6.2.1向量的加法运算 课后提升训练 数学必修第二册(人教A版)

第六章　平面向量及其应用
6.2.1向量的加法运算
A级——基础过关练
1．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的有(　　)
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
2．在△ABC中，若＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　)
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
3．(多选)如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，则下列等式中正确的有(　　)
A．＋＝ B．＋＋＝0
C．＋＝ D．＋＝
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示(　　)
A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋) km
5．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．2
6．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的有(　　)
A．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
7．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝________．
8．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________．
9．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．
10．如图，D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)＋＝＋；
(2)＋＋＝0．
B级——综合运用练
11．(多选)若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论正确的有(　　)
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
12．若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则(　　)
A．2|a|＞|2a＋b| B．2|a|＜|2a＋b|
C． 2|b|＞|a＋2b| D． 2|b|≥|a＋2b|
13．雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度为2 m/s，现有东风且风速为2 m/s，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
C级——创新拓展练
14．(多选)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法错误的有(　　)
A．＋＝0 B．∥
C．＋＝＋ D．＝＋
答案解析
A级——基础过关练
1、【答案】ABD
【解析】在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝．
2、【答案】D
【解析】由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，即||＝||＝1，又因为||＝|a＋b|＝，所以||2＋||2＝||2，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D．
3、【答案】ABC
【解析】对于A选项，＋＝，正确；对于B选项，＋＋＝＋＝0，正确；对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知＋＝＝，正确；对于D选项，＋＝≠，所以D错误．故选ABC．
4、【答案】B
【解析】如图，易知tan α＝，所以α＝30°．故a＋b的方向是北偏东30°，且|a＋b|＝2 km．故选B．
5、【答案】B
【解析】由正六边形知＝，所以＋＋＝＋＋＝，所以|＋＋|＝||＝2．故选B．
6、【答案】ACD
【解析】a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向，所以A正确，B错误；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．
7、【答案】0
【解析】如图，连接AG并延长交BC于E点，E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，则＋＝，＋＝0，∴＋＋＝0．
8、【答案】
【解析】利用平行四边形法则求解．
9、【答案】1
【解析】在菱形ABCD中，连接BD(图略)，因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形．又因为||＝1，所以||＝1，所以|＋|＝||＝1．
10、证明：(1)由向量加法的三角形法则，
∵＋＝，＋＝，
∴＋＝＋．
(2)由向量加法的平行四边形法则，
∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0＋0＋0＝0．
B级——综合运用练
11、【答案】AC
【解析】∵a＝＋＋＋＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0＋b＝b，即B错，C对；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错．故选AC．
12、【答案】C
【解析】因为|a＋b|＝|b|，所以|a＋2b|＝|a＋b＋b|≤|a＋b|＋|b|＝2|b|．若a＋b与b共线，由|a＋2b|＝|b|，得a，b中有一个必为零向量，所以a＋b与b不共线，即|a＋2b|≠2|b|，所以2|b|＞|a＋2b|．同理知无法判断2|a|，|2a＋b|之间的大小关系．
13、解：如图，表示无风时雨滴的下落速度，表示东风的风速．
由向量加法的平行四边形法则，知有东风时雨滴的下落速度为＋＝．
又因为||＝2 m/s，||＝||＝2 m/s，
所以||＝＝4(m/s)，∠BCA＝60°．故雨滴沿向下偏西，与地面成60°角的方向，以4 m/s的速度着地．
C级——创新拓展练
14、【答案】ABC
【解析】对于A，由图可知CH与ID相交，所以与方向不相反，故A错误；对于B，与共线，与不共线，所以与不共线，故B错误；对于C，＋＝≠＋，故C错误；对于D，连接BF，JF，由五角星的性质可得ABFJ为平行四边形，根据平行四边形法则可得＝＋，故D正确．故选ABC．