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【专题突破】2024-2025八年级下册数学人教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，在△ABC中，，点为边上一点，已知，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析(2)．
【详解】（1）证明：在△BCH中，
，
∴△BCH为直角三角形，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴．
【题组训练2】如图，在四边形中，，，，且∠B=90°．求：
(1)的度数；
(2)四边形的面积．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：连接，
∵，∠B=90°，
∴，，
又∵，，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知△ABC和是直角三角形，
∴
．
【题组训练3】如图，在中，∠B=90°，，点为边的中点，点在边上，连接．
(1)若，，求的面积；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，点为边的中点，
∴，
∴，
而,
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴在中，由勾股定理得，
∵点为的中点，，
∴，
设，则，
∴在中，由勾股定理得，，
解得：，
∴．
【题组训练4】已知：如图，在四边形中，，，，．
(1)求的度数．
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：连接，如图所示．
∵，，
∴，
根据勾股定理得，
在中，，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）．
【题组训练5】如图， 和中，．
(1)求证：；
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1 ）知，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题组训练6】已知：如图，△ABC中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别是E、F．
(1)求证：；
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析；(2)5．
【详解】（1）证明：如图连接、．
∵，，，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题组训练7】如图，在△ABC中，于．
(1)求的值；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)△ABC为直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：∵且，，
∴为直角三角形，
∴在中，，
在中， ；
（2）解：△ABC为直角三角形．
理由：∵， ，
∴，
∴，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形．
【题组训练8】如图，在四边形中，，，，．求的度数．
【答案】
【详解】解：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
在中，，，
∴．
∴是直角三角形，且，
∴．
∴的度数为．
【题组训练9】如图，在△ABC中，，，，是延长线上的点，连接，若．
(1)求的长；
(2)过点作交于点，求的长．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABD=90°，
在中，由勾股定理得：，
∴；
（2）解：由（）得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题组训练10】数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片，已知底边，点D是腰上一点，且，．
(1)请你判断的形状，并说明理由：
(2)求三角形腰的长度．
【答案】(1)为直角三角形，理由见解析(2)
【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下：
，，，
，，
∴，
根据勾股定理逆定理可知，为直角三角形；
（2）设腰长为，则，
由（1）可知，
∴由勾股定理可知，，
即：，
解得，
腰长为．
【题组训练11】如图，在△ABC中，点D在边上，已知，点E在上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】（1）证明：，，，
，，
，
是直角三角形，
，
；
（2）解：，
∴，
∵，，
，
∴
．
【题组训练12】如图，，垂足为D ，，．
(1)求的度数？并说明理由；
(2)P是边上一点，连接，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)
(2)4或或5
【详解】（1）解：，
理由：∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：分三种情况：①当时，如图，
∵，，
∴，
∴；
②当时，如图，
∵
∴，
∴；
③当时，过点P作于E，如图，
∵，，
∴，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，当为等腰三角形时，的长为4或或5．
【题组训练13】如图，在四边形中，，
(1)证明：是直角三角形；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）证明：，，，
，，
，
是直角三角形，且；
（2）解：解：，，，
，
四边形的面积的面积的面积
．
【题组训练14】如图，在平行四边形中，平分，已知，，．
(1)求证：；
(2)求△ADE的面积．
【答案】(1)见解析(2)40
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
， ，
，
平分，
，
，
，
，
又，，
，
为直角三角形，
；
（2）解：连接，
∵，，，
又，
∴．
【题组训练15】如图，在四边形中，，且∠B=90°．
(1)求的度数；
(2)若，则四边形的面积为_____．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：连接，
设、、、分别为、、、，
，，
，，
，，
，
，
；
（2）解：，，
，，，
由勾股定理得，
由（1）知：
∴．
【题组训练16】如图，四边形中，，过点作于点，点恰好是的中点，连接，，，．
(1)直接写出的长为______；
(2)求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解： ，
，
，，
．
（2）解：连接，如图，
，为的中点，
，
，
，，
，
，
∴．
【题组训练17】如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．
(1)求边的长；
(2)连接，判断的形状；
(3)求这块空地的面积．
【答案】(1)(2)是直角三角形(3)这块空地的面积为
【详解】（1）解：，
．
在中，
，，
．
是的中点，
．
（2）解：如图，
，是的中点，
．
，，
，
，
是直角三角形．
（3）解：由（2）可知，是直角三角形，，
，
由（1）可知，，
这块空地得面积为：．
【题组训练18】如图，△ABC中，为钝角．
(1)尺规作图：作边，的垂直平分线分别交于点，；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）作两条垂直平分线即可
（2）连接，，
边，的垂直平分线分别交于点，，
，，
， ，
，
，
，
，
∴，
．
【题组训练19】在四边形中，已知，，，．
(1)连接，试判断的形状，并说明理由；
(2)求的度数．
【答案】(1)为等边三角形，理由见解析.
(2)．
【详解】（1）解：是等边三角形．
，，
是等边三角形；
（2）解：是等边三角形，
，，
在中，，，
，
，
．
【题组训练20】如图，点在四边形内部，且，，，，，
(1)求证：是等边三角形；
(2)求的度数；
(3)求的长．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）在中，，，，
∵，
∴是直角三角形，，
∵，是等边三角形，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）延长交于点，如图所示，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴．
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【专题突破】2024-2025八年级下册数学人教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，在△ABC中，，点为边上一点，已知，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【题组训练2】如图，在四边形中，，，，且∠B=90°．求：
(1)的度数；
(2)四边形的面积．
【题组训练3】如图，在中，∠B=90°，，点为边的中点，点在边上，连接．
(1)若，，求的面积；
(2)若，，求的长．
【题组训练4】已知：如图，在四边形中，，，，．
(1)求的度数．
(2)求四边形的面积．
【题组训练5】如图， 和中，．
(1)求证：；
(2)若 ，求证： ．
【题组训练6】已知：如图，△ABC中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别是E、F．
(1)求证：；
(2)求线段的长．
【题组训练7】如图，在△ABC中，于．
(1)求的值；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
【题组训练8】如图，在四边形中，，，，．求的度数．
【题组训练9】如图，在△ABC中，，，，是延长线上的点，连接，若．
(1)求的长；
(2)过点作交于点，求的长．
【题组训练10】数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片，已知底边，点D是腰上一点，且，．
(1)请你判断的形状，并说明理由：
(2)求三角形腰的长度．
【题组训练11】如图，在△ABC中，点D在边上，已知，点E在上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【题组训练12】如图，，垂足为D ，，．
(1)求的度数？并说明理由；
(2)P是边上一点，连接，当为等腰三角形时，求的长．
【题组训练13】如图，在四边形中，，
(1)证明：是直角三角形；
(2)求四边形的面积．
【题组训练14】如图，在平行四边形中，平分，已知，，．
(1)求证：；
(2)求△ADE的面积．
【题组训练15】如图，在四边形中，，且∠B=90°．
(1)求的度数；
(2)若，则四边形的面积为_____．
【题组训练16】如图，四边形中，，过点作于点，点恰好是的中点，连接，，，．
(1)直接写出的长为______；
(2)求的度数．
【题组训练17】如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．
(1)求边的长；
(2)连接，判断的形状；
(3)求这块空地的面积．
【题组训练18】如图，△ABC中，为钝角．
(1)尺规作图：作边，的垂直平分线分别交于点，；
(2)若，求的度数．
【题组训练19】在四边形中，已知，，，．
(1)连接，试判断的形状，并说明理由；
(2)求的度数．
【题组训练20】如图，点在四边形内部，且，，，，，
(1)求证：是等边三角形；
(2)求的度数；
(3)求的长．
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