6.4.3余弦定理、正弦定理 第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 课后提升训练 数学必修第二册(人教A版)

第六章　平面向量及其应用
6.4.3余弦定理、正弦定理
第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例
A级——基础过关练
1．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于20 km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．20 km B．20 km
C．20km D．15 km
2．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)
A．3 m B．4 m
C．8 m D．12 m
3．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是(　　)
A．5海里/时 B．5海里/时
C．10海里/时 D．10海里/时
4．(2024年德州期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，A＝，sin C＝2sin B，则△ABC的面积是(　　)
A． B．
C． D．
5．(2024年重庆九龙坡区月考)为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组．今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度AB，如图所示，可以选取与该塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得“使命塔”塔顶A的仰角为60°，则“使命塔”高AB＝(　　)
A．30 m B．20 m
C．20 m D．20 m
6．(2024年韶关期末)为运输方便，某工程队将从A到D修建一条湖底隧道，如图，工程队从A出发向正东行10 km到达B，然后从B向南偏西45°方向行了一段距离到达C，再从C向北偏西75°方向行了4 km到达D，已知C在A南偏东15°方向上，则A到D的距离为(　　)
A．15 km B．2 km
C．10 km D．15 km
7．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．
8．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40海里/时，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距________海里．
9．在△ABC中，∠A＝120°，a＝，b－c＝1，则△ABC的面积为__________．
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos B＝，b＝2．
(1)当A＝时，求a的值；
(2)若△ABC的面积为3，求a＋c的值．
B级——综合运用练
11．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为(　　)
A．米/秒 B．米/秒
C．米/秒 D．米/秒
12．(多空题)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B．灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，此时乙船与灯塔A之间的距离为________海里，两艘轮船之间的距离为________海里．
13．(2024年深圳龙华区月考)如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m，于是选择沿A→B→C路线清扫．已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10 s完成了清扫任务．
(1)求B，C两处垃圾之间的距离；(精确到0.1 m)
(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值．
C级——创新拓展练
14．(2024年镇江期末)在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
①2a－b＝2ccosB；
②2csinA＝atanC；
③△ABC的面积为c(asinA＋bsinB－csinC)(如多选，则按选择的第一个记分)
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_________．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC面积的最大值；
(3)在(2)的条件下，若△ABC为锐角三角形，求2a－b的取值范围．
答案解析
A级——基础过关练
1、【答案】C
【解析】由题意得，AC＝BC＝20，∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝400＋400－2×20×20×＝1 200，∴AB＝20，即灯塔A与灯塔B的距离为20 km．故选C．
2、【答案】B
【解析】由题意知∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝120°．由正弦定理，得＝，即AB＝＝＝4(m)．
3、【答案】D
【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D．
4、【答案】B
【解析】因为sin C＝2sin B，由正弦定理可得c＝2b，又因为a＝3，A＝，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即9＝b2＋4b2－2b·2bcos ，整理可得5b2－2b2＝9，可得b＝，c＝2，所以S△ABC＝bcsin A＝××2×＝．故选B．
5、【答案】B
【解析】在△BCD中，∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，可得∠CBD＝30°，由正弦定理，得＝，则＝，可得BC＝40×＝20，在Rt△ABC中，AB＝tan∠ACB·BC＝tan 60°×20＝20，故选B．
6、【答案】B
【解析】如图，在△ABC，△ACD中，AB＝10，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∠ACD＝75°－15°＝60°，在△ABC中，∠ACB＝60°，由正弦定理得＝，解得AC＝＝10，又CD＝4，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝(10)2＋(4)2－2×10×4×cos 60°＝152，解得AD＝2，所以A地与D地之间的距离为2 km．故选B．
7、【答案】
【解析】如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．在△ABC中，＝，∴AC＝＝＝(千米)．
8、【答案】20
【解析】由题意∠BCA＝30°，∠ABC＝180°－45°＝135°，AC＝40×1＝40，由正弦定理，得＝，即＝，解得AB＝20海里．
9、【答案】
【解析】在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cos A，则19＝b2＋c2＋bc，即19＝(b－c)2＋3bc，而b－c＝1，解得bc＝6．所以△ABC的面积为S＝bc·sin 120°＝×6×＝．
10、解：(1)因为cos B＝＞0，
所以B∈．
所以sin B＝．
由正弦定理＝，得＝，
解得a＝．
(2)由△ABC的面积S＝acsin B，得ac×＝3，得ac＝10．由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40．所以a＋c＝2．
B级——综合运用练
11、【答案】B
【解析】如图，依题意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°．由正弦定理知＝，∴AC＝×sin 45°＝20(米)，∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×＝10(米)．∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为＝(米/秒)．故选B．
12、【答案】5　
【解析】连接AC(图略)，由题意可知AB＝BC＝5，∠ABC＝60°，可得AC＝5，∠BAC＝60°．在△ACD中，∠CAD＝45°，根据余弦定理可得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos∠CAD＝25＋18－2×5×3×＝13．故乙船与灯塔A之间的距离为5海里，两艘轮船之间的距离为海里．
13、解：(1)由题意得AB＋BC＝0.2×10＝2，
设BC＝x,0＜x＜2，则AB＝2－x，AC＝2－x＋0.4＝2.4－x，
由题意得A＝90°＋30°＝120°，
在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝－，
解得x＝1.4或5.2(舍去)，所以BC＝1.4 m．
(2)由(1)知AB＝2－1.4＝0.6 m，AC＝2.4－1.4＝1 m，BC＝1.4 m，
所以cosB＝＝＝．
C级——创新拓展练
14、解：(1)若选①：由正弦定理，得2sin A－sin B＝2sin C·cos B，
则2sin(B＋C)－sin B＝2sin Ccos B，
∴2sin Bcos C＋2cos Bsin C－sin B＝2sin Ccos B，
∴2sin Bcos C－sin B＝0．
∵B∈(0，π)，sin B≠0，∴cos C＝．
∵C∈(0，π)，∴C＝．
选②：2csin A＝atan C，则2csin A＝atan C＝a·，
由正弦定理得2sin C·sin A＝sin A·，
∵sin A≠0，sin C≠0，
∴2cos C＝1，cos C＝．
∵C∈(0，π)，∴C＝．
若选③：△ABC的面积为c(asin A＋bsin B－csin C)，
则absin C＝c(asin A＋bsin B－csin C)，由正弦定理得abc＝c(a2＋b2－c2)，
∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝．
∵C∈(0，π)，∴C＝．
(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
则4＝a2＋b2－ab≥ab，当且仅当a＝b＝2时取等号，即(ab)max＝4，S＝absin C＝ab，
则Smax＝，当且仅当a＝b＝2时取得最大值．
(3)由正弦定理得＝＝＝，
即a＝sin A，b＝sin B，
则2a－b＝sin A－sin B＝sin A－·sin＝2sin A－2cosA＝4sin，
由于△ABC为锐角三角形，
则故＜A＜，即A∈，A－∈，
sin∈，
∴2a－b∈(0,2)．