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【专题突破】2024-2025八年级下册数学人教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】已知：在中，，．点、在线段上．
(1)如图1，如果，求证：．
(2)如图2，如果，求证：．
【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到△BCF，连接，
∵，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题组训练2】如图，在中，，，点是斜边上的动点，点在直线上，满足，于点，设．
(1)当时，求的度数（用含有的代数式表示）．
(2)当时，请用一个等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由．
(3)当时，请用一个等式直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵是的一个外角，
∴；
（2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：当时，
如图所示，
设，，
由（2）可得是等腰直角三角形，，
∴，，
在中，，
∴
当时，如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴,
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设，，
∴，，
在中，，
∴，
当时，，等式仍然成立，
∴当时，，
综上所述，当时，；当时，．
【题组训练3】如图，中，．
(1)图1中，若，，则边上的高的长为______；
(2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：如图2，作线段的垂直平分线，交于点P，连接，
则点P即为所求，理由如下：
∵直线为线段段的垂直平分线，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
即点P符合题意．
【题组训练4】已知△ABC与都是等边三角形．
(1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：；
(2)如图2，点D是△ABC外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，若，，．试求的度数．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)
【详解】（1）证明：△ABC与都是等边三角形，
在和中，
，
（2）证明：如图2，连接，
∵△ABC与都是等边三角形，
在和中，
（3）解：如图3，作交的延长线于点F，则，
解得，
的度数是
【题组训练5】我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”．
(1)例如，如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中，则________（________）；
(2)类比：如图2，已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，，，且，求证：；
(3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论．
【答案】(1)，(2)见解析(3)，见解析
【详解】（1）解：∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，
∴，
又∵
∴，即，
在和中，，
∴．
故答案为： ，
（2）证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
连接，如图所示：
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：，
∴．
【题组训练6】如图，在△ABC中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．
(1)判断△BCF的形状，并说明理由；
(2)若，求证：．
【答案】(1)△BCF为等腰直角三角形，理由见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）解：△BCF为等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：在上取一点H，使，连接，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
中，由勾股定理得：，
∴．
【题组训练7】如图1，△ABC中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题：
(1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明；
(2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
【答案】(1)
(2)不变，，证明见详解
【详解】（1）解：，
∵中，，
∴，
将沿折叠，得，连接
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，有，即．
（2）解：结论不变，
作，且截取，连接，连接，
∵
，
∴，，
又，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
在 中，，即．
【题组训练8】如图，在△ABC中，，点D为边上一点，且，交于点F．
(1)在边上取点M，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在满足（1）的条件下，在射线上取点N，使得，求证：A，M，N三点在同一条直线上．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【详解】（1）解：如图，
为所求作；
（2）解：如图，与交于，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
在射线上取点N，使得，
此时与重合，
如图，
A，M，N三点在同一条直线上．
【题组训练9】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题：
(1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：结论：，理由如下：
如图，连接，
∵△ABC、均为等腰直角三角形，，
∴，，
∵
∴
在和中，
，
∴
∴，，
∴，
在中，
∵
∴；
（2）如图，连接，
∵、均为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴，即：
在中，
∵
∴．
【题组训练10】如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．
(1)请直接写出线段，，之间的关系．
(2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【详解】（1）解：证明：由旋转可得，，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）猜想：，
证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，
，，，，
，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中
，
，
．
【题组训练11】如图，已知△ABC与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．
(1)试判断与的大小关系，并说明理由；
(2)试说明三者之间的关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【详解】（1）．理由如下：
∵与都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴．
∴，
∴．
（2）．理由如下：
由（1）可得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【题组训练12】如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接
(1)求证：；
(2)若，，求的周长.
【答案】(1)见解析(2)14
【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
即.
（2）解：∵D是斜边的中点，，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
又∵，
∴，
∴的周长为.
【题组训练13】已知△ABC是等边三角形．
(1)如图1，也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：；
(2)如图2，点D是△ABC外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若．试求的度数．
【详解】（1）解：证明：如图1中，连接．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
．
（2）如图2中，以为边向下作等边△BDE，连接．
，△BDE都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
（3）如图3中，以为边向下作等边△BDE，连接，作交的延长线于．
同法可证：，
，设，，
则有，
解得，
，
，
，
，
，
．
【题组训练14】如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)请直接写出、和之间的数量关系_____；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
；
（2）∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）延长到点，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，，
∵，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【题组训练15】如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．
(1)判断与间的数量关系，并说明理由；
(2)直接写出线段、、间满足的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【详解】（1）理由如下，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
如图所示，连接，
由（1）可得
∵
∴
∴，，
∵
∴
∵
在四边形中，
∴是直角三角形，
∴
又是等腰直角三角形，
∴，即,
又∵，
∴
【题组训练16】在△ABC中，，为边中点，连接，与相交于点，过作，交于点，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)判断的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，见解析
【详解】（1）解：补全图形，如图所示：
（2），
，
，
，
，
；
（3）结论：；
延长到使，连接，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
垂直平分,
，
．
【题组训练17】在中，，，点为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．
(1)如图1，探究线段、之间的数量关系；
(2)如图2，当时，其它条件不变，试判断线段，，的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【详解】（1）
，证明如下：
由题意得：，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）
，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【题组训练18】数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若，，求边上的中线的取值范围．
解决方法：延长到E．使得．再连接（或将绕点D逆时针旋转得到）．把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是边上的中点，，交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【详解】（1）证明：如图，延长到G，使得，连接、．
在与中，
，
，
，，
垂直平分，
．
在中，，即．
（2）解：，
证明如下：
，
，
，
，
，即，
∴在中，，
，
．
【题组训练19】如图，已知和中，，，，连接．交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)连接，，求证
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【详解】（1）解：证明：，
，
，，
．
（2）设交于点．
，
，
，，
，
，
．
（3）证明：连接．
，
，，
，
．
【题组训练20】已知：在中，，，点D在直线AB上，连接CD，在CD 的右侧作，．
(1)如图1，①点D在AB边上，线段BE和线段AD数量关系是______，位置关系是______；
②直接写出线段AD，BD，DE之间的数量关系______．
(2)如图2，点D在B右侧．AD，BD，DE之间的数量关系是______，若，．直接写出DE的长______．
(3)拓展延伸
如图3，，，，，求出线段EC的长．
【答案】(1)①BE＝AD，BE⊥AD；②
(2)，
(3)
【详解】（1）解：①∵∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵CE⊥CD，
∴∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴BE⊥AD，
故答案为：BE＝AD，BE⊥AD；
②由①得：AD＝BE，∠ABE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：AD2+BD2＝DE2；
（2）解：如图2，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∴，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，
∴AD＝AB+BD＝4+1＝5，
∴DE＝＝＝，
故答案为：，；
（3）解：过C作CA⊥CB交DB于A，设BD与CE相交于点O，如图3所示：
则∠ACB＝90°＝∠DCE，
∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE，
∵∠DCO＝∠EBO＝90°，∠DOC＝∠EOB，
∴∠CDA＝∠CEB，
又∵CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE＝1，AC＝BC
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝，
∴AB＝=BC＝2，
∴BD＝AB+AD＝3，
∵∠DBE＝90°，
∴DE＝＝＝，
∴EC＝DE＝．
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】已知：在中，，．点、在线段上．
(1)如图1，如果，求证：．
(2)如图2，如果，求证：．
【题组训练2】如图，在中，，，点是斜边上的动点，点在直线上，满足，于点，设．
(1)当时，求的度数（用含有的代数式表示）．
(2)当时，请用一个等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由．
(3)当时，请用一个等式直接写出线段，，之间的数量关系．
【题组训练3】如图，中，．
(1)图1中，若，，则边上的高的长为______；
(2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由．
【题组训练4】已知△ABC与都是等边三角形．
(1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：；
(2)如图2，点D是△ABC外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，若，，．试求的度数．
【题组训练5】我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”．
(1)例如，如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中，则________（________）；
(2)类比：如图2，已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，，，且，求证：；
(3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论．
【题组训练6】如图，在△ABC中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．
(1)判断△BCF的形状，并说明理由；
(2)若，求证：．
【题组训练7】如图1，△ABC中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题：
(1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明；
(2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
【题组训练8】如图，在△ABC中，，点D为边上一点，且，交于点F．
(1)在边上取点M，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在满足（1）的条件下，在射线上取点N，使得，求证：A，M，N三点在同一条直线上．
【题组训练9】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题：
(1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明．
【题组训练10】如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．
(1)请直接写出线段，，之间的关系．
(2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
【题组训练11】如图，已知△ABC与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．
(1)试判断与的大小关系，并说明理由；
(2)试说明三者之间的关系．
【题组训练12】如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接
(1)求证：；
(2)若，，求的周长.
【题组训练13】已知△ABC是等边三角形．
(1)如图1，也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：；
(2)如图2，点D是△ABC外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若．试求的度数．
【题组训练14】如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)请直接写出、和之间的数量关系_____；
(3)求证：．
【题组训练15】如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．
(1)判断与间的数量关系，并说明理由；
(2)直接写出线段、、间满足的数量关系．
【题组训练16】在△ABC中，，为边中点，连接，与相交于点，过作，交于点，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)判断的数量关系，并证明．
【题组训练17】在中，，，点为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．
(1)如图1，探究线段、之间的数量关系；
(2)如图2，当时，其它条件不变，试判断线段，，的数量关系，并证明．
【题组训练18】数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若，，求边上的中线的取值范围．
解决方法：延长到E．使得．再连接（或将绕点D逆时针旋转得到）．把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是边上的中点，，交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明．
【题组训练19】如图，已知和中，，，，连接．交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)连接，，求证
【题组训练20】已知：在中，，，点D在直线AB上，连接CD，在CD 的右侧作，．
(1)如图1，①点D在AB边上，线段BE和线段AD数量关系是______，位置关系是______；
②直接写出线段AD，BD，DE之间的数量关系______．
(2)如图2，点D在B右侧．AD，BD，DE之间的数量关系是______，若，．直接写出DE的长______．
(3)拓展延伸
如图3，，，，，求出线段EC的长．
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