【基础练】人教版数学八年级下学期 16.3二次根式的加减法
一、选择题
1．（2024八下·翁源期中）下列说法正确的是（ ）
A．化简的结果是
B．要使在实数范围内有意义，则
C．与是同类二次根式
D．是最简二次根式
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，选项A不正确；
B、依题意有，所以，选项B不正确；
C、，所以与时同类二次根式，选项C正确；
D、当时，没有意义，当时，，选项D不正确．
故答案为：C．
【分析】分别根据二次根式的性质与化简，二次根式的定义，同类二次根式的定义和最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八下·南宁期中）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
3．（2024八下·梁平期末）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则的值可能是（ ）
A．16 B．2 C．0 D．任意实数
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵，
且最简二次根式与是同类二次根式，
∴a+2=2，
解得，a=0.
故答案为：C.
【分析】把化简为最简二次根式，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到a+2=2，解方程即可得到a的值.
4． 若最简二次根式 与 可以合并， 则 的值是（ ）
A．1 B．2.5 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
∵ 最简二次根式 与 可以合并，
∴ 与 是同类根式，
∴2a-5=11-2a
解得，a=4
故答案为：D.
【分析】两根式可以合并，说明它们是同类根式，即被开方数相同，由此列方程进行求解即可。
5．（2024八下·温州期中） 下列选项中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】 解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、和不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】A、几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；根据定义可判断与不是同类二次根式，于是可知这两个二次根式不能合并；
B、同理可求解；
C、根据二次根式的性质“”计算即可求解；
D、根据二次根式的性质“”计算即可求解.
6．（2024八下·越城期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
A、不是同类二次根式，不能合并，故A错误
B、，故B错误
C、，故C正确
D、，故D错误
故选C.
【分析】
A、不是同类二次根式，不能合并
B、把转化，再合并同类二次根式即可
C、根据
D、根据平方差公式：，进行化简即可.
7．（2024八下·汕头期中）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质将各个二次根式化简，再计算有理数的加法，据此计算后可判断A选项；先将括号内的二次根式化简，再合并括号内的同类二次根式，进而根据二次根式的乘法法则进行计算，据此计算后可判断B选项；直接根据二次根式的性质化简，即可判断C选项；根据绝对值的代数意义计算可判断D选项.
8．（2024八下·江夏期中）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、正确，故不符合题意；
B、，正确，故不符合题意；
C、 ，正确，故不符合题意；
D、， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的减法，二次根数的除法法则、二次根数的乘法法则、多项式乘多项式分别计算，再判断即可.
9．一块正方形的瓷砖， 面积为 ， 则它的边长在( )
A． 之间 B． 之间
C． 之间 D． 之间
【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：面积为 的正方形，其边长为.
∵49＜50＜64，
∴.
∴7＜＜8.
即其边长介乎7到8cm之间.
故答案为：D.
【分析】先估计出50介乎于哪两个连续平方数之间，然后开方比较即可.
10．（2024八下·资阳期末）估计 的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴，即，
故选：B.
【分析】由根式乘法运算对目标算式进行化简，进而根据无理数大小估算得出目标算式介于的整数之间.
11．（2024八下·武汉期末）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（ ）
A．48 B． C．62 D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：设两个小正方形的边长分别为a，b，
∵阴影部分的周长和面积分别是和，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】设两个小正方形的边长分别为a，b，根据阴影部分的周长和面积得到，，利用完全平方公式求得，即可得到的值．
二、填空题
12． 计算：
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】先将将给定的二次根式化为最简形式，以便于后续的运算. 在化简过程中，需要应用二次根式的性质和运算规则. 接着，将化简后的二次根式进行合并同类项，最终得到计算结果.
13．（2024八下·大观期中） 若与最简二次根式可以合并，则 ．
【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】由题可知m+1=3，解得m=2；
正确答案：2.
【分析】因为两二次根式可以合并，故是同类二次根式；且，可得m的方程，求解即可。
14．（2024八下·北京市期中）计算：已知，，则 ．
【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴xy==
=5-3
=2.
故答案为：2
【分析】根据二次根式的乘法法则和平方差公式"(a+b)(a-b)=a2-b2"进行计算即可求解.
15．已知，则的值为
【答案】5
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：原式=
=，
∵，
∴原式值为
故答案为：5.
【分析】化简待求式得到原式为，然后把代入计算即可求解.
16．（2024八下·潮州期中）当，时，代数式的值是 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵a=﹣1，
∴a+b=+1+﹣1=2，a﹣b=+1﹣+1=2，
∴====．
故答案为：．
【分析】根据已知条件先求出a+b和a﹣b的值，再把所求式子进行化简，然后整体代入计算即可．
17．（2024八下·越城期末） 定义运筫 “ *” 的运筫法则为： ， 其中 为非负实数， 且 ，则
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
解：
=
故答案为：.
【分析】根据公式：代入计算即可.
三、计算题
18．计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）解：原式 2-3+4=6-3
（2）解：原式
（3）解：原式= =3 -3=-6
（4）解：原式=12-4+1+3-4=12-4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】首先需要对每个表达式中的二次根式进行化简，利用二次根式的性质、乘法公式和基本的算术运算规则. 对于有乘法和加减的混合运算，先进行乘法，再进行加减. 对于包含乘法公式和平方的表达式，应先根据公式展开，再进行化简和计算.
19．（2024八下·五华月考）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的混合运算
20．（2024八下·昆明期中）计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的混合运算
四、解答题
21．已知，求下列式子的值：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式=，
∵，
∴原式=
=.
（2）解：原式=
=
=.
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】（1）先提取公因式ab，得到原式为，最后把代入计算即可求解；
（2）直接把代入计算即可求解.
22．（2024八下·玉山期末）长方形的长是，宽是，求长方形的周长与面积．
【答案】解：周长：
，
，
，
；
面积：．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据长方形的周长和面积公式进行计算即可。计算时要根据二次根式的运算法则进行计算.
23．在一个边长为 的正方形内部挖去一个边长为 的正方形 (如图所示)， 求剩余部分的面积．
【答案】解：剩余部分的面积为：
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】剩余部分的面积=大正方形的面积-内部所挖的小正方形的面积，代入计算即可. 计算时运用平方差公式达到简化计算的目的.
24．（2024八下·鄞州期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则 ， ；
（2）已知x是4-的算数平方根，求+2x-2024的值；
（3）当1x2时，化简
【答案】（1）2；1
（2）解：x是4-的算数平方根，
x===-1
原式=-2025=-2022
（3）2
【知识点】二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【解答】解：(1)∵，
∴，，
故答案为：2，1；
(3)∵，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【分析】(1)将化成完全平方公式，求出a，b的值即可.
(2)将化成完全平分公式求出x，再进行计算即可.
(3)先化简，，再代入计算求值即可．
1 / 1【基础练】人教版数学八年级下学期 16.3二次根式的加减法
一、选择题
1．（2024八下·翁源期中）下列说法正确的是（ ）
A．化简的结果是
B．要使在实数范围内有意义，则
C．与是同类二次根式
D．是最简二次根式
2．（2024八下·南宁期中）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·梁平期末）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则的值可能是（ ）
A．16 B．2 C．0 D．任意实数
4． 若最简二次根式 与 可以合并， 则 的值是（ ）
A．1 B．2.5 C．3 D．4
5．（2024八下·温州期中） 下列选项中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·越城期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·汕头期中）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·江夏期中）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．一块正方形的瓷砖， 面积为 ， 则它的边长在( )
A． 之间 B． 之间
C． 之间 D． 之间
10．（2024八下·资阳期末）估计 的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
11．（2024八下·武汉期末）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（ ）
A．48 B． C．62 D．
二、填空题
12． 计算：
13．（2024八下·大观期中） 若与最简二次根式可以合并，则 ．
14．（2024八下·北京市期中）计算：已知，，则 ．
15．已知，则的值为
16．（2024八下·潮州期中）当，时，代数式的值是 ．
17．（2024八下·越城期末） 定义运筫 “ *” 的运筫法则为： ， 其中 为非负实数， 且 ，则
三、计算题
18．计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
19．（2024八下·五华月考）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
20．（2024八下·昆明期中）计算
（1）
（2）
四、解答题
21．已知，求下列式子的值：
（1）．
（2）．
22．（2024八下·玉山期末）长方形的长是，宽是，求长方形的周长与面积．
23．在一个边长为 的正方形内部挖去一个边长为 的正方形 (如图所示)， 求剩余部分的面积．
24．（2024八下·鄞州期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则 ， ；
（2）已知x是4-的算数平方根，求+2x-2024的值；
（3）当1x2时，化简
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，选项A不正确；
B、依题意有，所以，选项B不正确；
C、，所以与时同类二次根式，选项C正确；
D、当时，没有意义，当时，，选项D不正确．
故答案为：C．
【分析】分别根据二次根式的性质与化简，二次根式的定义，同类二次根式的定义和最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
3．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵，
且最简二次根式与是同类二次根式，
∴a+2=2，
解得，a=0.
故答案为：C.
【分析】把化简为最简二次根式，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到a+2=2，解方程即可得到a的值.
4．【答案】D
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
∵ 最简二次根式 与 可以合并，
∴ 与 是同类根式，
∴2a-5=11-2a
解得，a=4
故答案为：D.
【分析】两根式可以合并，说明它们是同类根式，即被开方数相同，由此列方程进行求解即可。
5．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】 解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、和不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】A、几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；根据定义可判断与不是同类二次根式，于是可知这两个二次根式不能合并；
B、同理可求解；
C、根据二次根式的性质“”计算即可求解；
D、根据二次根式的性质“”计算即可求解.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
A、不是同类二次根式，不能合并，故A错误
B、，故B错误
C、，故C正确
D、，故D错误
故选C.
【分析】
A、不是同类二次根式，不能合并
B、把转化，再合并同类二次根式即可
C、根据
D、根据平方差公式：，进行化简即可.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质将各个二次根式化简，再计算有理数的加法，据此计算后可判断A选项；先将括号内的二次根式化简，再合并括号内的同类二次根式，进而根据二次根式的乘法法则进行计算，据此计算后可判断B选项；直接根据二次根式的性质化简，即可判断C选项；根据绝对值的代数意义计算可判断D选项.
8．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、正确，故不符合题意；
B、，正确，故不符合题意；
C、 ，正确，故不符合题意；
D、， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的减法，二次根数的除法法则、二次根数的乘法法则、多项式乘多项式分别计算，再判断即可.
9．【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：面积为 的正方形，其边长为.
∵49＜50＜64，
∴.
∴7＜＜8.
即其边长介乎7到8cm之间.
故答案为：D.
【分析】先估计出50介乎于哪两个连续平方数之间，然后开方比较即可.
10．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴，即，
故选：B.
【分析】由根式乘法运算对目标算式进行化简，进而根据无理数大小估算得出目标算式介于的整数之间.
11．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：设两个小正方形的边长分别为a，b，
∵阴影部分的周长和面积分别是和，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】设两个小正方形的边长分别为a，b，根据阴影部分的周长和面积得到，，利用完全平方公式求得，即可得到的值．
12．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】先将将给定的二次根式化为最简形式，以便于后续的运算. 在化简过程中，需要应用二次根式的性质和运算规则. 接着，将化简后的二次根式进行合并同类项，最终得到计算结果.
13．【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】由题可知m+1=3，解得m=2；
正确答案：2.
【分析】因为两二次根式可以合并，故是同类二次根式；且，可得m的方程，求解即可。
14．【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴xy==
=5-3
=2.
故答案为：2
【分析】根据二次根式的乘法法则和平方差公式"(a+b)(a-b)=a2-b2"进行计算即可求解.
15．【答案】5
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：原式=
=，
∵，
∴原式值为
故答案为：5.
【分析】化简待求式得到原式为，然后把代入计算即可求解.
16．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵a=﹣1，
∴a+b=+1+﹣1=2，a﹣b=+1﹣+1=2，
∴====．
故答案为：．
【分析】根据已知条件先求出a+b和a﹣b的值，再把所求式子进行化简，然后整体代入计算即可．
17．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
解：
=
故答案为：.
【分析】根据公式：代入计算即可.
18．【答案】（1）解：原式 2-3+4=6-3
（2）解：原式
（3）解：原式= =3 -3=-6
（4）解：原式=12-4+1+3-4=12-4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】首先需要对每个表达式中的二次根式进行化简，利用二次根式的性质、乘法公式和基本的算术运算规则. 对于有乘法和加减的混合运算，先进行乘法，再进行加减. 对于包含乘法公式和平方的表达式，应先根据公式展开，再进行化简和计算.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的混合运算
20．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的混合运算
21．【答案】（1）解：原式=，
∵，
∴原式=
=.
（2）解：原式=
=
=.
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】（1）先提取公因式ab，得到原式为，最后把代入计算即可求解；
（2）直接把代入计算即可求解.
22．【答案】解：周长：
，
，
，
；
面积：．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据长方形的周长和面积公式进行计算即可。计算时要根据二次根式的运算法则进行计算.
23．【答案】解：剩余部分的面积为：
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】剩余部分的面积=大正方形的面积-内部所挖的小正方形的面积，代入计算即可. 计算时运用平方差公式达到简化计算的目的.
24．【答案】（1）2；1
（2）解：x是4-的算数平方根，
x===-1
原式=-2025=-2022
（3）2
【知识点】二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【解答】解：(1)∵，
∴，，
故答案为：2，1；
(3)∵，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【分析】(1)将化成完全平方公式，求出a，b的值即可.
(2)将化成完全平分公式求出x，再进行计算即可.
(3)先化简，，再代入计算求值即可．
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