6.2.3向量的数乘运算 课后提升训练 数学必修第二册(人教A版)

第六章　平面向量及其应用
6.2.3向量的数乘运算
A级——基础过关练
1．已知向量a，b，那么(2a－4b)＋2b等于(　　)
A．a－2b B．a－4b
C．a D．b
2．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论错误的有(　　)
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
3．(2024年南京期末)向量a与b不共线，＝a＋kb，＝la＋b(k，l∈R)，且与共线，则k，l应满足(　　)
A．k＋l＝0 B．k－l＝0
C．kl＋1＝0 D．kl－1＝0
4．(2024年湖北期末)已知a，b是平面内两个不共线向量，＝ma＋2b，＝3a－b，A，B，C三点共线，则m＝(　　)
A．－ B．
C．－6 D．6
5．(2024年北京潮阳区期中)在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．长方形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
6．(2024年泰安泰山区月考)在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，E为CD中点，点F满足＝2，则＝(　　 )
A．a－b B．a＋b
C．－a－b D．－a＋b
7．(2024年武汉期中)已知＝－，若记＝λ，则λ＝________．
8．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
9．已知点P在线段AB上，且||＝4||，设＝λ，则实数λ＝________．
10．化简：
(1)－2；
(2)4(a－b)－3(a＋b)－b．
B级——综合运用练
11．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于(　　)
A． B．－
C．－ D．
12．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则(　　)
A．＋＝3＋3 B．＋＝3－3
C．＋＝2＋4 D．＋＝2－4
13．设，不共线，且＝a＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？请说明理由．
C级——创新拓展练
14．(2024年安庆迎江区期中)设P为△ABC内一点．且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝(　　)
A． B．
C． D．
答案解析
A级——基础过关练
1、【答案】C
【解析】(2a－4b)＋2b＝a－2b＋2b＝a．故选C．
2、【答案】ABD
【解析】当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|＜1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同．|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误．故选ABD．
3、【答案】D
【解析】∵a，b不共线，∴la＋b≠0，且与共线，∴存在实数λ，使a＋kb＝λ(la＋b)，∴∴kl－1＝0．故选D．
4、【答案】C
【解析】∵A，B，C三点共线，∴与共线，∴存在λ，使＝λ，∴ma＋2b＝3λa－λb，且a，b不共线，∴解得m＝－6．故选C．
5、【答案】D
【解析】∵＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，∴＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2，∴AD∥BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形，故选D．
6、【答案】A
【解析】如图，连接DF，因为＝－＝－－＝－－＝－＝a－b．故选A．
7、【答案】
【解析】∵＝－，∴＝－(－)，∴＝－＝，∵＝λ，∴λ＝．
8、【答案】－4
【解析】因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb) k＝8λ，2＝λk k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0 k＜0)．
9、【答案】
【解析】因为||＝4||，则的长度是的长度的，二者的方向相同，所以＝．
10、解：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0．
(2)原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b．
B级——综合运用练
11、【答案】C
【解析】∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|，即R＝|λ|r，|λ|＝．又∵a与b反向，∴λ＝－．
12、【答案】D
【解析】如图，Rt△ABC中，其中∠B为直角，则垂心H与B重合．∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点．又∵M为BC的中点，∴＝2．∵M为BC的中点，∴＋＝2＝2(＋)＝2(2＋)＝4＋2＝2－4．故选D．
13、(1)证明：当a＝，b＝时，＝＋，所以(－)＝(－)，即2＝．
所以与共线．
又因为与有公共点C，所以A，B，C三点共线．
(2)解：a＋b为定值1．理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以∥．
不妨设＝λ(λ∈R)，所以－＝λ(－)，即＝(1－λ)＋λ．
又因为＝a＋b，且，不共线，则所以a＋b＝1(定值)．
C级——创新拓展练
14、【答案】A
【解析】2＋2＋＝0，∴2(＋)＝．设D为AB边的中点，则4＝．如图，D，P，C三点共线，||＝||，∴S△ABP∶S△ABC＝．故选A．