第26章 反比例函数
26.1.1反比例函数的意义
【学习目标】
经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念。
理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系。
让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用。
【学习重点】理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式。
【学习难点】反比例函数的解析式的确定。
【学法指导】自主、合作、探究
教 学 互 动 设 计 方法导引
【自主学习，基础过关】一、自主学习：（一）复习巩固1.在一个变化的过程中，如果有两个变量x ( http: / / www.21cnjy.com )和y，当x在其取值范围内任意取一个值时，y ，则称x为 ，y叫x的 .2.一次函数的解析式是： ；当 时，称为正比例函数.3.一条直线经过点（2，3）、（4，7），求该直线的解析式.以上这种求函数解析式的方法叫： （二）自主探究提出问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？（1）京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全市人口n（单位:人）的变化而变化. 1、上面问题中，自变量与因变量分别是什么？三个问题的函数表达式分别是什么？（1） （2） （3） 2、这三个函数关系式可以叫正比例函数吗？可以叫一次函数吗？（三）归纳总结：1、三个函数表达式：、、S＝有什么共同特征？你能用一个一般形式来表示吗？ 2、对于函数关系式，完成下表： 102030405080100 当越来越大时怎样变化？这说明与具备怎样的关系？3、类比一次函数的概念给上述新的函数下一个恰当的定义 讨论： 1、反比例函数中自变量在分式的什么位置？自变量的取值范围是什么？ 2、你能再举出两个反比例函数关系的实例吗？写出函数表达式，与同伴进行交流。 （四）自我尝试：例1下列哪些式子表示是关于的反比例函数？每一个反比例函数中相应的值是多少？；⑵；⑶；⑷；⑸⑹⑺变式训练11、关系式xy+4=0中y是x的反比例函数吗 若是，比例系数k等于多少？若不是，请说明理由。2、 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）A、 B、 C、 D、3、 已知函数是正比例函数,则 m = 已知函数是反比例函数,则 m = 例2：（课本P3 例1）已知是的反比例函数，当时，⑴写出与的函数关系式。求当时，的值变式训练1、已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y=-8。（1）写出y与x之间的函数关系式。（2）求y=2时x的值。2、y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：x-2-113y2-1（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表。 学生自主回顾学生独立完成，并展示学生活动，总结归纳反比例函数概念学生独立完成，然后分小组展示，教师点拨
二、课堂检测1、当m = ，函数是反比例函数。2、若y与x-2成反比例，且当x=-1时，y=3，则（1）求y与x之间的函数关系式。（2）求当x=5时，y的值3、已知函数y＝y1＋y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝9，求当x＝－1时y的值小组分组合作探究，释疑解惑1、老师把“课前预习导学案”答案和步骤过程展示出来。2、小组成员之间相互合作探究学生课前预习导学案中的问题和预习中的疑惑.(学生的疑惑中没有提到老师认为需讲解的内容时，需老师补充提问，小组讨论后，同学作答)三、课外训练1、若y是x-1的反比例函数，则x的取值范围是 ．2、若y=是y关于x的反比例函数关系式，则n是 ．3、把xy=-1化为y=的形式，其中k= ．4、苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为 5、已知y与x成反比例，且当x＝－2时，y＝3，则y与x之间的函数关系式是 ，当x＝－3时，y＝ 6、当m＝ 时，关于x的函数是反比例函数？7、如果y与x成正比例，z与x成反比例，那么y与x之间的函数关系是（ ）A.正比例关系 B.反比例关系 C.一次函数关系 D.不确定8、在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）A、 B、 C、xy=5 D、9、已知y是x 的反比例函数，并且当x=3时，y=4。（1）写出y与x之间的函数关系式。（2）求x=1.5时y的值。【学生总结】1、老师学生一起把课堂检测的问题结论，及步骤过程交流讨论清楚。2、学生通过当堂检测，找到自己当堂的问题，并用两种颜色的笔做好修改，注释和笔记等。3、学生自主查看翻阅资料，复习总结以及相互讨论不理解或者更深层次的数学问题。【总结提炼，知识升华】1、本节课学习的知识点2、本节课学习的方法和数学思想【课后训练，巩固拓展】 教材习题26.1 P8 1、2、4、6、7及练习册【教学反思】 通过当堂检测，找到学生自己当堂的问题，并用两种颜色的笔做好修改，注释和笔记等26.1.2反比例函数的图象和性质（2）
【学习目标】
1、能用反比例函数的定义和性质解决相关的数学问题。
2、经历探索反比例函数与方程、不等式之间关系的过程，体会它们之间的内在的辩证关系。
3、进一步认识数形结合的思想和待定系数法。
【学习重点】
理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题。
【学习难点】
体会反比例函数与方程、不等式之间关系，认识数形结合的思想方法。
【学法指导】
自主、合作、探究
教 学 互 动 设 计 方法导引
【自主学习，基础过关】一、复习巩固1、反比例函数的图象经过点A（－3，2），则次反比例函数的解析式为 。区别于一次函数，类似正比例函数，反比例函数中只有 个待定系数k，只需 组x,y的对应值即可确定反比例函数的解析式。（为学习例3做准备）2、的图象叫 ，图象位于 象限，在每一象限内，当增大时，则 ；函数y=图象在第 象限，在每个象限内y随x的减少而 。二、自主探究老师在黑板上写了这样一道题：“已知（2，5）在反比例函数y=的图象上，试判断点（－5，－2）是否也在此图象上。”题中的“？”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目。（问题导入） 学生独立完成鼓励学生独立完成，教师点拨
三、课堂练习，巩固新知1、已知反比例函数的图象经过点A（2，6），这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化 点B(3,4)、C（－2，－4）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？变式训练若点B（－3，－3n+5）在此双曲线上， n= 若C为此反比例函数图象上任意一点，CD垂直OX于点D，CE垂直OY于点E，求四边形ODCE的面积。（反过来若C为此反比例函数图象上任意一点，CD垂直OX于点D，CE垂直OY于点E，四边形ODCE的面积是5，求k的值。）练习：若A（－3，）、B（－2，）是反比例函数上的两个点，则与的关系为 。若A（－3，）、B（－2，）、C（4，y3）是反比例函数上的三个点，则、与y3的关系为 。2、图中 是反比例函数y＝的图象的一支,根据图象回答下列问题：图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？在这个函数图象的某一支上任取点A（x1，y1）和点B(x2，y2).如果x1> x2,那么y1和y2有怎样的大小关系 变式训练（1）在这个函数图象上任取点M(x,y)和点N（，），且x1＜x2＜0那么y和有怎样的大小关系？（2）试比较和的大小。讨论：不等式与反比例函数之间的关系是怎样的？四、我的疑惑（学生自主写出自己的疑惑，各小组组长收集，整理和分析这些疑惑，把这些疑惑传递给老师，老师一并把有意义的疑惑呈现给所有同学。）提示：以上内容为学生独立完成的预习内容。要求：上课前组长（或者科代表）把各个小组成员的疑惑交给老师查看。五、巩固提高，拓展升华1、（1）y= （2）y= （3）y= 在x轴上方的图象如图所示，由此推出k1，k2，k3的大小关系 INCLUDEPICTURE "http://lyedu.lyyj./cz08x/kczy/xia/sx/2/04/rj-kebiao/1/kzzl/image007.gif" \* MERGEFORMATINET 2、直线y=kx与反比例函数y=－的图象相交于点A、B，过点A作AC垂直于y轴于点C，S△ABC= 3、已知正比例函数y=kx和反比例函数的图象都过点A（m,1），求此正比例函数解析式及另一交点坐标。4、如图2所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y =的图象交于A、B两点．（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围【学生总结】1、老师学生一起把课堂检测的问题结论，及步骤过程交流讨论清楚2、学生通过当堂检测，找到自己当堂的问题，并用两种颜色的笔做好修改，注释和笔记等3、学生自主查看翻阅资料，复习总结以及相互讨论不理解或者更深层次的数学问题。六、课外训练1、已知函数的图象经过点（2，3），下列说法正确的是（ ）A．y随x的增大而增大 B．函数的图象只在第一象限C．当x＜0时，必有y＜0 D．点（－2，－3）不在此函数的图象上2、如果两点（1，）和（2，）都在反比例函数的图象上，那么（ ）A．＜＜0 B．＜＜0 C．＞＞0 D．＞＞03 、反比例函数 在第一象限内的图象如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，P为该图象上任意一点，PQ垂直于x轴，垂足为Q，设△POQ面积为S，则S的值与k之间的关系是（ ）【总结提炼，知识升华】1、本节学习的内容：反比例函数图象及性质的运用2、数学思想方法归纳：待定系数法与方程（不等式）思想、数形结合思想。【课后训练，巩固拓展】教材习题26.1 P9 5、8、9及练习册【教学反思】 通过当堂检测，找到学生自己当堂的问题，并用两种颜色的笔做好修改，注释和笔记等编写时间： 第二 学期 总第 课时 编写人： 马耀国
课题 反比例函数的图象和性质（1） 授课班级 授课时间
教 学 目 标 知识与技能：会用描点的方法画反比例函数图象；理解反比例函数的性质.过程与方法：通过观察反比例函数图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力.体会数形结合的思想和分类讨论的思想.情感、态度和价值观：在自主探究反比例函数性质的过程中，让学生初步感知反比例函数图象的对称性；培养学生勤于动手，乐于探索的习惯.
教学重点 理解并掌握反比例函数的图象和性质
教学难点 正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质
课 型 新授课 主要教学方法 启发、引导
教学模式 合作 探究 教学手段与教具 互动 三角尺
教 学 过 程 设 计
教 师 活 动 学 生 活 动 设 计 理 念
活动一 （1）回忆一反比例函数的定义.联想正比例函数.（2）回忆画函数图象的方法与步骤 教师提出问题学生思考、回答，教师根据学生活动情况进行补充和完善.在活动中教师应重点关注：学生对一次函数知识点的掌握情况；学生对描点法画函数图象的基本步骤的掌握情况：列表，描点，连线. 通过创设问题情境，引导学生类比前面学习一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的图象和性质的方法，激发学生参与课堂的热情，开始本节课的探究，为学习画反比例函数的图象打好基础.
活动二（1）画反比例函数y=6/x与y=12/x的图象.（2）比较y=6/x与y=12/x的图象他们有什么共同特征？他们之间有什么共同关系？ 师生互动，鼓励学生类比一次函数的画法，探索 ( http: / / www.21cnjy.com )画出反比例函数的图象.教师先引导学生思考，示范画出反比例函数 y=6/x的图象，再让学生尝试画y=12/x的图象.教师在引导学生画反比例函数的图象时，应重点关注：1、学生在列表时，是否注意 ( http: / / www.21cnjy.com )到了自变量的取值应使函数有意义（x≠0）；同时，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映映出图象的特征.2、一般情况下，描出的点越多，图象越精细.3、连线时，必须按自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接.4、学生是否注意到反比例函数曲线的两个分支是断开的，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但永远不和坐标轴相交.教师将两个图象置于同一直角坐标系中并提出问题.学生观察思考，回答问题.在活动中教师应关注：（1）学生是否具有用数学语言描述图象特征的能力（2）学生是否理解在同一直角坐标系内两个反比例函数图象的关系.学生独立思考完成，安排两名学生展示. 这是突破本节课重难点的第一个环节.让学生应 ( http: / / www.21cnjy.com )用描点法画出反比例函数的图象，关注画图的基本步骤.以及每一个细节的处理，培养学生动手操作的能力和习惯.也为以后画其他函数图象奠定基础.学生通过观察比较，总结出两个反比例函数图象的共同特征，以及在平面直角坐标系中的位置.在活动中，加强引导，放手让学生去观察，去类比发现，去感受，去总结，实现学生主动参与，探究新知的目的.
活动三：对k的值进行分类讨论，自选k的值，画函数y=k/x的图象.图象在第一、第三象限的函数与图象在第二、第四象限的函数的k值有何区别 画图进行观察、探究k>0和k<0两种情况. 教师提出问题学生自选k值画函数图象（k=3、-3和4、-4）在活动中教师应关注k值不要过大或过小，以便于描点画图.教师统计分类情况，在黑板上画图加以汇总展示.学生小组讨论，观察思考后进行分析、归纳、得出反比例函数的性质.（1）反比例函数y=k/x(k为常数，k≠0)的图象是一种双曲线.（2）当k>0时，双曲线的两个分支位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小.（3）当k<0时，双曲线的两个分支位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大.在活动中教师应关注：（1）学生对反比例函数图象的认识和理解.（2）学生能否通过观察、比较、分析 ( http: / / www.21cnjy.com )和探讨判断出反比例函数的图象所在的象限由k值决定，能否由反比例函数图象的位置判断出k的符号，由k值说出反比例函数图象的位置.（3）学生是否理解反比例函数的两个分支在相应的象限内，随x值的增大（或减小）y值得增减规律.（4）学生运用数学语言描述问题的能力 进一步巩固画函数图象的基本 ( http: / / www.21cnjy.com )步骤，增强学生动手操作能力.通过对每个函数图象的位置与k值的符号关系的探 ( http: / / www.21cnjy.com )讨，得出性质2.有利于学生加深对性质的理解和掌握，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识产生形成的过程.逐步达到培养学生抽象概括能力和激发学生的求知欲望.学生借助函数图象，利用分类讨论的思想，正确理解反比例函数的增减性.并且强调反比例函数的增减性是在同一象限内讨论，而且由系数k的符号决定．同时对学生进行辩证唯物主义思想教育
活动四（1）强化基础（2）拓展训练（3）实际应用 教师提出问题，学生思考回 ( http: / / www.21cnjy.com )答1.下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ）2.反比例函数y= -5/x的图象大致是（ ） 3.函数y=10/x的图象在第________象限,在每一象限内，y 随x 的增大而_________.4.函数y=π/x,当x>0时,图象在第____象限, y随x 的增大而_________.5.已知反比例函数y=(4-k)/x,若函数的图象位于第一、三象限，则k_____________;若在每一象限内，y随x增大而增大，则k_____________. 熟悉反比例函数的图象和性质，区别一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数与反比例函数以及二次函数的图象，进一步体会数形结合的思想，从数和形两方面加深对反比例函数性质的认识.通过变式练习，巩固所学知识，灵活运用反比例函数的图象和性质，提高解决问题的能力.
活动五归纳总结：本节课学习了哪些知识？你有什么收获？在知识应用过程中需要注意什么？ 教师提出问题.学生自己整理与回顾.师生共同概括总结. 使学生全面理解反比例函数的图象及其性质 ( http: / / www.21cnjy.com ).让学生体验到学习数学的快乐，养成好的学习习惯.学生课后独立完成，及时复习巩固所学知识，进行学习效果的自我评价.
板书设计：练习设计 图象展示课题及总结归纳图象性质 复习回顾及学生板演
教学反思：本节课首先由老师引导学 ( http: / / www.21cnjy.com )生回顾描点法画函数图象的方法，激活学生原有的知识，然后引导学生画反比例函数的图象，并让学生通过观察图象，探究分析，得出反比例函数的性质，让学生经历知识的产生和形成过程，避免学生的知识由老师灌输得到，充分调动学生自己动手，主动探索，在观察、感受、讨论、发现，探究总结、合作与交流中体会到了参与的乐趣，成功的喜悦和感知数学的奇妙.把新课程改革的精神落实到教育教学中的每一个细节.
B：
x
y
o
C：
x
y
o
A：
x
y
o
D：
x
y
o
