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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题17.1.1 勾股定理（一）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列几组数中，一定是勾股数的是（ ）
A．1，， B．3，4，5 C．，， D．，，
【答案】B
【详解】解：A． 不是正整数，
不是勾股数，故本选项不符合题意；
B． ，
是勾股数，故本选项符合题意；
C．，，不是正整数，
，，不是勾股数，故本选项不符合题意；
D．当不是正整数时，，，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方等于（ ）
A．4 B．7 C．25 D．7或25
【答案】D
【详解】解：①当边长为4的边是直角边时，第三边长的平方是，
②当边长为4的边是斜边时，第三边长的平方是，
综上，第三边长的平方是25或7，
故选：D．
3．如图，△ABC中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
是的垂直平分线，
，
设，
，
，
在中，，即，
解得：（负值舍去），
则，，
，
，
故选：B．
4．如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示：
将图展开，图形长度增加，
原图长度增加2米，则，
如图：连接，
∵四边形是长方形，，宽，
∴，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走的路程．
故选：A．
5．如图所示，为长方形的边上的一点，将长方形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处．已知，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【详解】∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∵将长方形沿直线折叠，
∴，
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴阴影部分的面积：，
故选：C．
6．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．
【答案】D
【详解】解：根据题意，，
∴，
∴正方形的边长为，
故选：D ．
7．如图，在△ABC中，，，点是线段上任意一点，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点A作于，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，，，
则，
∴在中，，
当点与点重合时，的最小值为，
当点与点或点重合时，有最大值为，
∴的长可能是，
故选：C．
8．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴．
故选：A．
9．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：当时，
，，
∴，
∴是等腰三角形，故选项A不符合题意；
当时，
，
∴是等腰三角形，故选项D不符合题意；
当时，
，
∴是等腰三角形，故选项C不符合题意；
当时无法得出是等腰三角形，故选项B符合题意，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（ ）
①；②的周长的周长；③；④；
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【答案】A
【详解】解：∵，，，
∴，故①正确，符合题意；
②∵是中线，
∴，
∴的周长的周长，故②正确，符合要求；
③∵，
∴，\
∴，故③正确，符合题意；
④∵是高，是角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确，符合题意．
故选A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长为 ．
【答案】5或
【详解】解：分两种情况：
① 3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为；
② 3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．
故答案为：5或．
12．如图，一个圆桶，底面周长为，高为，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处的最短路径长为 ．
【答案】
【详解】解：由题意，得．
如图，在中，由勾股定理，得
．
故答案为：．
13．如图所示，为直角三角形，半圆内的数字分别为所在半圆的面积，则图中字母A所代表的半圆的面积为 ．
【答案】100
【详解】解：∵以为直径的半圆的面积等于400，即，
∴，
∵以为直径的半圆的面积为300，
∴，
∴，
又∵为直角三角形，根据勾股定理得：
，
∴，
则半圆的面积为：．
故答案为：100．
14．如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是 ．
【答案】/
【详解】解：设点对应的实数为，
∵在数轴上，点，点分别表示实数，2，
∴，
∵，，
∴，
由作图可知，，
又∵在数轴上，点表示实数，点在数轴的正半轴，
∴，
∴，
即点对应的实数为，
故答案为：．
15．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ．
【答案】
【详解】解：∵将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，
∴，
设，
∵在长方形中，，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．如图，四边形中，，交于点，，．若，，则的长为 ．
【答案】4
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：．
故答案为：4．
17．跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是 ．
【答案】
【详解】解：作点关于的对称点交轴于点，
∴，，
过点作轴，
∵点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴光线从点到点经过的路线长是．
故答案为：．
18．已知在中，，，，以B为直角顶点作等腰直角，连接，则的长为 ．
【答案】或
【详解】解：当点在的上方时，过点作，交的延长线于点E，
∵是等腰直角三角形，
，
，
，
，
当点在的下方时，过点作，交的延长线于点E，
同理可得，，
，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，△ABC中，的垂直平分线分别交、于点、，．
(1)求证：；
(2)作交于点，若，△ABC的周长为，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴△ABC的周长，
∵，
∴．
∴
∴的面积为
20．在△ABC中，，，，的对边分别为a，b，c．
(1)已知，，求a的值；
(2)已知，，求a、c的值．
【答案】(1)；(2)，
【详解】（1）解：如图所示：
∵中，，，，
∴；
（2）解：设，则，
∵，即，
解得，
∴，，
即，．
21．如图，在平面直角坐标系中，点，，．
(1)在图中作出△ABC关于轴的对称图形，并写出的坐标；
(2)若为轴上一点，连接，，求的周长最小值．
【答案】(1)见解析，(2)
【详解】（1）解：如图1，即为所求，；
（2）解：如图2，点即为所求；
，
的周长最小值．
22．如图，在△ABC中，，点是边上一点．
(1)在△ABC外求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，试求出的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：如下图，点即为所求；
（2）解：连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，即，
∴．
23．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接，交于点，与交于点．
(1)试判断线段和之间的数量关系，并说明理由；
(2)若为△ADE的角平分线，，求的长．
【答案】(1)，理由见解析；(2)．
【详解】（1）解：，理由：
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵为的角平分线，
∴，，
∴，，
∴．
24．【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则.
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若时，，，，，设，求的值.
【答案】探索求证：见解析；问题解决：千米；延伸扩展：
【详解】解：（1），
，
∴，
即；
（2）设千米，则千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
即千米，
∴（千米），
∴新路比原路少千米；
（3）设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
即，
解得：．
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专题17.1.1 勾股定理（一）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列几组数中，一定是勾股数的是（ ）
A．1，， B．3，4，5 C．，， D．，，
2．一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方等于（ ）
A．4 B．7 C．25 D．7或25
3．如图，△ABC中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．3
4．如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，为长方形的边上的一点，将长方形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处．已知，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
6．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．
7．如图，在△ABC中，，，点是线段上任意一点，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（ ）
A． B．
C． D．
9．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（ ）
①；②的周长的周长；③；④；
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长为 ．
12．如图，一个圆桶，底面周长为，高为，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处的最短路径长为 ．
13．如图所示，为直角三角形，半圆内的数字分别为所在半圆的面积，则图中字母A所代表的半圆的面积为 ．
14．如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是 ．
15．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ．
16．如图，四边形中，，交于点，，．若，，则的长为 ．
17．跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是 ．
18．已知在中，，，，以B为直角顶点作等腰直角，连接，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，△ABC中，的垂直平分线分别交、于点、，．
(1)求证：；
(2)作交于点，若，△ABC的周长为，求的面积．
20．在△ABC中，，，，的对边分别为a，b，c．
(1)已知，，求a的值；
(2)已知，，求a、c的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，点，，．
(1)在图中作出△ABC关于轴的对称图形，并写出的坐标；
(2)若为轴上一点，连接，，求的周长最小值．
22．如图，在△ABC中，，点是边上一点．
(1)在△ABC外求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，试求出的长．
23．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接，交于点，与交于点．
(1)试判断线段和之间的数量关系，并说明理由；
(2)若为△ADE的角平分线，，求的长．
24．【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则.
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若时，，，，，设，求的值.
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