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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题17.1.2勾股定理（二）十二大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
【答案】C
【详解】解：字母B所代表的正方形的面积，
故选：C．
2．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（ ）
A．2.2 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，，
∴，
故弧与数轴的交点P表示的数为：．
故选：B．
3．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
故选：A．
4．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设绳索长x尺，
由题意并结合勾股定理可得：，
故选：A．
5．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
故选C．
6．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
【答案】A
【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，
结合勾股定理可得出：，
解得：．
∴折断处离地面的高度为4.55尺．
故选：A．
7．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（ ）
A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺
【答案】C
【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，即，
解得：，
芦苇的长度（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
8．如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（ ）海里．
A．36 B．40 C．48 D．50
【答案】B
【详解】解：由题意，，
∴，即为直角三角形，
两小时后，（海里），（海里），
∴在中，（海里），
∴此时两轮船相距40海里．
故选：B．
9．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒
【答案】B
【详解】解：如图：过点作，米，
，米，
米，
当火车到点时对处产生噪音影响，此时米，
米，米，
由勾股定理得：米，米，即米，
火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶，
影响时间应是：秒．
故选：B．
10．2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意，该圆柱的侧面展开图如图所示：
可转化为下图求解：
则，，
∴，
∴装饰带的最短长度为，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 cm．
【答案】
【详解】解：将圆柱的侧面展开， 为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F，
则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，即 m，
延长，过作于点D，
∵cm，
∴，
在中，由勾股定理可得，
所以该圆柱底面周长为．
故答案为：．
12．如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，按图中方式画圆弧交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
【答案】
【详解】解：因为每个小正方形的边长均为1个单位长度，
故图上所画的圆弧的长度为，
以表示数0的点为圆心画弧与负半轴交于点A，
故点A表示的数是
故答案为∶．
13．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．
【答案】1.7
【详解】解：由题意得：(米)，
梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称，
米，
(米)，
即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．
故答案为：．
14．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ．
【答案】2.6米
【详解】解：如图，过点作于点，
则米，米，
米，
（米．
所以此时牵狗绳的长为2.6米．
故答案为：2.6米．
15．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 ．
【答案】km
【详解】如图，
连接MP，在Rt△MAN中，MA=3，MN=4，
由勾股定理得，
设NP=xkm，则PM=xkm，
∴PA=（ -x）km，
在Rt△MAP中，由勾股定理得
，
解得．
故答案为：km
16．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s．
【答案】24
【详解】解：设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响．
则有，
在中，，
，
则该校受影响的时间为：．
该学校受影响的时间为24秒．
故答案为：24
17．如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费 元．
【答案】1400
【解析】略
18．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒．
【答案】 80 12
【详解】解：作于，
，m，
m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，
，
在中，m，
m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，
重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
故答案为：80，12．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由．
【答案】(1)(2)不能成功，理由见解析
【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点，
则，，，
在中，由勾股定理得，
．
（2）解：不能成功，理由如下：
假设能上升12m，如图所示，延长至点，连接，
则，
．
在中，由勾股定理得．
，余线仅剩，
∴，
∴不能上升12m，即不能成功．
20．放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．
(1)求此时风筝的垂直高度的长；
(2)若放风筝的同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长．
【答案】(1)米(2)12米
【详解】（1）∵米，米，
∴米
∵米
∴米
∴米；
（2）∵风筝线又放出了8米，
∴米，
∴米，
∴米．
21．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．
(1)开始时，小船距岸A的距离为_______；
(2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长．
【答案】(1)12(2)
【详解】（1）解：在中，，
，
故答案为：12；
（2）∵琪琪收绳后，船到达处，
，
，
．
22．如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉B到小路的最短距离．
【答案】(1)供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为(2)喷泉B到小路的最短距离为
【详解】（1）∵在中，，，
∴
在中，
∴，
答：供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为；
（2）如图所示，过点B作，
．
答：喷泉B到小路的最短距离为．
23．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米．
(1)求，小区之间的距离；
(2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？
【答案】(1)千米(2)千米
【详解】（1）解：如图，过点作于，则，
∵，
∴四边形是长方形，
∴千米，千米，
∴千米，
∴千米，
答：，小区之间的距离为千米；
（2）解：如图，设千米，则千米，
由题意得，，
∴由勾股定理得，，
整理得，，
解得，
答：车站应修建在离点千米处．
24．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
(1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，．
①请你利用图1验证：；
②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求．
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知在中，，，，求的面积．
【答案】(1)①见解析，②
(2)新路比原路少千米；(3)
【详解】（1）①证明：中间小正方形的边长为，
四个直角三角形的面积为：，
，
．
②解：由①可知，，
，
，
，
．
（2）解：设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，即千米，
（千米）．
答：新路CH比原路CA少0.2千米．
（3）解：如图：作，垂足为H，
设，
，
，，，，
∴在中，，在中，，
，即，解得：，
，
，
．
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专题17.1.2勾股定理（二）十二大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
2．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（ ）
A．2.2 B． C． D．
3．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（ ）
A． B． C． D．
4．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
5．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
7．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（ ）
A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺
8．如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（ ）海里．
A．36 B．40 C．48 D．50
9．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒
10．2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 cm．
12．如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，按图中方式画圆弧交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
13．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．
14．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ．
15．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 ．
16．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s．
17．如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费 元．
18．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由．
20．放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．
(1)求此时风筝的垂直高度的长；
(2)若放风筝的同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长．
21．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．
(1)开始时，小船距岸A的距离为_______；
(2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长．
22．如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉B到小路的最短距离．
23．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米．
(1)求，小区之间的距离；
(2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？
24．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
(1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，．
①请你利用图1验证：；
②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求．
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知在△ABC中，，，，求的面积．
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