6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课后提升训练 数学必修第二册(人教A版)

第六章　平面向量及其应用
　6.3.5平面向量数量积的坐标表示
A级——基础过关练
1．已知平面向量a＝(2,1)，b＝(2,4)，则向量a，b夹角的余弦值为(　　)
A．　　 B．
C．－　　 D．－
2．已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|等于(　　)
A．　　　 B．2
C．3　　　 D．4
3．(2024年北京西城区期中)已知向量a，b满足a＝(0,1)，|b|＝1，|a－b|＝，则〈a，b〉＝(　　)
A． B．
C． D．
4．(2024年衡水期末)已知向量a，b满足2a＋b＝(2，－3)，2a－b＝(1，－2)，则|a|2－|b|2＝(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．－2
5．已知O为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是(　　)
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
6．(多选)(2024年安徽三模)已知向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，则(　　)
A．b＝(－2,1) B．a∥b
C．a⊥b D．a－b在a上的投影向量为a
7．(2024年重庆九龙坡区模拟)已知a＝(3，－4)，b＝(2,4)，则b在a上的投影向量的坐标为________．
8．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝________．
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．
10．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
B级——综合运用练
11．(2024年北京海淀区期中)已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(cos θ，)，其中θ∈R，则|a－b|的最大值是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
12．(多空题)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，)．若|b|＝2，且b∥a，则向量b的坐标为__________；若|c|＝，且(a＋c)⊥(2a－3c)，则a·c＝________．
13．(2024年上海浦东新区期中)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(3，－2)，c＝a＋3b，d＝ka＋b．
(1)若c∥d，求k的值；
(2)若c与d的夹角为锐角，求k的取值范围．
C级——创新拓展练
14．已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
答案解析
A级——基础过关练
1、【答案】B
【解析】∵a＝(2,1)，b＝(2,4)，∴cos〈a，b〉＝＝＝．故选B．
2、【答案】D
【解析】已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则＝，解得m＝－4．∴2a＋3b＝(－4,4＋3m)＝(－4，－8)，|2a＋3b|＝＝4．故选D．
3、【答案】D
【解析】因为a＝(0,1)，所以|a|＝1，因为|a－b|＝，|b|＝1，所以(a－b)2＝3，即a2＋b2－2a·b＝3，即1＋1－2a·b＝3，解得a·b＝－，所以cos〈a，b〉＝＝－，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝．故选D．
4、【答案】A
【解析】由题意知，向量a，b满足2a＋b＝(2，－3)，2a－b＝(1，－2)，故(2a＋b)·(2a－b)＝(2，－3)·(1，－2)＝8，则|a|2－|b|2＝(4|a|2－|b|2)＝[(2a＋b)·(2a－b)]＝2．故选A．
5、【答案】C
【解析】设点P的坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3,0)．
6、【答案】ACD
【解析】因为向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，所以b＝a－(3,1)＝(－2,1)，选项A正确；由于1×1≠2×(－2)，所以a与b不平行，选项B错误；因为a·b＝1×(－2)＋2×1＝0，所以a⊥b，选项C正确；a－b在a上的投影向量为a＝a＝a，选项D正确．故选ACD．
7、【答案】
【解析】∵a＝(3，－4)，b＝(2,4)，∴a·b＝6－16＝－10，a2＝25，∴b在a上的投影向量的坐标为·＝(3，－4)＝．
8、【答案】－1或2
【解析】已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0．根据向量数量积的坐标运算公式得到x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2．
9、【答案】19
【解析】ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．因为ka＋b与a－3b垂直，所以(ka＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，解得k＝19．
10、解：∵＝(2,3)，＝(1，k)，∴＝－＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，解得k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，解得k＝；若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，解得k＝．综上所述，k的值为－或或．
B级——综合运用练
11、【答案】B
【解析】向量a＝(1，sin θ)，b＝(cos θ，)，其中θ∈R，a－b＝(1－cos θ，sin θ－)，∴|a－b|＝＝
＝
，则当sin＝－1时，|a－b|取最大值是3．故选B．
12、【答案】(1，)或(－1，－)　2
【解析】令b＝λa＝(λ，λ)．因为|b|＝2，所以＝2，解得λ＝±1．所以b＝(1，)或(－1，－)．因为(a＋c)⊥(2a－3c)，所以(a＋c)·(2a－3c)＝0，即2|a|2－a·c－3|c|2＝0．所以a·c＝2|a|2－3|c|2＝2×4－3×2＝2．
13、解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(3，－2)，c＝a＋3b，d＝ka＋b，
所以c＝(10，－4)，d＝(k＋3,2k－2)．
又因为c∥d，所以＝，解得k＝．
(2)因为c＝(10，－4)，d＝(k＋3,2k－2)，
所以c·d＝10(k＋3)－4(2k－2)＝2k＋38．
因为c与d的夹角为锐角，所以c·d＞0，且夹角不为0．
当c·d＞0时，2k＋38＞0，解得k＞－19；
当c与d的夹角为0时，解得k＝，
故c与d的夹角不为0时，k≠．
综上可得，k的取值范围是∪．
C级——创新拓展练
14、(1)证明：因为A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，＝(1,1)，＝(－3,3)，
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0．
所以⊥，即AB⊥AD．
(2)解：因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以＝，
设点C的坐标为(x，y)，则由＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
得解得
所以点C的坐标为(0,5)，
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，
且||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16．
设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为．