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专题17.1.1勾股定理（一）九大题型（一课一讲）
（内容:勾股定理及其证明、应用）
【人教版】
题型一：用勾股定理理解三角形
【经典例题1】若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】D
【详解】解：由题意得，，，
解得：，，
∵，是直角三角形的两直角边，
∴直角三角形的第三条边长为．
故选D．
【变式训练1-1】在△ABC中，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，
，，
，
在中，，
，
，
故选B．
【变式训练1-2】直角三角形的两边满足，那么这个三角形的面积是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【详解】解：由，
则，，
∴，，
∴，，
当、为直角三角形两直角边时，三角形的面积是；
当为直角边、为斜边时，由勾股定理得另一直角边长为，
此时三角形的面积是；
综上可知：这个三角形的面积是或，
故选：．
【变式训练1-3】已知 的三边分别为 a ，b ，c ，且满足， 则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．或 5
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当为直角边时，
；
当为斜边时，
．
综上可知，的值为或 5．
故选D．
【变式训练1-4】已知两根竹棍的长度分别是和，第三根竹棍与这两根竹棍首尾顺次相接，恰好构成一个直角三角形，则第三根竹棍的长度是 ．
【答案】或
【详解】解：当第三根竹棍为直角边时，长度
当第三根竹棍为斜边时，长度
故第三根竹棍的长度为或．
故答案为：或．
【变式训练1-5】已知一个直角三角形的斜边长是，一条直角边长是，则斜边上的高是 ．
【答案】
【详解】解：∵直角三角形的斜边长是，一条直角边长是，
∴另一直角边的边长为：，
设该直角三角形斜边上的高为x，
则，
解得，
故答案为：．
题型二：勾股树（数）问题
【经典例题2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．5，12，11
【答案】C
【详解】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、1，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，故6，8，10是勾股数，符合题意；
D、，故不是勾股数，不符合题意，
故选：C．
【变式训练2-1】对于题目“已知、和是一组勾股数，求的值”，甲的结果是，乙的结果是或，丙的结果是的值不确定，则（ ）
A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．甲、乙、丙都不对
【答案】A
【详解】解：分两种情况讨论：
当为最长边时，
，
解得：或（不符合题意，故舍去）；
当为最长边时，
，
解得：（不符合题意，故舍去）；
综上所述，的值为，
故选：．
【变式训练2-2】当n为正整数时，下列各组数：①；②；③．其中是勾股数的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【详解】解：显然②这组数有分母，故不是勾股数；
∵，且它们都是正整数，
∴①这组数是勾股数；
∵，
∴③这组数不是勾股数；
即三组数中只有一组数是勾股数；
故选：A．
【变式训练2-3】勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵为正整数，
∴为偶数，
设其股是，则弦为，
由勾股定理得，，
解得，
弦是，
故选：A．
【变式训练2-4】在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，…，分析上面勾股数组可以发现，，，第6个勾股数组为 ．
【答案】
【详解】解：由勾股数组：，…，
∴第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为，
第5组勾股数中间的数为：，即勾股数组，
第6组勾股数中间的数为：，即勾股数组．
故答案为：．
【变式训练2-5】世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式：
①，
②，
③，
④，
…
根据规律写出第⑩个等式为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴第一个数的底数是，指数是2，
∵，
∴第二个数的底数是，指数是2，
∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2，
∴第n个等式为，
∴第⑩个等式为，
故答案为：．
题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积
【经典例题3】1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ）
A．2，3，5 B．3，4，5 C．6，8，13 D．5，12，14
【答案】A
【详解】解：如图：
由题意得：，
∴，
∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，
∵，，，，
∴三个正方形纸片的面积可以是2，3，5，
故选：A．
【变式训练3-1】如图，在中，，正方形，的面积分别为和，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵在中，
由勾股定理得：，，，
，
．
故选：A．
【变式训练3-2】如图，在中，，分别以三角形的三边为边向外作等边三角形，若等边三角形的面积分别用，，表示，则，，之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点作于点，
，
，
是等边三角形，，
，，
，
，
同理：，，
，
故选：A．
【变式训练3-3】有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【详解】解：如图，
由题意得，正方形A的面积为1，
∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，
∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和等于第1次“生长”出的两个正方形面积，
∴2次后形成的图形中所有的正方形的面积和，
∴ “生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026，
故选：C．
【变式训练3-4】如图所示，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于 ．
【答案】
【详解】解：由题意，得，，
所以，
故答案为：.
【变式训练3-5】如图，直线l上有三个正方形，若a，b的面积分别为9和16，则c的面积为 ．
【答案】
【详解】解：，
，，
，
在和中，
，
，
，
a，b的面积分别为9和16，
，，
在中，，
，
c的面积为，
故答案为：
题型四：勾股定理与三角形综合应用
【经典例题4】如图所示，与都是等腰直角三角形，，点为边上的一点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：与都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）可得：，，
，，
，
在中，由勾股定理可得：
，
．
【变式训练4-1】如图，已知，，，，求AC．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴为直角三角形．
∵，
∴由勾股定理知：．
【变式训练4-2】如图，已知，E是的中点
(1)求证：平分，平分；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)20
【详解】（1）证明：延长交的延长线于F点，
∵，
∴，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴平分；
（2）解：设，则，
∵，E是的中点，
∴，
由勾股定理得，，
在中，①，
在中，②，
由①②解得：
∴．
【变式训练4-3】如图，在△ABC中，，，分别是腰，上的高．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)6
【详解】（1）证明：∵，分别是腰，上的高，
∴
又∵，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴
又由（1）得，，
∴．
【变式训练4-4】如图，是△ABC的高线，为上一点，连结，交于点，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若点是的中点，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，
，
是的高线，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：过点作于点，
，
点是的中点，，
，
，，
，
，，，
，
，
是等腰三角形，，
．
【变式训练4-5】如图，在△ABC中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，求线段的长．
【答案】(1)，见解析(2)
【详解】（1）解：，理由如下；
由题意知，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
设，则，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，，
∴，
解得，，
∴线段的长为．
题型五：勾股定理与网格问题
【经典例题5】如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，
由题知，，，，
，，
，为直角三角形，即，
．
故选：C．
【变式训练5-1】如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，为边上的高，
，
，，
，
解得：．
故选：B．
【变式训练5-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是△ABC的高，则的长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由勾股定理得：，
，
，
，
；
故选：C．
【变式训练5-3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练5-4】如图，在的正方形网格中，点，，，都在格点上，则与的周长的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，，，，
∴的周长为，
的周长为，
∴与的周长的比是，
故选
【变式训练5-5】如图所示边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到的距离等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】解：过点作于，
由网格特征和勾股定理可得，
，，，
，
是直角三角形，
，
即，
，
故选：C．
题型六：勾股定理与折叠问题
【经典例题6】如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设边的长为，
∵四边形是长方形，
∴，，．
，
．
由折叠的性质可知，，
．
在中，
∵，
，
解得，
∴边的长为，
故选：C．
【变式训练6-1】如图，在中，，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合．若，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：∵将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合，
∴，，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，
解得：；
∴；
故选B．
【变式训练6-2】如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设，
∵，
∴由折叠的性质可得：，
∵，
，
即，解得：，
．
即的长度为，
故选：C
【变式训练6-3】如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴当的值最小时，取得最大值，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
此时，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
【变式训练6-4】在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则△ABC纸片的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵沿着折叠，点落在线段上的点处，，，
∴，，，
∵沿折叠，点与点重合，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
在和，，
∴，
解得：，
∴，
，
∴，
∴纸片的面积是．
故选：B．
【变式训练6-5】如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【详解】解：设，由折叠可知，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即线段的长为，
故选：C
题型七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【经典例题7】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
【答案】73
【详解】解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案为：73．
【变式训练7-1】如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．
【答案】21
【详解】解：，，，
在中，，
在中，，
又在中，，
在中，，
．
【变式训练7-2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．
(1)若，，，，请求出，，，的值．
(2)若，，求的值．
(3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
【答案】(1)，，，(2)
(3)“垂美”四边形对边的平方和相等
【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，，，
，，，，
，，，；
（2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，
，，
；
（3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等．
【变式训练7-3】如图，在△ABC中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)；
【详解】（1）证明： ，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
移项得：．
故．
（2）解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
【变式训练7-4】如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接．
(1)求证：.
(2)若，，，直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
，
（2）解：设，
，，，
则，
，
，
，
即：，
由（1）知：，，，
，，
，
，
即：，
解得：，
即：．
【变式训练7-5】如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长及的长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长为，
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是斜边的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
即.
（2）解：∵是斜边的中点，，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
又∵，
∴，
∴的周长为.
∵
∴，
即，
解得：．
题型八：利用勾股定理证明线段关系
【经典例题8】如图，已知△ABC和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)(3)，见解析
【详解】（1）证明：平分，，
，
，，
，
；
（2）解：连接．
点与点关于直线对称，
，
，
，，
；
（3）解：，理由如下：
作，垂足为．
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【变式训练8-1】在△ABC和△ADE中，点在边上，，，．
(1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长．
【答案】(1)，理由见详解(2)
【详解】（1）解：，，之间的数量关系是：，理由如下：
当时，则，
，，
和均为等腰直角三角形，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即；
（2）解：连接，，过作交的延长线于，如下图所示：
当时，，
，，
和均为等边三角形，
，
同理可证：，
，，
，
，
，
在中，，，
，由勾股定理得：，
设，则，
，，
，
，
为等边三角形，，
是线段的垂直平分线，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【变式训练8-2】在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【详解】（1）证明：∵，D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式训练8-3】如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰Rt△DCE，且，连接
(1)求证：；
(2)请你判断线段之间的关系？并说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)，见解析
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
，
，
∵，
．
【变式训练8-4】(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．
①判断，的关系，并说明理由．
②连接．若，，请直接写出的长．
【答案】(1)，理由见解析；(2)①，，理由见解析；②
【详解】解：（1）∵，∴，
∴在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
即；
（2）①∵四边形和四边形为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，，；
②
解析：在四边形中，，由（1）知
∵，，
∴
∴，
∴，
∴．
图2
【变式训练8-5】在△ABC中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）证明：，是的中点，
，
在和中，
，
，
，
由（1）得，，
；
（3）证明：由（2）得：，
，
，，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
题型九：勾股定理的证明方法
【经典例题9】将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看．
(1)大正方形的面积可以表示为______，又可以表示为______，从而可得到______．
(2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？
【答案】(1)，，(2)能，见解析
【详解】（1）解：大正方形的边长为：，
∴大正方形的面积为：，
∵大正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
∴大正方形的面积为：，
∴，
∴，即：；
故答案为：，，；
（2）解：能；
由图（2）可知：大正方形的面积等于2个长方形的面积加上两个小正方形的面积，则：，
由（1）可知：，
∴，
∴．
【变式训练9-1】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
(1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法1：_______；
方法2：______．
根据以上信息，可以得到的等式是_______．
(2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系．
(3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积．
【答案】(1)；；
(2)；；(3)25
【详解】（1）解：，
，
∴，
故答案为：；；．
（2）解：∵从整体看，小正方形的边长为c，
∴．
从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴小正方形的面积为25．
【变式训练9-2】［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小明利用图①证明勾股定理的过程．
如图①，，求证：．
证明：连接，过点作交的延长线于点，则，
则．
又，
，
．
请参照上述证法，利用图②进行证明．
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中，连接．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：如答图，连接，过点作交的延长线于点，则．
，
，
，
．
【变式训练9-3】材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．
灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M，
(1)材料中的方法体现的数学思想是（ ）
A．函数思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．整体思想
(2)试说明 ；
(3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理．
【答案】(1)C；
(2)见解析；
(3)见解析．
【详解】（1）解：根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C
（2）解：由题意得：
∵直线m ，直线m
∴
（3）解：由（2）可知：
又
【变式训练9-4】勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题：
(1)填空：______°，______（用含字母的代数式来表示）；
(2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理．
【答案】(1)90，(2)见解析
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴ ，
故答案为：90，；
（2）解：方法一： ；
方法二： ．
根据上面的方法可得出，
∴．
【变式训练9-5】历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中点E是边AB上的点．
(1)请用a，b，c分别表示的面积；
(2)请你利用等面积法验证勾股定理．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）的面积，
的面积，
的面积，
（2）∵四边形ABCD的面积
，
或四边形的面积的面积的面积的面积
，
，
∵两种方法求得面积相等
∴．
∴
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专题17.1.1勾股定理（一）九大题型（一课一讲）
（内容:勾股定理及其证明、应用）
【人教版】
题型一：用勾股定理理解三角形
【经典例题1】若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【变式训练1-1】在△ABC中，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．12 C．16 D．24
【变式训练1-2】直角三角形的两边满足，那么这个三角形的面积是（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式训练1-3】已知 的三边分别为 a ，b ，c ，且满足， 则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．或 5
【变式训练1-4】已知两根竹棍的长度分别是和，第三根竹棍与这两根竹棍首尾顺次相接，恰好构成一个直角三角形，则第三根竹棍的长度是 ．
【变式训练1-5】已知一个直角三角形的斜边长是，一条直角边长是，则斜边上的高是 ．
题型二：勾股树（数）问题
【经典例题2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．5，12，11
【变式训练2-1】对于题目“已知、和是一组勾股数，求的值”，甲的结果是，乙的结果是或，丙的结果是的值不确定，则（ ）
A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．甲、乙、丙都不对
【变式训练2-2】当n为正整数时，下列各组数：①；②；③．其中是勾股数的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【变式训练2-3】勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，…，分析上面勾股数组可以发现，，，第6个勾股数组为 ．
【变式训练2-5】世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式：
①，
②，
③，
④，
…
根据规律写出第⑩个等式为 ．
题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积
【经典例题3】1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ）
A．2，3，5 B．3，4，5 C．6，8，13 D．5，12，14
【变式训练3-1】如图，在中，，正方形，的面积分别为和，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】如图，在中，，分别以三角形的三边为边向外作等边三角形，若等边三角形的面积分别用，，表示，则，，之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【变式训练3-4】如图所示，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于 ．
【变式训练3-5】如图，直线l上有三个正方形，若a，b的面积分别为9和16，则c的面积为 ．
题型四：勾股定理与三角形综合应用
【经典例题4】如图所示，与都是等腰直角三角形，，点为边上的一点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【变式训练4-1】如图，已知，，，，求AC．
【变式训练4-2】如图，已知，E是的中点
(1)求证：平分，平分；
(2)若，求的长．
【变式训练4-3】如图，在△ABC中，，，分别是腰，上的高．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式训练4-4】如图，是△ABC的高线，为上一点，连结，交于点，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若点是的中点，，，求的长．
【变式训练4-5】如图，在△ABC中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，求线段的长．
题型五：勾股定理与网格问题
【经典例题5】如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是△ABC的高，则的长为（）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练5-4】如图，在的正方形网格中，点，，，都在格点上，则与的周长的比是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-5】如图所示边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到的距离等于（ ）
A． B．2 C． D．
题型六：勾股定理与折叠问题
【经典例题6】如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】如图，在中，，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合．若，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式训练6-2】如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则△ABC纸片的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-5】如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
题型七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【经典例题7】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
【变式训练7-1】如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．
【变式训练7-2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．
(1)若，，，，请求出，，，的值．
(2)若，，求的值．
(3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
【变式训练7-3】如图，在△ABC中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
【变式训练7-4】如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接．
(1)求证：.
(2)若，，，直接写出线段的长．
【变式训练7-5】如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长及的长．
题型八：利用勾股定理证明线段关系
【经典例题8】如图，已知△ABC和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
【变式训练8-1】在△ABC和△ADE中，点在边上，，，．
(1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长．
【变式训练8-2】在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论．
【变式训练8-3】如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰Rt△DCE，且，连接
(1)求证：；
(2)请你判断线段之间的关系？并说明理由．
【变式训练8-4】(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．
①判断，的关系，并说明理由．
②连接．若，，请直接写出的长．
【变式训练8-5】在△ABC中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：．
题型九：勾股定理的证明方法
【经典例题9】将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看．
(1)大正方形的面积可以表示为______，又可以表示为______，从而可得到______．
(2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？
【变式训练9-1】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
(1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法1：_______；
方法2：______．
根据以上信息，可以得到的等式是_______．
(2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系．
(3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积．
【变式训练9-2】［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小明利用图①证明勾股定理的过程．
如图①，，求证：．
证明：连接，过点作交的延长线于点，则，
则．
又，
，
．
请参照上述证法，利用图②进行证明．
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中，连接．求证：．
【变式训练9-3】材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．
灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M，
(1)材料中的方法体现的数学思想是（ ）
A．函数思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．整体思想
(2)试说明 ；
(3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理．
【变式训练9-4】勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题：
(1)填空：______°，______（用含字母的代数式来表示）；
(2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理．
【变式训练9-5】历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中点E是边AB上的点．
(1)请用a，b，c分别表示的面积；
(2)请你利用等面积法验证勾股定理．
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