2024-2025学年北师大版必修二单元测试 第六章 立体几何初步（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年北师大版必修二单元测试 第六章 立体几何初步
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A. B. C. D.
2．在正四棱台中，已知，该正四棱台的体积为168，则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3．如图,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱.若侧面水平放置时,液面恰好过,,,的四等分点处,,当底面水平放置时,液面高为( )
A.3 B. C. D.
4．已知斜三棱柱中，O为四边形对角线的交点，设四棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则( )
A. B. C. D.
5．如图,在三棱锥中,,,两两垂直,且,以A为球心,为半径作球,则球面与底面的交线长度的和为( )
A. B. C. D.
6．已知圆锥的体积为，其侧面积是底面积的倍，则该圆锥的母线长为( )
A.2 B. C. D.
7．如图，高度为h的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是( )
A. B. C. D.
8．如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为，则该杯子的高度为( )
A.12cm B.13cm C.14cm D.15cm
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则.
C.若，，则
D.若，，则.
10．已知正方体的棱长为1,P,Q分别为棱,上的动点,则( )
A.四面体的体积为定值 B.四面体的体积为定值
C.四面体的体积最大值为 D.四面体的体积最大值为
11．以长为4cm,宽为3cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知四棱锥的底面是平行四边形,点E满足.设三棱锥和四棱锥的体积分别为和,则的值为________.
13．设地球的半径为R,若A在北纬的纬线图上,则此纬线圈构成的小圆面积为_______________.（结果用R表示）
14．表面积为的球的体积是________________（结果保留）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．判断下列命题的真假.
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），；
（5），，，，.
16．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，且，，，，E是CD的中点，求证：平面平面PAE.
17．已知长方体中，，，，求AD.
18．求正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比（以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱称为正棱柱的内切圆柱，以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱称为正棱柱的外接圆柱）.
19．一块扇形薄铁板的半径长是，圆心角是.用这块薄铁板围成一个圆锥筒，求圆锥筒的容积.
参考答案
1．答案：D
解析：设球的半径为R，球的截面圆的半径为r，
即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径，
则，
解得，
由球的截面性质得：，
解得，
所以球的体积为，
故选：D
2．答案：C
解析：连接，相交于点O，，相交于点，连接，
则为正四棱台的高，作，垂足为E，
则，，
四边形是等腰梯形，，
所以，，，
由，得，
可得.
故选：C.
3．答案：B
解析：设当底面水平放置时,液面高为h,
依题意,侧面水平放置时,液面恰好过,,,的四等分点处,,
所以水的体积,
解得.
故选：B.
4．答案：B
解析：因为O为四边形对角线的交点，所以O为的中点，
所以，
所以.
故选:B.
5．答案：C
解析：由题意知三棱锥为正三棱锥,故顶点A在底面的射影为的中心H,连接,由,
得,所以,
因为球的半径为,所以截面圆的半径,
所以球面与底面的交线是以H为圆心,为半径的圆在内部部分,
如图所示
易求,所以,
易得,所以,
所以交线长度和为.
故选:C.
6．答案：B
解析：由，得，
由，得，
因为，解得，所以.
故选：B.
7．答案：D
解析：设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为r，
则水面半径为.当水的体积等于容器容积的一半时，
有，整理得.
因为，，，，则D选项更接近.
故选：D.
8．答案：B
解析：当杯子盛满水时，该杯子中水的高度为hcm，
则杯子的容积为，
可得，
所以该杯子的高度为cm.
故选：B
9．答案：AC
解析：对于A：因为，
可知在平面内存在直线l，使得，如图所示，
又因为，且，则，所以，因此A正确；
对于B：如图所示：，，但，故B错误；
对于C：若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确
对于D：，，如图所示，，故D错误
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：A：因为的面积为,Q到平面的距离不是定值,
所以四面体的体积不是定值,故A错误;
B：因为的面积为,P到矩形的距离为定值,
所以P到平面的距离为,则四面体的体积为,故B正确;
C：当Q与重合时,取得最大值,为,
当P与重合时,P到平面的距离d取得最大值,
在正中,其外接圆的半径为,则,
故四面体的体积最大值为,故C正确;
D：过点Q作,,,
设,,则t,,
,,,,
故四面体的体积为,其最大值为,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：CD
解析：当圆柱底面半径为4cm,高为3cm时,表面积;
当圆柱底面半径为3cm,高为4cm时,表面积.
故选:CD
12．答案：
解析：设点C到平面的距离为h,
因为,则,
则,其中三棱锥的体积为,
则,,
又,所以,则.
故答案为:
13．答案：
解析：如图所示：
则点A所在小圆半径,
所以小圆的面积为.
故答案为：.
14．答案：
解析：设球的半径为R,则,,
所以球的体积为.
故答案为：.
15．答案：（1）假命题
（2）真命题
（3）假命题
（4）假命题
（5）假命题
解析：（1），，，则或a，b异面，故（1）是假命题；
（2），，，，（2）是真命题；
（3），，，则或或l，m异面或l，m相交，（3）是假命题；
（4），或，（4）是假命题；
（5）如图所示：，，，.则b与不垂直，（5）是假命题.
16．答案：证明见解析
解析：证明：连接AC，由，，，得.
又，E是CD的中点，所以.
因为平面，平面ABCD，所以，
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以平面PAE.
因为平面PCD，
所以平面平面PAE.
17．答案：
解析：由长方体的性质得，，
在中，由，，
得，
在中，由，，
得，
由，得.
18．答案：
解析：设正三棱柱的底面边长为a，高为h，底面内切圆半径为r，外接圆半径为R，则由平面几何知识知.
.
19．答案：
解析：设圆锥底面圆的半径为，
则，解得，
则圆锥的高，
所以圆锥筒的容积为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)