6.4.3余弦定理、正弦定理 第2课时　正弦定理 课后提升训练 数学必修第二册(人教A版)

第六章　平面向量及其应用
6.4.3余弦定理、正弦定理 第2课时　正弦定理
A级——基础过关练
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
2．(2024年北京东城区模拟)在△ABC中，A＝，C＝，b＝，则a＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
3．(2024年郑州期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，a＝2，B＝30°，则C＝(　　)
A．30° B．45°或135°
C．60° D．15°或105°
4．(2024年菏泽期中)在△ABC中，已知a＝2，b＝2，B＝30°，则满足条件的三角形个数为(　　)
A．2 B．1
C．0 D．无法确定
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝，bcos A＝sin B，则A＝(　　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．
6．(多选)(2024年青海期中)在△ABC中，AC＝10，A＝，BC＝a(a∈Z)，若满足条件的三角形有两个，则a的取值可能为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________．
8．(2024年扬州模拟)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则sin C＝________．
9．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是________．
10．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R．
B级——综合运用练
11．(2024年辽宁期中)在△ABC中，cos B＝，AC＝2，AB＝m，则“△ABC恰有一解”是“0＜m≤2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．(2024年莆田城厢区期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos B＋bcos C＝a2，若B＋C＝2A，则△ABC外接圆半径为________．
13．(2024年唐山期中)在①csin C－asin A＝(b－a)sin B；②b(1＋cos C)＝csin B这两个条件中任选一个填入下面横线上并解答．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若________，a＝4．
(1)求角C；
(2)若该三角形外接圆的圆心为O，cos∠COB＝，求c．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
C级——创新拓展练
(2024年泸县期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝2，B＝，则△ABC周长的取值范围是_______．
答案解析
A级——基础过关练
1、【答案】C
【解析】∵sin B＝＝＝，B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°．但当B＝135°时，不符合题意，∴B＝45°．故选C．
2、【答案】D
【解析】根据题意，可得B＝π－A－C＝，由正弦定理，得＝，可得a＝＝＝2．故选D．
3、【答案】D
【解析】b＝，a＝2，B＝30°，则sin A＝＝，A∈(0°，180°)，则A＝45°或135°，故C＝π－A－B＝15°或105°．故选D．
4、【答案】A
【解析】因为a＝2，b＝2，B＝30°，由正弦定理可得＝，即＝ sin A＝，所以A＝或，又因为a＞b，所以A＞B，符合大边对大角原理，所以满足条件的三角形个数为2个．故选A．
5、【答案】D
【解析】∵a＝，bcos A＝sin B，∴bcos A＝asin B．∴由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A．∵B是三角形的内角，sin B≠0，∴tan A＝．由A是三角形的内角，可得A＝．故选D．
6、【答案】BC
【解析】因为AC＝10，A＝，BC＝a(a∈Z)，又因为满足条件的三角形有两个，所以ACsin A＜a＜AC，即10sin ＜a＜10，可得5＜a＜10，因为a∈Z，所以a的取值可能为8,9．故选BC．
7、【答案】
【解析】由正弦定理，得sin Bsin A＋sin Acos B＝0．∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴sin A≠0，得sin B＋cos B＝0，即tan B＝－1，∴B＝．
8、【答案】
【解析】△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则由正弦定理有a∶b∶c＝2∶3∶4，不妨设a＝2k，b＝3k，c＝4k(k＞0)，则有cos C＝＝＝－，由C∈(0，π)，得sin C＝＝＝．
9、【答案】直角三角形
【解析】由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝，所以2－2＝2，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2．所以△ABC是直角三角形．
10、解：∵A＋B＋C＝180°，
∴A＝180°－75°－60°＝45°．
由正弦定理，得＝＝2R，
∴c＝＝＝5，
∴2R＝＝＝10，∴R＝5．
B级——综合运用练
11、【答案】B
【解析】在△ABC中，cos B＝，AC＝2，AB＝m，可得sin B＝＝，则“△ABC恰有一解”的充要条件为“AC＝msin B或AC≥AB＞0”，即2＝m·或0＜m≤2，可得m的范围为m＝6或0＜m≤2．因为“0＜m≤2”是“m＝6或0＜m≤2”的真子集，即“△ABC恰有一解”是“0＜m≤2”的必要不充分条件．故选B．
12、【答案】
【解析】由ccos B＋bcos C＝a2及正弦定理，得sin Ccos B＋sin Bcos C＝asin A，即sin(B＋C)＝asin A，即sin A＝asin A，由A∈(0，π)，则sin A＞0，所以a＝1．因为B＋C＝2A，所以π－A＝2A，所以A＝，所以由正弦定理，得△ABC的外接圆半径为＝＝．
13、解：(1)选条件①时，由于csin C－asin A＝(b－a)sin B，
利用正弦定理c2－a2＝b2－ab，
整理得a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝，
由于0＜C＜π，故C＝．
选条件②时，由于b(1＋cos C)＝csin B，
整理得sin B＋sin Bcos C＝sin Csin B，
由于0＜B＜π，
故sin C－cos C＝1，整理得
2sin＝1，
由于0＜C＜π，故C＝．
(2)若该三角形外接圆的圆心为O，
cos∠COB＝，
故cos∠COB＝cos 2A＝，
所以sin A＝＝，
利用正弦定理＝，整理得c＝．
C级——创新拓展练
14、【答案】(3＋，6＋2)
【解析】在锐角三角形ABC中，因为c＝2，B＝，可得可得＜C＜，由正弦定理可得＝＝，即a＝·sinA＝·sin＝·＝1＋，b＝·sin B＝·＝，所以三角形的周长c＋a＋b＝2＋1＋＋＝3＋＝3＋＝3＋．因为＜＜，所以tan ＜tan ＜tan ＝1，而tan ＝tan＝＝＝2－，所以＜＜(2＋)，所以周长的范围是(3＋，6＋2)．