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第17章 勾股定理单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：勾股定理
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．△ABC中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（ ）
A．如果，则△ABC是直角三角形
B．如果，则△ABC是直角三角形
C．如果，则△ABC是直角三角形
D．如果，则是直角
2．如图，，，，点D是线段上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（ ）
A．5.5 B．6 C．7.5 D．9
3．已知中，的对边长分别为a，b，c，若 ，则 的面积为（ ）
A．9 B．18 C．24 D．36
4．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）
A． B． C． D．
5．如图1是一台手机支架，图是其侧面示意图，可分别绕点转动，当转动到，时，点在的延长线上，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，，设，用含m，n的式子表示的长是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，，，点E为边上的点，且，点E关于边的对称点为点F，连接，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．
8．如图，在中，，平分，过点作交于点．若，，则点到边上的距离是（ ）
A． B． C． D．3
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，在中，，，，，，则△BDE的周长是 ．
12．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是 ．
13．如图，△ABC中，，平分，，，则的长为 ．
14．如图，在中，．将分别沿折叠，使点都与点重合，若，则 ．
15．如图，一艘快艇计划从地航行到距离地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到达地接人，再从地航行20海里到达地，此时快艇位于地的 方向上．
16．如图是一个长，宽，高分别为，，的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 ．
17．以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为，，，如果，，则 ．
18．如图，在△ABC中，点为线段上一点，连接，将沿折叠使点落在点处，使，连接，，若，，，则 （用表示），的长度为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在四边形中，∠B=90°，，，求图中的度数及四边形的面积．
20．四根长度均为的木棒，，，要按图示做个创意造型．如图，已知A，C，E三点在同一条直线上，．过B，D两点分别作的垂线，垂足分别为M，N．且．
(1)求证：．
(2)求线段的长度．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知，，
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；
(2)已知P为x轴上一点，若的长度为，求点P的坐标．
22．综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，．
独立思考：
（1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度．
问题解决：
（3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？
23．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“神圣三角形”．
(1)下列三角形一定是“神圣三角形”的是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
(2)如图1，△ABC是“神圣三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和26，则正方形的面积是______．
(3)如图2，在四边形中，，，E是四边形外一点，且，．求证：是“神圣三角形”．
(4)若是“神圣三角形”，且一条直角边长为，则斜边长为______．
24．【操作】（1）将纸片△ABC沿折叠，使点刚好落在边上的处，展开如图．若，则________；
【思考】（2）如图，作，垂足为，且，求边的长；
【延伸】（3）如图，设为上一点（与、）不重合，是上一个动点，连接、．
①试说明：与大小关系；
②若点是的中点，且．求长．
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第17章 勾股定理单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：勾股定理
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．△ABC中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（ ）
A．如果，则△ABC是直角三角形
B．如果，则△ABC是直角三角形
C．如果，则△ABC是直角三角形
D．如果，则是直角
【答案】C
【详解】解：、∵，，
∴，
∴△ABC是等边三角形，原选项不符合题意；
、由，
设，，，
∵，
∴，解得：，
∴，，，
∴△ABC是锐角三角形，原选项不符合题意；
、由，
设，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形，原选项符合题意；
、∵，
∴，即，
∴是直角，原选项不符合题意；
故选：．
2．如图，，，，点D是线段上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（ ）
A．5.5 B．6 C．7.5 D．9
【答案】A
【详解】解：，，，
，
，
则A、D两点之间的距离不可能是5.5，
故选：A．
3．已知中，的对边长分别为a，b，c，若 ，则 的面积为（ ）
A．9 B．18 C．24 D．36
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
∴的面积为，
故选：A．
4．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
由题意得，，，，
∴，
∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为，
故选：．
5．如图1是一台手机支架，图是其侧面示意图，可分别绕点转动，当转动到，时，点在的延长线上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6．如图，在△ABC中，，设，用含m，n的式子表示的长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：作于D，作点B关于对称点E，连接，
∵，
∴，
∵点B关于对称点是E，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
勾股定理得，，
解得，
∴．
故选：A．
7．如图，在△ABC中，，，点E为边上的点，且，点E关于边的对称点为点F，连接，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，，作于点，作于点，作于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∵点E关于边的对称点为点F，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．如图，在中，，平分，过点作交于点．若，，则点到边上的距离是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】解：如图，作于点，
平分，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
点到边上的距离是，
故选：C ．
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，不能证明，不符合题意；
，能证明，符合题意；
，能证明，符合题意；
不能证明，不符合题意；
综上可知：能证明，
故选：．
10．如图，在△ABC中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接，
∵，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∴当时，即共线时，周长有最小值，
∵，
∴，，
∴，
∵与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴周长最小值为，
故选：．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，在中，，，，，，则△BDE的周长是 ．
【答案】12
【详解】解：由勾股定理得：，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴△BDE的周长，
故答案为：12．
12．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是 ．
【答案】234
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积等于
；
故答案为：234．
13．如图，△ABC中，，平分，，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，作于点，
∵平分，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
解得，
又∵平分，，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
14．如图，在中，．将分别沿折叠，使点都与点重合，若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
由折叠得，，，，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
15．如图，一艘快艇计划从地航行到距离地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到达地接人，再从地航行20海里到达地，此时快艇位于地的 方向上．
【答案】北偏东
【详解】解：由题意知，，，，
，
，
是直角三角形，
，
，
此时快艇位于地的北偏东方向上．
故答案为：北偏东．
16．如图是一个长，宽，高分别为，，的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 ．
【答案】
【详解】解：由于长方体的平面展开方式不唯一，故分以下三种情况进行讨论：
（1）把前面右面组成一个长方形，连接，如图，
；
（2）把前面上面组成一个长方形，连接，如图，
；
（3）把左面上面组成一个长方形，连接，如图，
，
，
最短路径的长为，
故答案为：．
17．以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为，，，如果，，则 ．
【答案】14或22
【详解】解：如图1，
∵，
∴勾股定理得，，
∴，
如图2，
∵，
∴勾股定理得，，
∴，
故答案为：14或22．
18．如图，在△ABC中，点为线段上一点，连接，将沿折叠使点落在点处，使，连接，，若，，，则 （用表示），的长度为 ．
【答案】
【详解】解：如图，记的交点为，
∵将沿折叠使点落在点处，使，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
过作于，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：，
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在四边形中，∠B=90°，，，求图中的度数及四边形的面积．
【答案】；
【详解】解：连接，
∵∠B=90°，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
∵，，
∴．
20．四根长度均为的木棒，，，要按图示做个创意造型．如图，已知A，C，E三点在同一条直线上，．过B，D两点分别作的垂线，垂足分别为M，N．且．
(1)求证：．
(2)求线段的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知，，
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；
(2)已知P为x轴上一点，若的长度为，求点P的坐标．
【答案】(1)见解答．
(2)或．
【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求，
（2）解：设点P的坐标为，
∵的长度为，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
22．综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，．
独立思考：
（1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度．
问题解决：
（3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？
【答案】（1）；（2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是．理由见解析；（3）在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员
【详解】解：（1）在中，，
，
答：这架云梯顶端距地面的距离有；
（2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是，
由（1）可知，
．
在中，，
，
；
（3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，
则能够到达墙面的最大高度为．
，
，
在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员．
23．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“神圣三角形”．
(1)下列三角形一定是“神圣三角形”的是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
(2)如图1，△ABC是“神圣三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和26，则正方形的面积是______．
(3)如图2，在四边形中，，，E是四边形外一点，且，．求证：是“神圣三角形”．
(4)若是“神圣三角形”，且一条直角边长为，则斜边长为______．
【答案】(1)D(2)44(3)见解析(4)或
【详解】（1）解：设等边三角形的边长为，
则，
等边三角形是“神圣三角形”，
故选：D；
（2）解：正方形和正方形的面积分别是8和26，
，
△ABC是“神圣三角形”，且，
，
，
，
故答案为：44；
（3）解：连接．如图2，
，
△ABC和均为直角三角形，
在中，，
在中，，
，，
，
是“神圣三角形”；
（4）解：设斜边长为，则另一边长为，
是“神圣三角形”，
或，
解得（舍去）或，（舍去），
故斜边的长为或．
故答案为：或．
24．【操作】（1）将纸片△ABC沿折叠，使点刚好落在边上的处，展开如图．若，则________；
【思考】（2）如图，作，垂足为，且，求边的长；
【延伸】（3）如图，设为上一点（与、）不重合，是上一个动点，连接、．
①试说明：与大小关系；
②若点是的中点，且．求长．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②．
【详解】解：（1）由折叠的性质得，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）如图，作，垂足为，
由题意得，平分，，
∴，
∵，
∴，
解得，．
（3）①
连接，
由题意可知，
在和中
，
∴（），
∴，
∴；
②连接，
由①得，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵点是的中点，
∴，，
∴．
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