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专题17.2勾股定理的逆定理八大题型（一课一讲）
（内容:勾股定理逆定理及其应用）
【人教版】
题型一：判断三边是否能构成直角三角形
【经典例题1】在△ABC中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC是直角三角形，且 B．△ABC是直角三角形，且∠B=90°
C．△ABC是直角三角形，且 D．△ABC不是直角三角形
【变式训练1-1】下列各组数据分别是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】在△ABC中，下列条件：①；②；③；④，，．能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-3】已知△ABC三边为，，，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C． D．，，
【变式训练1-4】下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
【变式训练1-5】设△ABC的三边长分别为，，，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：图形上与已知两点构成直角三角形的点
【经典例题2】如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【变式训练2-1】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【变式训练2-4】如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ．
【变式训练2-5】如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）．
(1)在图1中画一个直角三角形，使点P在△ABC的内部（不包括边界）．
(2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上．
【变式训练2-6】在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形．
(1)在图1中画一个．
(2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3．
题型三：在网格中判断直角三角形
【经典例题3】如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点均在格点上.
(1)是直角三角形吗 请说明理由；
(2)求四边形的面积.
【变式训练3-1】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
(1)填空：______，______，______．
(2)是直角吗？请说明理由．
(3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标．
【变式训练3-2】如图，网格中每个小正方形的边长都为，△ABC的顶点均在网格的格点上．
(1) ， ， ；
(2)△ABC是直角三角形吗？请作出判断并说明理由．
【变式训练3-3】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为，，．
(1)若与△ABC关于x轴成轴对称，画出；
(2)①判断△ABC的形状，并说明理由．
②计算△ABC的面积为 ．
【变式训练3-4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点，，均在正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标；
(2)求出点B到的距离．
题型四：利用勾股定理的逆定理求线段长度
【经典例题4】如图所示，已知，，，则的长为 ．
【变式训练4-1】如图，在中，，求的长是多少？
【变式训练4-2】如图，△ABC中，，，边上的中线．
(1)与互相垂直吗？为什么？
(2)求的长．
【变式训练4-3】如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若，
(1)说明为直角，
(2)求的长．
【变式训练4-4】如图，在△ABC中，，是上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【变式训练4-5】如图，在△ABC中，，是边上的一点，，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的周长．
题型五：利用勾股定理的逆定理求角度
【经典例题5】如图，在四边形中，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，在△ABC中，，，，点是△ABC外一点，连接，且．求的度数．
【变式训练5-2】如图∠B=90°，，，，，求的度数．
【变式训练5-3】如图，在四边形中，，，，，，若，求的大小．
【变式训练5-4】如图，在四边形中，，，，，求的度数．
题型六：利用勾股定理的逆定理求面积
【经典例题6】已知如图，某建筑物地基四边形，经测量米，米，米，米，且，求此建筑物地基四边形的面积．
【变式训练6-1】如图，四边形中，，连接．
(1)求的长；
(2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积．
【变式训练6-2】如图，在四边形中，，，∠ABD=90°，，．求四边形的面积．
【变式训练6-3】如图，四边形纸片，．经测得，，，．
(1)求A、C两点之间的距离．
(2)求这张纸片的面积．
【变式训练6-4】如图，在△ABC中，，，D为边上的一点，，．
(1)求证：；
(2)求△ABC的面积．
【变式训练6-5】如图，内有一点，．已知，，，，求图中阴影部分的面积S．
题型七：勾股定理逆定理的实际应用
【经典例题7】（教材母题变式）如图，一艘快艇计划从地航行到距离地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到达地接人，再从地航行20海里到达地，此时快艇位于地的 方向上．
【变式训练7-1】如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，求四边形的面积．
【变式训练7-2】如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且．
(1)求的长；
(2)连接，判断的形状并说明理由．
【变式训练7-3】教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动．
【解析】
(1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？
(2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉．
【变式训练7-4】在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．
(1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
【变式训练7-5】全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形中，，米，米，米，米．
(1)求的长度；
(2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？
题型八：勾股定理逆定理的拓展应用
【经典例题8】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形．
【变式训练8-1】定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
【变式训练8-2】在△ABC中，，设为最长边，当时，△ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
(1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为________三角形；
(2)猜想：当________时，△ABC为锐角三角形；当________时，△ABC为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当△ABC为直角三角形时，则的取值为________；
当△ABC为锐角三角形时，则的取值范围________；
当△ABC为钝角三角形时，则的取值范围________．
【变式训练8-3】阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断△ABC的形状，并求出对应的的取值范围．
【变式训练8-4】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以△ABC边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【变式训练8-5】阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在△ABC中，、、是其三条边，已知，，，判断△ABC的形状．
解：在△ABC中，因为，，所以．所以△ABC是直角三角形．
认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题：
(1)填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形．
(2)已知△ABC三边分别为，求证：△ABC是直角三角形．
(3)已知、、是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状．
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专题17.2勾股定理的逆定理八大题型（一课一讲）
（内容:勾股定理逆定理及其应用）
【人教版】
题型一：判断三边是否能构成直角三角形
【经典例题1】在△ABC中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC是直角三角形，且 B．△ABC是直角三角形，且∠B=90°
C．△ABC是直角三角形，且 D．△ABC不是直角三角形
【答案】B
【详解】解：∵，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
故选：B．
【变式训练1-1】下列各组数据分别是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A．，不是直角三角形，不符合题意；
B．，是直角三角形，不符合题意；
C．，不是直角三角形，不符合题意；
D．，不是直角三角形，不符合题意，
故选：B．
【变式训练1-2】在△ABC中，下列条件：①；②；③；④，，．能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①∵，
∴，
∵，
∴，故△ABC是直角三角形，符合题意；
②∵，
∴，故△ABC不是直角三角形，不符合题意；
③∵，
∴，故△ABC是直角三角形，符合题意；
④∵，，，
∴，故△ABC是等边三角形，不符合题意；
综上所述，能判断△ABC是直角三角形的有①③，共个，
故选：B．
【变式训练1-3】已知△ABC三边为，，，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C． D．，，
【答案】D
【详解】解：A、由，，，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
B、由，又，则，是直角三角形，不符合题意；
C、由，得，，是直角三角形，不符合题意；
D、由，，得，，不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【变式训练1-4】下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
【答案】D
【详解】解：A、由条件，可得，又，可求得，故△ABC是直角三角形；
B、，可设，，，则，故△ABC是直角三角形；
C、由条件，且，可求得，故△ABC是直角三角形；
D、由条件可得到，不满足勾股定理的逆定理，故△ABC不是直角三角形．
故选：D．
【变式训练1-5】设△ABC的三边长分别为，，，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，，
，
，
△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意；
B、设，则，，
根据三角形内角和定理得：，
解得：，即，
△ABC是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、当，，时，
，
根据勾股定理的逆定理知△ABC不是直角三角形，故C选项符合题意；
D、变形可得：，
根据勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形，故D选项不符合题意；
故选：C．
题型二：图形上与已知两点构成直角三角形的点
【经典例题2】如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
【变式训练2-1】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．
【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是，
A.点时，，此项不符合题意；
B.点时，，此项不符合题意；
C.点时，如图，不是直角三角，符合题意；
D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意；
故选：C．
【变式训练2-3】在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【答案】B
【详解】如图所示，
当是斜边时，由网格可得，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，
∵
∴；
∴第三个顶点可以是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，
∵
∴；
∴第三个顶点可以是G．
∴共有6个满足条件的顶点．
故选：B．
【变式训练2-4】如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ．
【答案】
【详解】解：点、，，，
，
不是直角三角形，故点不符合题意；
点、，，，
，
不是直角三角形，故点不符合题意；
点、，，，
，
是直角三角形，故点符合题意；
点、，，，
，
不是直角三角形，故点不符合题意；
故答案为：．
【变式训练2-5】如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）．
(1)在图1中画一个直角三角形，使点P在△ABC的内部（不包括边界）．
(2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上．
【详解】（1）解：△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）解：即为所求（答案不唯一）．
【变式训练2-6】在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形．
(1)在图1中画一个．
(2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3．
【详解】（1）解：如图，当分别为直角边和斜边时，
（2）解：如图：
点Q的横纵坐标相等，
点Q在直线上，
根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图．
题型三：在网格中判断直角三角形
【经典例题3】如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点均在格点上.
(1)是直角三角形吗 请说明理由；
(2)求四边形的面积.
【答案】(1)是，见解析(2)
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下，
，
,
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：四边形的面积
．
【变式训练3-1】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
(1)填空：______，______，______．
(2)是直角吗？请说明理由．
(3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标．
【答案】(1)；；5
(2)是直角，理由见解析
(3)图见解析，， ，（答案不唯一）
【详解】（1）解：正方形网格的每个小方格边长均为1，
，，．
故答案为：，，5；
（2）解：是直角，理由如下：
，
△ABC为直角三角形，
是直角．
（3）解：以为原点，建立如下所示的平面直角坐标系，
由图知，， ，．
【变式训练3-2】如图，网格中每个小正方形的边长都为，△ABC的顶点均在网格的格点上．
(1) ， ， ；
(2)△ABC是直角三角形吗？请作出判断并说明理由．
【答案】(1)，，
(2)△ABC是直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：由网格得，，，，
故答案为：，，；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴△ABC是直角三角形．
【变式训练3-3】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为，，．
(1)若与△ABC关于x轴成轴对称，画出；
(2)①判断△ABC的形状，并说明理由．
②计算△ABC的面积为 ．
【答案】(1)图见解析
(2)等腰直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：如图，即为所求作；
（2）解：①△ABC为等腰直角三角形，理由如下：
由勾股定理可得：，，，
∴，，
∴，，
∴△ABC是等腰直角三角形；
②△ABC的面积，
故答案为：5．
【变式训练3-4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点，，均在正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标；
(2)求出点B到的距离．
【答案】(1)见解析，(2)2
【详解】（1）解：如图，即为所求；
顶点的坐标为；
（2）解：根据题意得：
，
，
∴△ABC为直角三角形，
设点B到的距离为h，
，
，
解得：，
即点B到的距离为2．
题型四：利用勾股定理的逆定理求线段长度
【经典例题4】如图所示，已知，，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，延长至点E，使，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-1】如图，在中，，求的长是多少？
【答案】的长为
【详解】解：∵，即，
∴是直角三角形，
∵，
∴是的高，
∵，
∴，
∴的长为．
【变式训练4-2】如图，△ABC中，，，边上的中线．
(1)与互相垂直吗？为什么？
(2)求的长．
【答案】(1)与互相垂直，理由见解析(2)．
【详解】（1）解：与互相垂直，
证明：∵是边上的中线，，
∴，
∵，
，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，．
【变式训练4-3】如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若，
(1)说明为直角，
(2)求的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴ ．
【变式训练4-4】如图，在△ABC中，，是上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
即的长是．
【变式训练4-5】如图，在△ABC中，，是边上的一点，，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的周长．
【答案】(1)直角三角形；理由见解析(2)
【详解】（1）解：是直角三角形；理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，则，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，则
∴△ABC的周长．
题型五：利用勾股定理的逆定理求角度
【经典例题5】如图，在四边形中，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故选：C．
【变式训练5-1】如图，在△ABC中，，，，点是△ABC外一点，连接，且．求的度数．
【答案】
【详解】解： ，
，
在 中，
，
，
．
【变式训练5-2】如图∠B=90°，，，，，求的度数．
【答案】∠D=90°
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
【变式训练5-3】如图，在四边形中，，，，，，若，求的大小．
【答案】
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式训练5-4】如图，在四边形中，，，，，求的度数．
【答案】
【详解】解：连接，
，，
.
在中，，
在中，，
，
，
题型六：利用勾股定理的逆定理求面积
【经典例题6】已知如图，某建筑物地基四边形，经测量米，米，米，米，且，求此建筑物地基四边形的面积．
【答案】建筑物地基四边形的面积为324平方米
【详解】解：连接，
∵，
∴为直角三角形，
由勾股定理知：，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴平方米，
所以，此建筑物地基四边形的面积为324平方米．
【变式训练6-1】如图，四边形中，，连接．
(1)求的长；
(2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，四边形的面积为
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）∵，
∴，即，
∴是直角三角形，
∴，，
∵，
∴四边形的面积为．
【变式训练6-2】如图，在四边形中，，，∠ABD=90°，，．求四边形的面积．
【答案】
【详解】解：∠ABD=90°，，，
，，
，，
是直角三角形，，
四边形的面积．
【变式训练6-3】如图，四边形纸片，．经测得，，，．
(1)求A、C两点之间的距离．
(2)求这张纸片的面积．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：连接，如图．
在中，，，，，
∴，
解得（负值舍去）
即A、C两点之间的距离为；
（2）解：∵，
∴，
∴四边形纸片的面积
．
【变式训练6-4】如图，在△ABC中，，，D为边上的一点，，．
(1)求证：；
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析(2)84
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据勾股定理，得，
∴，
∴△ABC的面积为：．
【变式训练6-5】如图，内有一点，．已知，，，，求图中阴影部分的面积S．
【答案】cm2．
【详解】解：，
由勾股定理得，即，
在中，，
是直角，
．
题型七：勾股定理逆定理的实际应用
【经典例题7】（教材母题变式）如图，一艘快艇计划从地航行到距离地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到达地接人，再从地航行20海里到达地，此时快艇位于地的 方向上．
【答案】北偏东
【详解】解：由题意知，，，，
，
，
是直角三角形，
，
，
此时快艇位于地的北偏东方向上．
故答案为：北偏东．
【变式训练7-1】如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，求四边形的面积．
【答案】18
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴
答：四边形的面积为18．
【变式训练7-2】如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且．
(1)求的长；
(2)连接，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)(2)是直角三角形
【详解】（1）解：，
．
在中，
，，
．
是的中点，
．
（2）解：如图，
，是的中点，
．
，，
，
，
是直角三角形．
【变式训练7-3】教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动．
【解析】
(1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？
(2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉．
【答案】(1)米(2)株
【详解】（1）解如图，连接
，
（米）
至少需要米装饰彩带；
（2）解：，，，
，
是直角三角形，
（平方米），
（平方米），
（株），
共需要种植株花卉．
【变式训练7-4】在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．
(1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
【答案】(1)是最近的路，说明见解析(2)米
【详解】（1）由题知：米，米，米，
∵，
∴在中：，
∴是直角三角形，，
则，
即是最近的路．
（2）设米，则米，
在中，根据勾股定理，
即，
解得，
则米，得：米．
【变式训练7-5】全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形中，，米，米，米，米．
(1)求的长度；
(2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？
【答案】(1)25米(2)46800元
【详解】（1）解：，米，米，
（米），
的长度为25米．
（2）解：由（1）得，米，
又米，米，
，
，
（平方米），
（平方米），
（平方米），
运动型塑胶地板每平方米200元，
购买运动型塑胶地板的费用为：（元）．
答：购买运动型塑胶地板的费用需要46800元．
题型八：勾股定理逆定理的拓展应用
【经典例题8】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形．
【答案】 锐角三角形 或 钝角
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x=13，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x=，
综上所述：x=13或．
故答案为：13或；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【变式训练8-1】定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是(2)见解析(3)
【详解】（1）解：，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：
，
，
是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
又，
，即，
，
有一个因式为，
，
∴另一个因式为．
【变式训练8-2】在△ABC中，，设为最长边，当时，△ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
(1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为________三角形；
(2)猜想：当________时，△ABC为锐角三角形；当________时，△ABC为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当△ABC为直角三角形时，则的取值为________；
当△ABC为锐角三角形时，则的取值范围________；
当△ABC为钝角三角形时，则的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角(2)
(3)①；②；③
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当时，△ABC为锐角三角形；
当时，△ABC为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时，；
当△ABC为锐角三角形时，，
；
当△ABC为钝角三角形时，，
则的取值范围为，
两边之和大于第三边，
．
【变式训练8-3】阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断△ABC的形状，并求出对应的的取值范围．
【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴，
∴，
若△ABC是钝角三角形，
则或，
则或，
∴或；
若△ABC是直角三角形，
则或，
则或；
若△ABC是锐角三角形，
则或，
则或，
∴．
【变式训练8-4】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以△ABC边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析
【详解】解：（1）填直角梯形，长方形；
（2）如图，
（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∵∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
又∵BE＝BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
【变式训练8-5】阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在△ABC中，、、是其三条边，已知，，，判断△ABC的形状．
解：在△ABC中，因为，，所以．所以△ABC是直角三角形．
认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题：
(1)填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形．
(2)已知△ABC三边分别为，求证：△ABC是直角三角形．
(3)已知、、是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状．
【答案】(1)(2)见解析(3)等腰三角形或直角三角形
【详解】（1）解：∵，
∴这个三角形是直角三角形，
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，
∴，即，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：∵，
∴，
∴
∴或，
解得或，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
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