南京市鼓楼区2015-2016学年高二下期中考试文科数学试题含答案

高二数学(文科)
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差：eq s\s(2)= \f(1,n)\I\su(i=1,n,(x\s\do2(i)－)\s(2)) ，其中＝.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．
1．已知复数z＝1＋2i，则复数 在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限．
2．某班有52人，现用系统抽样的方法，抽 ( http: / / www.21cnjy.com )取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号是 ▲ ．
3．交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控 ( http: / / www.21cnjy.com )，并从速度在50~90 km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70 km/h以下的汽车有 ▲ 辆．
4．已知如图是一位篮球运动员在6场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为 ▲ ．
5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．
6．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1 ( http: / / www.21cnjy.com )分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．
7．某人射击1次，命中8～10环的概率如下表所示：
命中环数 10环 9环 8环
概 率 0.12 0.18 0.28
则他射击1次，至少命中9环的概率为 ▲ ．
8．在区间[－1，2]上随机取一个实数x，则x∈[0，1]的概率为 ▲ ．
9．执行如图所示的伪代码，当输入a，b的值分别为1，3时，最后输出的a的值为 ▲ ．
10．为了计算2×4×6× ( http: / / www.21cnjy.com )8×10的值，小明同学设计了一个正确的算法，流程图如图所示，只是判断框(菱形框)中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是 ▲ ．
11．根据如图所示的流程图，若输入值x[0，3]，则输出值y的取值范围是 ▲ ．
12．已知函数f0(x)= cosx， ( http: / / www.21cnjy.com )f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，fn+1(x)=fn′(x)，…，其中n∈N，则f19()= ▲ .
13．对于非零实数a，b，c，以下四个命题都成立：
①(a＋b)2＝a2＋2a b＋b2； ②若a b＝a c，则b＝c；
③(a+b) c=a c+ b c； ④(a b) c=a (b c)；
那么类比于此，对于非零向量，，，相应命题仍然成立的所有序号是 ▲ ．
14．设函数f(x) = eq \f(1,2x+) ，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－2015)+ f(－2014)+ f(－2013)+…+ f(2014)+f(2015)+ f(2016)的值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知复数z1满足z1·i＝1＋i (i为虚数单位)，复数z2的虚部为2．
(1)求z1；
(2)复数z1z2是纯虚数时，比较｜z1｜与｜z2｜的大小．
16．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如下：
组号 分组 频数 频率
第一组 24 0.24
第二组 16 ②
第三组 ① 0.3
第四组 20 0.20
第五组 10 0.10
合 计 100 1.00
(1)上表中①②位置的数据分别是多少？
(2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分
层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？
17. (本题满分14分)
(1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；
(2)已知关于x的一元二次方程x2 ( http: / / www.21cnjy.com )－2bx＋c2＝0，其中b是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率．
18．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1·an－2·an＋1＝0 (n∈N*).
(1)求，，的值；
(2)求{an}的通项公式．
19．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为 EQ \F(,3)，且过点A(0，1)，
(1)求椭圆的方程；
(2)过点A作两条相互垂直的直线，分别交椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )于点M，N(M，N不与点A重合) ．直线MN是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由．
20．已知函数f(x)= ．
(1)当e≤x≤e2时，求函数f(x)的最小值；
(2)已知函数g(x)＝2x－，且f(x)g(x)≤0恒成立，求实数a的值；
(3)某同学发现：存在正实数m、n(m＜n) ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，使mn=nm ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，试问：他的发现是否正确 若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的取值范围，而不需要解答过程．
高二数学(文科)参考答案和评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．四 2．19 3．75 4． 5．16 6．2 7．0.3 8． 9．5
10．I≤10或I<11或I≤11或I<12或I<10.5，等 11．[1，7] 12． EQ \F(,2) 13．①③
14．1008
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．(1)1－i；……………………………………………………………………………………6分
(2) z2＝－2＋i，…………………………………………………………………………10分
｜z1｜＝，
｜z2｜＝2，……………………………………………………………………………12分
｜z1｜＜｜z2｜．…………………………………………………………………………14分
16．(1)100－(16＋24＋20＋10)＝30或100×0.3=30，………………………………………3分
1－(0.24＋0.3＋0.20＋0.10)＝0.16或16÷100=0.16；…………………………………6分
(没有任何过程，最多得4分)
(2) ＝0.1，………………………………………………………………………………8分
30×0.1＝3，所以第三组参加考核的人数是3；………………………………………10分
类似地，第四组，第五组参加考核的人数分别是2，1．……………………………14分
17．(1)设事件A为“这2只球颜色不同”； -----……………………-----------------1分
基本事件共6个：(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，(黄1, 黄2)，
事件A包含5个基本事件(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，----4分
因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------5分
所以，事件A发生的概率P(A)＝． ----------------------7分
(2)设事件B为“方程x2－2bx＋c2＝0无实根”； ------------------……………---8分
当Δ＝4b2－4c2＝4(b2－c2)＜0，即b＜c时，方程x2－2bx＋c2＝0无实根．
基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示b的取值，第二个数表示c的取值．--…………--4分
事件B包含3个基本事件(0,1)，(0,2)，(1,2)，--…………………………………---11分
因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------12分
所以事件B发生的概率P(A)＝＝． ----------------------14分
(第(1)小题，有一点过程且结果正确，得7分；第(2)小题，至少交待清楚三个数据12，3和的由来才能得7分)
18．(1)由an＋1an＝2·an－1得an＋1＝2－，…………………………………………………2分
代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得
＝，＝，＝，………………………………………………………6分
(2)猜想：{}是等差数列．
证明：由an＋1·an＝2·an－1变形，得
(an＋1－1)·(an－1)＝－(an＋1－1)＋(an－1)，
即－＝1在n∈N*时恒成立，
所以{}是等差数列．………………………………………………………………12分
由＝，所以＝＋n－1，
变形得an－1＝，…………………………………………………………………14分
所以an＝为数列{an}的一个通项公式．…………………………………………16分
19．(1) ＋y ＝1；……………………………………………………………………………4分
(2)解法一
因为M，N不与点B重合，所以直线AM的斜率存在，且不为零．………………5分
设AM的斜率为k，则AN的斜率为－．
直线AM方程：y=kx+1，
直线AN方程：y=－x+1．
将AM方程代入椭圆，整理：(3k +1)x +6kx=0．………………………………………7分
则点M横坐标xM=－，纵坐标yM=．……………………………………9分
用－替换k可得点N横坐标xN=，纵坐标yN=．…………………………12分
直线MN方程： y= x－．……………………………………………………15分
由此，可知，过定点(0，－)．………………………………………………………16分
解法二
设直线MN方程为y=kx+ m，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得m=－．
20．(1) f(x)定义域为(0，+∞)，f ′ (x)＝．
令f ' (x)＝＝0，则x=e．
列表如下：
x (0，e) e (e，+∞)
f ' (x) ＋ 0 －
f(x) ↗ ↘
所以f(x)在区间(e，+∞)上单调减．
当e≤x≤e2时，函数f(x)单调减，所以，函数f(x)的最小值为f(e2) =2e－2．…4分
(2)f(x) g(x)≤0恒成立，即2ln x－ax＋a≤0在x>0时恒成立．
令h(x) = f(x) g(x)，则h′(x)＝，x>0.
若a≤0，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
若a>0，当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减. ………………………………………6分
所以，若a≤0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝0，故f(x)≤0不恒成立.
……………………………………………………………………………………………8分
若a>2，则当x∈(，1)时，f(x)单调递减，f(x)>f(1)＝0，不合题意，………………10分
若0f(1)＝0，不合题意，……………12分
若a＝2，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝0符合题意.
故a＝2．…………………………………………………………………………………14分
(3)正确，m的取值范围是1＜m＜e．…………………………………………16分
理由如下，研究函数图像，f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减．
又∵当x→+∞时，f(x)→0．∴总存在正实数m，n且1＜m＜e＜n，使得f(m)=f(n)，即 = ，即mn=nm ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
S←0
For I From 1 To 7 step 2
S←S + I
End For
Print S
(第5题)
(第3题)
(第4题)
结束
x＜0
输出y
（第11题）
输入x
y ←2x +1
Y
N
开始
S ←1
I ← 2
N
I
y ←－(x1)2
Y
输出S
结束
S ← S×I
I ← I+2
（第9题）
（第10题）