【培优练】人教版初中数学2024-2025学年八年级下学期 16.3二次根式的加减法
一、选择题
1．（2024八下·翁源期中）下列说法正确是（ ）．
A．化简的结果是
B．要使在实数范围内有意义，则
C．与是同类二次根式
D．是最简二次根式
2．（2019八下·端州期中）下列二次根式，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·澄海期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024八下·翁源期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．24 B． C．25 D．
5．（2023八下·韶关期末）计算的结果是（ ）
A． B． C．-1 D．1
6．（2024八下·廉江月考）估计的值在（ ）
A．7到8之间 B．8到9之间 C．9到10之间 D．10到11之间
7．（2016八下·嘉祥期中）已知直角三角形的周长为4+，斜边为4，则该三角形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2024八下·廉江月考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为．已知的三边长a、b、c分别为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·翁源期中）如图，图中有两个相邻的白色正方形，其面积分别为8和18，则图中阴影部分面积为（ ）
A．24 B．50 C． D．26
二、填空题
10．（2024八下·湛江期中）计算： ．
11．计算：（﹣）÷+2= ．（结果保留根号）
12．（2024八下·徐闻月考）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ．
13．已知三角形的三边长分别为cm，cm，cm，则这个三角形的周长为 cm．
14．已知，，则代数式x2﹣3xy+y2的值为 ．
三、计算题
15．（2024八下·澄海期末）计算：．
16．（2024八下·斗门期中） 计算：
（1）
（2）
17．（2024八下·江门月考）（1）计算：．
（2）求值：已知，，求的值．
18．（2024八下·江海期中） 已知．求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
19．（2024八下·潮南期末）已知.
（1）求的值；
（2）化简并求值：.
20．（2024八下·麒麟月考）先化简，再求值：，．
21．（2024八下·深圳期末） 先化简， 再求值： ， 其中．
四、解答题
22．（2024八下·广州开学考）若最简二次根式和是同类二次根式，求、平方和的算术平方根．
23．（2024八下·中山期中）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
24．（2024八下·汕头期中）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：；
（1）请用以上两种方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：A、算术平方根不可能为负数，故选项A错误；
B、只需要保证根号下的数非负即可，因此x≥1，故选项B错误；
C、=，与是同类二次根式，故选项C错误；
D、根号下是分数，不符合最简二次根式的要求，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】掌握算术平方根的双重非负性可判断A、B错误；判断是否同类二次根式，在于最简二次根式中，根号下的数是否相同，据此判断C；最简二次根式要求根号下不含分母，据此判断D.
2．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】 ，
A、 ，能合并，故本选项不符合题意；
B、 ，不能合并，故本选项符合题意；
C、 ，能合并，故本选项不符合题意；
D、- ，能合并，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】将每个二次根式分别化为最简二次根式，被开方数相同即可合并，据此判断即可.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查平方差公式及二次根式的计算，根据平方差公式及二项式的计算进行求解即可.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：将代入计算，第一次：，
进行第二次计算，
第二次：，
∴输出结果，
故答案为：B．
【分析】将代入计算，再判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：C.
【分析】先根据积的乘方运算法则（ab）n=an×bn的逆用将式子变形，再利用平方差公式及二次根式的性质计算底数，进而根据有理数的乘方运算法则算出答案.
6．【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】先将原式进行计算，然后估算结果在哪两个连续整数之间．
7．【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，
可得： ，
可得：ab=5，
所以三角形的面积是，
故选C．
【分析】根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长以及长的乘积，由此可求出这个三角形的面积．
8．【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵的三边长分别为，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据题中所给的三角形的面积公式，代入数据可求得结果，最后化简二次根式．
9．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：根据题意，小白色正方形的边长为；大白色正方形的边长为；继而得到黑色正方形的边长为，
得到最大正方形的面积，
故阴影面积为，
故答案为：A．
【分析】根据题意，小白色正方形的边长为；大白色正方形的边长为；继而得到黑色正方形的边长为，得到最大正方形的面积，即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】直接合并同类二次根式即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=﹣+
=﹣+
=．
故答案为．
【分析】先根据二次根式的除法运算，然后化简后合并即可．
12．【答案】7
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵与可以合并，
∴，2a+5=3a-2，
解得：a=7，
故答案为：7.
【分析】利用二次根式及合并同类项法则求解即可.
13．【答案】12
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：这个三角形的周长为：++=3+4+5=12cm．
故答案为：12．
【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式即可．
14．【答案】95
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：代入x，y的值得
x2﹣3xy+y2=（）2﹣3×+（）2，
=+﹣3，
=50+48﹣3，
=95．
故填95．
【分析】把x，y值代入，先相加减再把分母为无理数的分母有理化．
15．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键，属于基础题型.先将二次根式化为最简二次根式，然后在合并同类二次根式即可求解.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据平方差公式和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的除法法则运算，则分母有理化，然后合并即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式混合运算的运算顺序，计算求解即可；
（2）根据二次根式的加减运算法则，计算求解即可．
18．【答案】（1）解：∵，
∴
，
（2）解：∵，
∴
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】(1)先利用完全平方公式表示为，再带值计算即可.
(2)先通分，再因式分解，带值计算即可.
19．【答案】（1）解：，
，.
（2）解：，
，.
原式.
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）利用分母有理化化简a，再求出a-2的值，将原式化为（a-2）2，然后代入计算即可.
（2）利用分式的约分及二次根式的性质将原式化简，然后将a值代入计算即可.
20．【答案】解：原式
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】先进行通分计算括号，再因式分解的同时将除法转化为乘法，化到最简，最后将x的值代入计算并分母有理化即可求解.
21．【答案】解：
，
将代入得：
原式
．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将被除式的分子、分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算乘法约分化简，最后代入x的值，分子、分母分别合并后，再进行分母有理化即可.
22．【答案】解：最简二次根式和是同类二次根式，
，，
即
解得，
、的平方和为，
、平方和的算术平方根为．
【知识点】同类二次根式；代入消元法解二元一次方程组；求算术平方根
【解析】【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，则这几个二次根式就是同类二次根式，据此列列出方程组，求解得出x、y的值，进而再求出x、y的平方和，最后根据算术平方根的定义求出结果.
23．【答案】（1）4；
（2）解：∵，
∴，即，
∴的整数部分是5，小数部分，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的整数部分，
∴．
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴的整数部分为4，小数部分为，
故答案为：4，；
【分析】（1）先根据无理数的大小估值得到：进而即可求解；
（2）根据无理数的大小估值及不等式性质计算得到：，，进而将其代入计算即可.
24．【答案】（1）解：方法一：
方法二：
（2）解：由题意可得：
=
=
（3）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）模仿题干给出的两种方法化简即可；
（2）将每一个加数利用分母有理化的方法分别化简，再根据同分母分数的加法法则计算即可；
（3）先将a进行分母有理化化简，可得，然后将此式两边同时平方可得a2+2a=1，进而将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
1 / 1【培优练】人教版初中数学2024-2025学年八年级下学期 16.3二次根式的加减法
一、选择题
1．（2024八下·翁源期中）下列说法正确是（ ）．
A．化简的结果是
B．要使在实数范围内有意义，则
C．与是同类二次根式
D．是最简二次根式
【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：A、算术平方根不可能为负数，故选项A错误；
B、只需要保证根号下的数非负即可，因此x≥1，故选项B错误；
C、=，与是同类二次根式，故选项C错误；
D、根号下是分数，不符合最简二次根式的要求，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】掌握算术平方根的双重非负性可判断A、B错误；判断是否同类二次根式，在于最简二次根式中，根号下的数是否相同，据此判断C；最简二次根式要求根号下不含分母，据此判断D.
2．（2019八下·端州期中）下列二次根式，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】 ，
A、 ，能合并，故本选项不符合题意；
B、 ，不能合并，故本选项符合题意；
C、 ，能合并，故本选项不符合题意；
D、- ，能合并，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】将每个二次根式分别化为最简二次根式，被开方数相同即可合并，据此判断即可.
3．（2024八下·澄海期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查平方差公式及二次根式的计算，根据平方差公式及二项式的计算进行求解即可.
4．（2024八下·翁源期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．24 B． C．25 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：将代入计算，第一次：，
进行第二次计算，
第二次：，
∴输出结果，
故答案为：B．
【分析】将代入计算，再判断即可求出答案.
5．（2023八下·韶关期末）计算的结果是（ ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：C.
【分析】先根据积的乘方运算法则（ab）n=an×bn的逆用将式子变形，再利用平方差公式及二次根式的性质计算底数，进而根据有理数的乘方运算法则算出答案.
6．（2024八下·廉江月考）估计的值在（ ）
A．7到8之间 B．8到9之间 C．9到10之间 D．10到11之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】先将原式进行计算，然后估算结果在哪两个连续整数之间．
7．（2016八下·嘉祥期中）已知直角三角形的周长为4+，斜边为4，则该三角形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，
可得： ，
可得：ab=5，
所以三角形的面积是，
故选C．
【分析】根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长以及长的乘积，由此可求出这个三角形的面积．
8．（2024八下·廉江月考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为．已知的三边长a、b、c分别为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵的三边长分别为，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据题中所给的三角形的面积公式，代入数据可求得结果，最后化简二次根式．
9．（2024八下·翁源期中）如图，图中有两个相邻的白色正方形，其面积分别为8和18，则图中阴影部分面积为（ ）
A．24 B．50 C． D．26
【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：根据题意，小白色正方形的边长为；大白色正方形的边长为；继而得到黑色正方形的边长为，
得到最大正方形的面积，
故阴影面积为，
故答案为：A．
【分析】根据题意，小白色正方形的边长为；大白色正方形的边长为；继而得到黑色正方形的边长为，得到最大正方形的面积，即可求出答案.
二、填空题
10．（2024八下·湛江期中）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】直接合并同类二次根式即可.
11．计算：（﹣）÷+2= ．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=﹣+
=﹣+
=．
故答案为．
【分析】先根据二次根式的除法运算，然后化简后合并即可．
12．（2024八下·徐闻月考）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ．
【答案】7
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵与可以合并，
∴，2a+5=3a-2，
解得：a=7，
故答案为：7.
【分析】利用二次根式及合并同类项法则求解即可.
13．已知三角形的三边长分别为cm，cm，cm，则这个三角形的周长为 cm．
【答案】12
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：这个三角形的周长为：++=3+4+5=12cm．
故答案为：12．
【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式即可．
14．已知，，则代数式x2﹣3xy+y2的值为 ．
【答案】95
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：代入x，y的值得
x2﹣3xy+y2=（）2﹣3×+（）2，
=+﹣3，
=50+48﹣3，
=95．
故填95．
【分析】把x，y值代入，先相加减再把分母为无理数的分母有理化．
三、计算题
15．（2024八下·澄海期末）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键，属于基础题型.先将二次根式化为最简二次根式，然后在合并同类二次根式即可求解.
16．（2024八下·斗门期中） 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据平方差公式和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的除法法则运算，则分母有理化，然后合并即可．
17．（2024八下·江门月考）（1）计算：．
（2）求值：已知，，求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式混合运算的运算顺序，计算求解即可；
（2）根据二次根式的加减运算法则，计算求解即可．
18．（2024八下·江海期中） 已知．求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴
，
（2）解：∵，
∴
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】(1)先利用完全平方公式表示为，再带值计算即可.
(2)先通分，再因式分解，带值计算即可.
19．（2024八下·潮南期末）已知.
（1）求的值；
（2）化简并求值：.
【答案】（1）解：，
，.
（2）解：，
，.
原式.
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）利用分母有理化化简a，再求出a-2的值，将原式化为（a-2）2，然后代入计算即可.
（2）利用分式的约分及二次根式的性质将原式化简，然后将a值代入计算即可.
20．（2024八下·麒麟月考）先化简，再求值：，．
【答案】解：原式
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】先进行通分计算括号，再因式分解的同时将除法转化为乘法，化到最简，最后将x的值代入计算并分母有理化即可求解.
21．（2024八下·深圳期末） 先化简， 再求值： ， 其中．
【答案】解：
，
将代入得：
原式
．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将被除式的分子、分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算乘法约分化简，最后代入x的值，分子、分母分别合并后，再进行分母有理化即可.
四、解答题
22．（2024八下·广州开学考）若最简二次根式和是同类二次根式，求、平方和的算术平方根．
【答案】解：最简二次根式和是同类二次根式，
，，
即
解得，
、的平方和为，
、平方和的算术平方根为．
【知识点】同类二次根式；代入消元法解二元一次方程组；求算术平方根
【解析】【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，则这几个二次根式就是同类二次根式，据此列列出方程组，求解得出x、y的值，进而再求出x、y的平方和，最后根据算术平方根的定义求出结果.
23．（2024八下·中山期中）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
【答案】（1）4；
（2）解：∵，
∴，即，
∴的整数部分是5，小数部分，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的整数部分，
∴．
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴的整数部分为4，小数部分为，
故答案为：4，；
【分析】（1）先根据无理数的大小估值得到：进而即可求解；
（2）根据无理数的大小估值及不等式性质计算得到：，，进而将其代入计算即可.
24．（2024八下·汕头期中）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：；
（1）请用以上两种方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值.
【答案】（1）解：方法一：
方法二：
（2）解：由题意可得：
=
=
（3）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）模仿题干给出的两种方法化简即可；
（2）将每一个加数利用分母有理化的方法分别化简，再根据同分母分数的加法法则计算即可；
（3）先将a进行分母有理化化简，可得，然后将此式两边同时平方可得a2+2a=1，进而将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
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