6.1平面向量的概念 课后提升训练 数学必修第二册(人教A版)

第六章　平面向量及其应用
　6.1平面向量的概念　
A级——基础过关练
1．下列说法中，正确的个数是(　　)
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A．1　　 B．2　　
C．3　　 D．4
2．(多选)下列说法中，正确的有(　　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
3．(2024年武汉月考)下列说法错误的是(　　)
A．＝
B．e1，e2是单位向量，则|e1|＝|e2|
C．若||＞||，则＞
D．任一非零向量都可以平行移动
4．如图(每个小方格都是边长为1的正方形)，若向量的起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有(　　)
A．12个 B．18个
C．24个 D．36个
5．设O是△ABC的外心，则，，是(　　)
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
6．设e是单位向量，＝e，＝－e，||＝1，则四边形ABCD是(　　)
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
7．如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是________，与共线的向量有________个．
8．若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是______________．
9．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________．
10．如图，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
(3)若||＝1.5，求||．
B级——综合运用练
11．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于(　　)
A．1 B．
C． D．2
12．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的有(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为的模的倍
D．与不共线
13．如图，O为正方形ABCD的两条对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
C级——创新拓展练
14．如图所示的方格纸中每个小方格的边长为1，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝．
(1)画出向量所有的可能情况；
(2)求||的最大值与最小值．
答案解析
A级——基础过关练
1、【答案】B
【解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；相等向量的方向相同，因此一定是平行向量，③正确；④显然正确．
2、【答案】ABC
【解析】很明显选项A，B，C正确．共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．
3、【答案】C
【解析】对于A，因为＝－，所以||＝||，故A正确；对于B，由单位向量的定义知|e1|＝|e2|，故B正确；对于C，两个向量不能比较大小，故C错误；对于D，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D正确．故选C．
4、【答案】C
【解析】小正方形对角线的长度均为，故所求向量有24个．
5、【答案】B
【解析】因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以，，是模相等的向量．
6、【答案】B
【解析】因为＝e，＝－e，所以＝－，则∥，又||＝||＝1，则四边形ABCD是平行四边形．因为||＝1，所以||＝||，所以四边形ABCD是菱形．
7、【答案】，　7
【解析】向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．与共线的向量有，，，，，，，共7个．
8、【答案】西北方向5 km
【解析】根据题意画出图形，由题可知||＝5 km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5 km．
9、【答案】
【解析】因为正方形的边长为2，所以对角线长为2．因为O为正方形中心，所以||＝．
10、解：(1)与相等的向量有，．
(2)与共线的向量有，，，，，，．
(3)若||＝1.5，
则||＝||＝||＋||＝2||＝3．
B级——综合运用练
11、【答案】A
【解析】如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°．又因为∠ACB＝90°，所以||＝||＝×2＝1．故选A．
12、【答案】ABC
【解析】由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确；而Rt△AOD中，∠ADO＝30°，所以||＝||，故||＝||，因此选项C正确；由于＝，因此与是共线的，故选项D错误．
13、解：(1)＝＝，＝＝．
(2)与共线的向量：，，，．
(3)因为||＝||＝||＝||＝|＝||＝||＝||，
所以与的模相等的向量为，，，，，和．
(4)向量与长度相等，但方向相反，因此向量与不相等．
C级——创新拓展练
14、解：(1)画出向量所有的可能情况，如图中，，，，，，，所示．
(2)由图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值，为＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值，为＝．
故||的最大值为，最小值为．