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第17章 勾股定理单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：勾股定理
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．1，1，2 B．1，，2 C．3，4，5 D．，，
【答案】C
【详解】因为，所以这三个数不是勾股数，则A不符合题意；
因为不是正整数，所以B不符合题意；
因为，且都是正整数，所以C符合题意；
因为不是正整数，所以D不符合题意．
故选：C．
2．△ABC的三条边分别为，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A.因为的三条边分别为，结合，可知△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；
B.因为，可设，则，可知△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；
C.因为，可得，结合可得，解得，即△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；
D. 因为，可设，结合，可得，解得，所以，所以△ABC不是直角三角形，本选项符合题意．
故选：D．
3．如图，在中，，于点D，若，，则△ABC的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，，
，
，，
，
，
△ABC的周长为；
故选：A
4．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则a最小为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【详解】解：由题意可知，当吸管如图所示放置时，露在水杯外面的吸管长度最短，
∵水杯底面直径为，高度为，
∴，，
∴，
∴露在水杯外面的吸管长度，
即a最小为12，
故选：B．
5．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴点D表示的数为，
故选：C．
6．如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（ ）
A．米 B． 米 C．米 D．米
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
设米，则米，
在中，，
∴，
解得：，
故选：．
7．第14届数学教育大会会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则直角三角形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解：∵是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直角三角形的面积，
故选：D．
8．如图，在△ABC中，，，，沿过点的直线折叠，再次折叠，使点与点重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故选：B．
9．如图，在中，是上一动点，过点作于于，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】解：连接．
，
可以设，，
，，
，，
，，
，
或（舍弃），
，
，
，
故选D
10．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得，
∵正方形的面积为，
∴，
∵阴影部分的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴(负值已舍)，
∴，
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．等边△ABC的周长为，则它的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，△ABC周长为的等边三角形，
∴边长为2cm,
过A作于点D，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．如图，点E在正方形的边上，若，则正方形的面积为 ．
【答案】5
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
正方形的面积，
故答案为：5．
13．在等腰三角形中，，，则边上的高是 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点A作于点，
，，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
14．如图所示，为直角三角形，半圆内的数字分别为所在半圆的面积，则图中字母A所代表的半圆的面积为 ．
【答案】100
【详解】解：∵以为直径的半圆的面积等于400，即，
∴，
∵以为直径的半圆的面积为300，
∴，
∴，
又∵为直角三角形，根据勾股定理得：
，
∴，
则半圆的面积为：．
故答案为：100．
15．已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是 ．
【答案】3
【详解】解：由非负性得：，
解得：，
∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的面积为：．
故答案为：3．
16．如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 ．
【答案】2
【详解】解：如图所示：△ABC是直角三角形，
∵底面半径为半径为，高为，
，
由勾股定理得：，
∴吸管露在杯口外的长度最少为：，
答：吸管露在杯口外的长度最少2厘米，
故答案为：2．
．
17．如图①，将边长为的正方形纸片做成七巧板，并用这副七巧板拼成“温暖小屋”（图②），则图中涂色部分的面积是 ．
【答案】16
【详解】解：将边长为的正方形纸片做成七巧板，
∴七巧板如图所示：
∴，，，
∴，
∴，
∴图中涂色部分的面积是，
故答案为：16．
18．如图，△ABC中，，，，平分，动点M从点A出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为 秒．
【答案】或4或6
【详解】解：过点D作于点N，
由题意得：△ABC中，
根据勾股定理可得：
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
设则
∴，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
∴
∵是以为腰的等腰三角形，动点M的速度是每秒
设点M的运动时间为，
如图1所示，当时，，
解得：；
当时，分两种情况：
当M在边上运动时，如图2所示：
由题意可知：
∵，
∴
∵
∴
此时；
当M在边上运动时，如图3所示：
此时
∵
∴
∴
∴
解得：，
综上所述：点M的运动时间为或4或6秒．
故答案为：或4或6．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，，是边上一点，连接，已知，，．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)求的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解答
(2)
【详解】（1）解：是直角三角形，
理由：在中，．，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
是直角三角形；
（2）解：设，则，
，
，
在中，，
，
，
即．
20．如图，已知等腰△ABC的底边，D是腰上一点，且，．
(1)试说明与之间的位置关系；
(2)求的长．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解：，理由：
∵，，，
∴，
∴，
即．
（2）由题意得：，
设，则，
在中，，
即，，
即．
21．如图，在△ABC中，，是的角平分线，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连结．
，是的角平分线，
垂直平分，
点E在上，
，
的垂直平分线交于点E，
，
．
（2）解：由（1）得，，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
即，
的周长为：
22．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
【答案】(1)△ABC是直角三角形，理由见详解
(2)
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下，
已知，，，
∵，即，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
23．如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，．
(1)判断：与的位置关系，并说明理由；
(2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)见解析．
【详解】（1）证明：，理由如下：
∵，，
，
在和中，
．
，
，
．
．
，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，
，，，．
．
，
．
．
即．
24．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形，使点在 内部，在 外部．
(1)求 的度数．
(2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【详解】（1）∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2），
证明如下：过B作，使，连接，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
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第17章 勾股定理单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：勾股定理
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．1，1，2 B．1，，2 C．3，4，5 D．，，
2．△ABC的三条边分别为，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，于点D，若，，则△ABC的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则a最小为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
5．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（ ）
A．米 B． 米 C．米 D．米
7．第14届数学教育大会会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则直角三角形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．如图，在△ABC中，，，，沿过点的直线折叠，再次折叠，使点与点重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，是上一动点，过点作于于，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．
10．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．等边△ABC的周长为，则它的面积为 ．
12．如图，点E在正方形的边上，若，则正方形的面积为 ．
13．在等腰三角形中，，，则边上的高是 ．
14．如图所示，为直角三角形，半圆内的数字分别为所在半圆的面积，则图中字母A所代表的半圆的面积为 ．
15．已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是 ．
16．如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 ．
17．如图①，将边长为的正方形纸片做成七巧板，并用这副七巧板拼成“温暖小屋”（图②），则图中涂色部分的面积是 ．
18．如图，△ABC中，，，，平分，动点M从点A出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为 秒．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，，是边上一点，连接，已知，，．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)求的长．
20．如图，已知等腰△ABC的底边，D是腰上一点，且，．
(1)试说明与之间的位置关系；
(2)求的长．
21．如图，在△ABC中，，是的角平分线，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
22．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
23．如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，．
(1)判断：与的位置关系，并说明理由；
(2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
24．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形，使点在 内部，在 外部．
(1)求 的度数．
(2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．
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