中小学教育资源及组卷应用平台
【专题突破】2024-2025八年级下册数学人教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【题组训练2】如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【题组训练3】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．64 B．136 C．72 D．16
【题组训练4】如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，则的值为（ ）
A．10 B．100 C． D．
【题组训练5】小金同学在学习了课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》之后，进一步探索：如图1，以的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形纸片放置在最大的等边三角形内的和处，如图2所示．若要求的面积，则只需知道（ ）的面积．
A．△ABC B．四边形
C．四边形 D．四边形
【题组训练6】如图，在中，，分别以三角形的三边为边向外作等边三角形，若等边三角形的面积分别用，，表示，则，，之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练7】如图，是腰长为1的等腰直角三角形，以它的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，依次作下去，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练8】如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．3 C． D．9
【题组训练9】如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练10】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为：，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．12 C．10 D．8
【题组训练11】有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【题组训练12】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则（ ）
A．76 B．54 C．62 D．81
【题组训练13】如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π）
【题组训练14】如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则 ．
【题组训练15】如图，以△ABC的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，．
【题组训练16】如图，△ABC中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则 ．
【题组训练17】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ．
【题组训练18】如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为 ．
【题组训练19】如图， 在 中， ， 分别以为边向上作正方形， 已知的面积为6，则图中阴影部分面积之和是 ．
【题组训练20】问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
(1)如图1，在中，，以的三边长向外作正方形，其面积分别为，直接写出之间存在的等量关系：______
(2)如图2，在中，，以的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【专题突破】2024-2025八年级下册数学人教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【详解】解：由勾股定理可知，
“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形面积和为；
“生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为；
……；
∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是；
∴经过2024次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2025；
故选：C．
【题组训练2】如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵分别以，，为直径向外构造半圆，三个半圆的面积，，，
∴，
∴，
故选：B．
【题组训练3】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．64 B．136 C．72 D．16
【答案】C
【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，
∵，
∴．
故选：C．
【题组训练4】如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，则的值为（ ）
A．10 B．100 C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，
由勾股定理得：，
由题意，得：，
∴；
故选B．
【题组训练5】小金同学在学习了课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》之后，进一步探索：如图1，以的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形纸片放置在最大的等边三角形内的和处，如图2所示．若要求的面积，则只需知道（ ）的面积．
A． B．四边形
C．四边形 D．四边形
【答案】B
【详解】解：设、、处面积分别为，，，的面积为，
，
，
要求的面积，则只需知道四边形的面积．
故选：B．
【题组训练6】如图，在中，，分别以三角形的三边为边向外作等边三角形，若等边三角形的面积分别用，，表示，则，，之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点作于点，
，
，
是等边三角形，，
，，
，
，
同理：，，
，
故选：A．
【题组训练7】如图，是腰长为1的等腰直角三角形，以它的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，依次作下去，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵是腰长为的等腰直角三角形，
∴
；
∵以为直角边作第二个等腰直角三角形，
∴，
；
同理可得第三个等腰直角三角形的面积为：，
以此类推，第n个三角形的面积为：；
∴的面积为：，
故选： A．
【题组训练8】如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】C
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
在中，，
∴阴影部分面积为：
，
故选：C．
【题组训练9】如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：是等腰直角三角形，
，
，
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
，
，
，
，
，
，
故选A．
【题组训练10】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为：，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【详解】解：由勾股定理得：，即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
故选：A．
【题组训练11】有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【详解】解：如图，
由题意得，正方形A的面积为1，
∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，
∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和等于第1次“生长”出的两个正方形面积，
∴2次后形成的图形中所有的正方形的面积和，
∴ “生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026，
故选：C．
【题组训练12】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则（ ）
A．76 B．54 C．62 D．81
【答案】C
【详解】解：连接，则由勾股定理，得：，
∴，
∴，
故选C．
【题组训练13】如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π）
【答案】
【详解】解：根据题意，得，，
∴
∵，
∴，
故答案为：．
【题组训练14】如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴ ，
即，
同理可得，
∴，
又同理可得，
∴，
故答案为：．
【题组训练15】如图，以△ABC的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，．
【答案】
【详解】解：如下图所示，
若，则有，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，
，
同理可得：，
，
是等腰直角三角形，
，，
．
故答案为： ．
【题组训练16】如图，△ABC中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则 ．
【答案】4
【详解】解：，
，
，
，
．
故答案为：4．
【题组训练17】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ．
【答案】6
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且，
由题意可知：，，，
∵，
即，
则，
∴，
解得．
故答案为：．
【题组训练18】如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为 ．
【答案】5
【详解】解：由勾股定理得，
，
即，
∵，
∴，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积，
∴阴影部分的面积为：5．
故答案为：5．
【题组训练19】如图， 在 中， ， 分别以为边向上作正方形， 已知的面积为6，则图中阴影部分面积之和是 ．
【答案】
【详解】解：如图，设，，，
∵在中，，
∴，
∵四边形，四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴是直角三角形，
在和中，
，
∴
∴，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
，
，
∴，
∴，
∴图中阴影部分面积之和为．
故答案为：．
【题组训练20】问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
(1)如图1，在中，，以的三边长向外作正方形，其面积分别为，直接写出之间存在的等量关系：______
(2)如图2，在中，，以的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
【详解】（1）解：在中，，
∴，
由题意得，，，
∴；
故答案为：；
（2）解：成立，理由如下：
在中，，
∴，即，
∴，，，
∵，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
