6.4.1平面几何中的向量方法 课后提升训练 数学必修第二册(人教A版)

第六章　平面向量及其应用
　6.4.1平面几何中的向量方法
A级——基础过关练
1．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|＞|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为(　　)
A．v1－v2　　 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．
2．(2024年佛山南海区月考)如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ，已知礼物的质量为m kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为(重力加速度g)(　　)
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　)
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
4．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
5．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的有(　　)
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少
C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样
D．船垂直到达对岸时航行的距离最短
6．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝(　　)
A．1　　 B．2　　
C．3　　 D．4
7．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小为________N．
8．在平面直角坐标系Oxy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则y与x的函数关系式为________．
9．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
10．如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°≈0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍．
(1)求斜面对物体m的支持力所做的功；
(2)重力对物体m所做的功．(g＝9.8 m/s2)
B级——综合运用练
11．(2024年连云港赣榆区期中)如图，为测量旗杆的高AB，在水平线AC上选取相距10 m的两点D，E，用两个垂直于水平面且高度均为2 m的测量标杆观测旗杆的顶点B，记D，E处测量标杆的上端点分别为F，G，直线BF，BG与水平线AC分别交于点H，C，且测得DH，EC的长分别为3 m，5 m，则旗杆的高AB为(　　)
A．12 m B．13 m
C．14 m D．15 m
12．如图，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40 m的位移，F的大小为50 N，且与小车的位移方向的夹角为60°，e是与小车位移方向相同的单位向量，则F在小车位移上的投影向量为________，力F做的功为________．
13．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE．
C级——创新拓展练
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，＝m，＝n，其中m，
n∈(0,1)，设DE中点为M，AB中点为N．
(1)若m＝n，求证：C，M，N三点共线；
(2)若m＋n＝1，求||的最小值．
答案解析
A级——基础过关练
1、【答案】C
【解析】题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数．故逆风行驶的速度的大小为|v1|－|v2|．
2、【答案】C
【解析】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小|F|，根据题意，可得8|F|cos θ＝mg，解得|F|＝．故选C．
3、【答案】C
【解析】由条件知2＝2，即||＝||，即△ABC为等腰三角形．
4、【答案】D
【解析】由题意作出示意图(如图)，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，所以θ＝120°．
5、【答案】BD
【解析】根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．
6、【答案】
A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设AD＝t(t＞0)，则A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)，则＝(1，t)，＝(－1，t)．由AC⊥BC知·＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1．
7、【答案】10
【解析】如图，由题意得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N．
8、【答案】y＝－x＋2
【解析】·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，∴x＋2y－4＝0，则y＝－x＋2．
9、【答案】30
【解析】＝－＝(3,6)＝，又因为·＝(4，－2)·(3,6)＝0，所以四边形ABCD为矩形．又因为||＝＝2，||＝＝3，所以S＝||×||＝2×3＝30．
10、解：(1)物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)．
(2)重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|·cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
B级——综合运用练
11、【答案】A
【解析】由题可得tan∠BHA＝＝＝，所以AH＝AB，tan∠ACB＝＝＝，所以AC＝AB，又因为AC＝AH＋HE＋EC，所以AB＝AB＋(10－3)＋5，解得AB＝12(m)．故选A．
12、【答案】25e　1 000 J
【解析】∵|F|＝50，且F与小车的位移方向的夹角为60°，∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cos 60° e＝25e．∵力F作用于小车G，使小车G发生了40 m的位移，∴力F做的功W＝25×40＝1 000(J)．
13、证明：(方法一)记＝a，＝b，
则＝b－a，且a·b＝0，|a|＝|b|．
因为＝－＝b－a，
＝－＝(b－a)＋a＝b＋a，
所以·＝·＝b2－a2＝0．所以AD⊥CE．
(方法二)建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2，
则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)．
因为D是CB的中点，则D(0,1)，
所以＝(－2,1)，＝(－2,2)．
又因为＝＋＝＋＝(2,0)＋(－2,2)＝，
所以·＝(－2,1)·＝(－2)×＋＝0，因此AD⊥CE．
C级——创新拓展练
14、(1)证明：当m＝n时，
＝(＋)＝(m＋m)＝(＋)，＝(＋)，
故＝m，故C，M，N三点共线，即得证．
(2)当m＋n＝1时，＝(＋)＝(m＋n)，＝(＋)，
故＝－＝(＋)－(m＋n)＝(n＋m)，
故||2＝|n＋m|2＝(9n2＋16m2＋2mn·)＝(9n2＋16m2)＝[9(1－m)2＋16m2]＝(25m2－18m＋9)，
故当m＝＝时，||2取得最小值＝，
即||的最小值为．