6.2.4向量的数量积 课后提升训练 数学必修第二册(人教A版)

第六章　平面向量及其应用
6.2.4向量的数量积
A级——基础过关练
1．(2024年常德模拟)平面向量a，b满足|b|＝a·b＝1，则a在b方向上的投影向量为(　　)
A．－b B．b
C．－b D．b
2．(2024年河北模拟)已知△ABC是边长为4的正三角形，则·＝(　　)
A．8 B．8
C．－8　 D．－8
3．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E满足＝＋，则·＝(　　)
A．　 B．
C．6　　 D．4＋2
4．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中错误的有(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
5．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·＝(　　)
A． B．6
C．12 D．18
6．已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝6且(2a－b)·(a＋2b)＝－4，则向量a，b的夹角θ为(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
7．(2024年保定二模)已知向量a，b的夹角的余弦值为，|a|＝1，且(2a－b)·b＝－14，则|b|＝________．
8．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
9．(2024年信阳期中)已知平面向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则向量a与b的夹角为________．
10．(2024年武威凉州区期中)已知|a|＝4，|b|＝3，在下列条件下求a·b：
(1)向量a与b平行时；
(2)向量a与b的夹角为60°；
(3)向量a与b垂直时．
B级——综合运用练
11．(多选)若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝(　　)
A． B．3
C．5 D．6
12．(多空题)已知向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为________；|2a－b|＝________．
13．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2．
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
C级——创新拓展练
14．如图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则·＝(　　)
A．24 B．26
C．28 D．32
答案解析
A级——基础过关练
1、【答案】D
【解析】依题意，a在b方向上的投影向量为b＝b．故选D．
2、【答案】C
【解析】由题意有，·＝4×4×cos 120°＝4×4×＝－8．故选C．
3、【答案】C
【解析】如图，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，＝＋，∴·＝·(＋)＝2＋2＋·＝×4＋×4＋2×2×＝6．故选C．
4、【答案】ACD
【解析】A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，故C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故D错．故只有选项B正确．故选ACD．
5、【答案】D
【解析】如图，过点O作OD⊥AB于点D，可知AD＝AB＝3，则·＝(＋)·＝·＋·＝3×6＋0＝18，故选D．
6、【答案】C
【解析】∵|a|＝4，|b|＝6，∴(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝32－72＋3a·b＝－4．∴a·b＝12．∴cos θ＝＝．又∵0≤θ≤π，∴θ＝．故选C．
7、【答案】4
【解析】因为向量a，b的夹角的余弦值为，|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|b|，因为(2a－b)·b＝－14，所以2a·b－b2＝－14，及|b|－|b|2＝－14，解得|b|＝4(舍负)．
8、【答案】
【解析】由a·b＝0，得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝．
9、【答案】
【解析】设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，平面向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a2＋2a·b＋b2＝1，即1＋2×1×1×cosθ＋1＝1，解得cos θ＝－，故θ＝．
10、解：(1)当向量a与b平行时，向量a与b的夹角为0°或180°，
当向量a与b的夹角为0°时，a·b＝|a||b|·cos0°＝3×4×1＝12；
当向量a与b的夹角为180°时，a·b＝|a|·|b|cos 180°＝3×4×(－1)＝－12．
综上，a·b＝±12．
(2)当向量a与b的夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos 60°＝3×4×＝6．
(3)当向量a与b垂直时，向量a与b的夹角为90°，所以a·b＝|a||b|cos 90°＝3×4×0＝0．
B级——综合运用练
11、【答案】AD
【解析】由平面向量a，b，c两两的夹角相等，得夹角为0°或120°，当夹角为0°时，|a＋b＋c|＝＝＝＝6，选项D正确；当夹角为120°时，|a＋b＋c|＝＝＝＝，选项A正确．故选AD．
12、【答案】　2
【解析】由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3．设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，所以|2a－b|＝2．
13、解：(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以·＝0，
由＝2，得＝，＝＝－．
所以·＝(＋)·(＋)
＝·
＝2－·－2
＝36－×81＝18．
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2
＝36－·－18
＝18－·．
又因为·＝6，
所以18－·＝6．
所以·＝36．设与的夹角为θ，
又因为·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，
所以54cos θ＝36，即cos θ＝．
所以与夹角的余弦值为．
C级——创新拓展练
14、【答案】B
【解析】如图所示，建立以a，b为一组基底的基向量，其中|a|＝|b|＝1且a，b的夹角为60°，∴＝2a＋4b，＝4a＋2b，∴·＝(2a＋4b)·(4a＋2b)＝8a2＋8b2＋20a·b＝8＋8＋20×1×1×＝26．故选B．