,
所以,,,即,
所以.
16．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由向量的线性运算法则可得①，
②，
因为M为线段中点，则，由题意可得，
①+②得，
整理得：，
则
(2)由与交于点N，
设③，
设，可得，
即④，
由③④得，
消去得，所以，即.
(3)由题意，可设，
代入中
并整理可得.
又，
故，
可得.
因为，且函数在上单调递减，
所以，
，
因为函数在单调递减，
所以，，，
所以的取值范围为.
17．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：（1）记角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由题意可知，
由正弦定理得
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，①
同理，在中，②
①-②得，.
在中，由正弦定理得，，
所以，即，
所以.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，即，
所以，
又，所以.
(2)因为的面积为，，
所以，所以，
又，，
所以，即，
化简得，解得，
又，所以.
19．答案：(1)；
(2).
解析：（1）由题设及余弦定理知，
整理得，
所以，，则；
（2）由题意及（1）知：，则，
由，即，
所以（负值舍），故，而，
所以三角形的周长为.
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