6.3.1平面向量基本定理 课后提升训练 数学必修第二册(人教A版)

第六章　平面向量及其应用
6.3.1平面向量基本定理
A级——基础过关练
1．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)
A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)
2．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
3．(2024年西华县月考)设{e1，e2}是平面内一个基底，则下面四组向量中，能作为基底的是(　　)
A．e1－e2与e2－e1 B．2e1＋3e2与－4e1－6e2
C．e1＋2e2与2e1－e2 D．－e1＋e2与e1－e2
4．(2024年乐山中区二模)在△ABC中，E为边AB的中点，＝，则＝(　　)
A．－＋　　 B．＋
C．＋　　 D．－
5．(2024年如皋市月考)如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且＝ ＋，则实数m的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
6．(2024年扬州模拟)在△ABC中，＝2，M为线段AD的中点，过点M的直线分别与线段AB，AC交于点P，Q，且＝，＝λ，则λ＝(　　)
A． B．
C． D．
7．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2．若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可以表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________．
8．在△ABC中，＝λ，且＝＋，则λ＝________．
9．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________．
10．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底，表示．
B级——综合运用练
11．(2024年佛山高明区月考)在正方形ABCD中，点E满足＝2，点F满足＝＋，若＝x＋y，则x－y＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
12．(2024年江西二模)在△ABC中，已知＝3，P为线段AD的中点，若＝λ＋μ，则＋＝________．
13．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AB的中点，＝3．令＝a，＝b．
(1)试用a，b表示；
(2)延长EF交AC于点P，设＝x，求x的值．
C级——创新拓展练
(2024年乐山市中区期中)若M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
答案解析
A级——基础过关练
1、【答案】A
【解析】＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
2、【答案】A
【解析】由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ．因为2＝x＋y，所以消去λ，得x＋y－2＝0．
3、【答案】C
【解析】由不共线的两个向量能作为基底，则有对于A，设e1－e2＝λ(e2－e1)，可得可得λ＝－1，所以向量e1－e2与e2－e1共线，所以A不符合题意；对于B，设2e1＋3e2＝μ(－4e1－6e2)，可得可得μ＝－，所以向量2e1＋3e2与－4e1－6e2共线，所以B不符合题意；对于C，设e1＋2e2＝x(2e1－e2)，可得此时方程组无解，所以向量e1＋2e2与2e1－e2不共线，可以作为一个平面基底，所以C符合题意．故选C．
4、【答案】D
【解析】如图，由E为边AB的中点，得＝＝－，结合＝＝(－)，得＝－＝－－(－)＝－．故选D．
5、【答案】D
【解析】＝ ＋＝＋(－)＝m＋，N为线段AC上靠近A的三等分点，所以＝m＋，因为点P在BN上，即P，B，N三点共线，所以m＋＝1，解得m＝．故选D．
6、【答案】B
【解析】因为△ABC中，＝2，M为线段AD的中点，＝，＝λ，所以＝＝(＋)＝＝＋(－)＝＋－＝＋，因为P，M，Q共线，所以＋＝1，则λ＝．故选B．
7、【答案】　－
【解析】由条件可知解得
8、【答案】3
【解析】∵＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋，∴＝＝－，∴3＝，即λ＝3．
9、【答案】2a－b
【解析】＝－，＝－，因为2＋＝0，所以2(－)＋(－)＝0，所以＝2－＝2a－b．
10、解：因为D是BC边的四等分点，
所以＝＝(－)．
所以＝＋＝＋(－)＝＋．
B级——综合运用练
11、【答案】D
【解析】正方形ABCD中，点E满足＝2，点F满足＝＋，则＝，F是AC的中点，则＝－＝－( ＋)＝ －－＝ －－( －)＝－ －，所以x＝－，y＝－，则x－y＝－．故选D．
12、【答案】10
【解析】如图，在△ABC中，已知＝3，则＝，由于P为线段AD的中点，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，故λ＝，μ＝，则有＋＝2＋8＝10．
13、解：(1)∵＝＝(＋)，＝，
∴＝－＝－＋＝－a＋b．
(2)＝(＋)＝＋，
∵E，F，P三点共线，∴＋＝1，
∴x＝．
C级——创新拓展练
14、【答案】1∶4
【解析】如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，令＝λ ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4．