6.4.3余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 课后提升训练 数学必修第二册(人教A版)

第六章　平面向量及其应用
6.4.3余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理
A级——基础过关练
1．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，cos A＝，则BC＝(　　)
A．1 B．
C． D．
2．(2024年揭阳揭东区期中)在△ABC中，如果(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，那么A等于(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
3．(2024年兴化市期中)在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶3∶4，则cos C＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＞0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A．　　　 B．8－4
C．1　　 D．
6．在锐角三角形ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)
A．1＜a＜3　　　 B．1＜a＜5
C．＜a＜　　 D．不确定
7．(2024年东莞期中)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝________．
8．(2024年揭阳期中)在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大内角为120°，则该三角形的周长为________；最小角的余弦值为________．
9．在△ABC中，边a，b，c满足a＋b＝6，∠C＝120°，则边c的最小值为________．
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝＝，试判断△ABC的形状．
B级——综合运用练
11．(多选)(2024年漳浦一中期末)在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值可以为(　　)
A． B．
C． D．
12．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________．
13．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
(1)求证：acos B＋bcos A＝c；
(2)在①＝，②ccos A＝2b·cos A－acos C，③2a－＝，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答，若a＝7，b＝5，________，求△ABC的周长．
C级——创新拓展练
14．(2024年南昌期中)在公元前500年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆(整)数与(整)数之比”，但后来的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机．如图是公元前400年古希腊数学家泰特拖斯用来构造无理数，，，…的图形，此图形中∠BAD的余弦值是(　　)
A． B．
C． D．
答案解析
A级——基础过关练
1、【答案】B
【解析】在△ABC中，AB＝3，AC＝1，cos A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a2＝12＋32－2×1×3×＝5，故BC＝a＝．故选B．
2、【答案】C
【解析】根据题意，∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝．又∵0°＜A＜180°，∴A＝60°．故选C．
3、【答案】A
【解析】因为a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，由余弦定理得cos C＝＝＝－．故选A．
4、【答案】C
【解析】由＞0，得－cos C＞0，所以cos C＜0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
5、【答案】A
【解析】由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4．由余弦定理，a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝．
6、【答案】C
【解析】若a为最大边，则b2＋c2－a2＞0，即a2＜5，∴a＜．若c为最大边，则a2＋b2＞c2，即a2＞3，∴a＞．故＜a＜．
7、【答案】1
【解析】因为C＝60°，a＝4b，c＝，由余弦定理可得cos C＝＝＝＝，解得b＝1或b＝－1(舍去)．
8、【答案】30　
【解析】由a－b＝4，a＋c＝2b，得b＝a－4，c＝a－8，所以a＞b，a＞c，即a是最长边，所以角A最大．由余弦定理的推论，得cos 120°＝，解得a＝14(a＝4舍去)，所以b＝10，c＝6，故△ABC的周长为30．最小内角为C，cos C＝＝＝．
9、【答案】3
【解析】a＋b＝6，∠C＝120°，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b时取等号．由余弦定理可得，c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝36－ab≥36－9＝27，∴c≥3，则边c的最小值为3．
10、解：由余弦定理，得＝＝，
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2，得a2＝b2＝c2，即a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
B级——综合运用练
11、【答案】AD
【解析】cos B＝＝＝，又cos B≠0，故sin B＝．又0＜B＜π，则B为或．
12、【答案】4
【解析】5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，∴x1＝，x2＝－2(舍去)，∴cos C＝．根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16，∴c＝4，即第三边长为4．
13、(1)证明：根据余弦定理acos B＋bcos A＝a·＋b·＝＝c，
所以acos B＋bcos A＝c．
(2)解：选①．因为＝，
所以2ccos A＝bcos A＋acos B．
所以由(1)中所证结论可知2ccos A＝c，即cos A＝．
因为A∈(0，π)，所以A＝．
选②．因为ccos A＝2bcos A－acos C，
所以2bcos A＝acos C＋ccos A．
由(1)中的证明过程同理可得acos C＋ccos A＝b，
所以2bcos A＝b，即cos A＝．
因为A∈(0，π)，所以A＝．
选③．因为2a－b·＝c·，
所以2acos A＝bcos C＋ccos B．
由(1)中的证明过程同理可得bcos C＋ccos B＝a，
所以2acos A＝a，即cos A＝．
因为A∈(0，π)，所以A＝．
选①或选②或选③中的任一条件，都可得A＝．
在△ABC中，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋c2－10c·＝49，即c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍去)，
所以a＋b＋c＝7＋5＋8＝20，即△ABC的周长为20．
C级——创新拓展练
14、【答案】D
【解析】由题意可知△BCD中，∠DCB＝90°＋45°＝135°，由余弦定理可得BD2＝CD2＋BC2－2CD·CB·cos∠DCB＝1＋1－2×1×1×＝2＋，在△BAD中，由余弦定理可得cos∠BAD＝＝＝．故选D．