【培优练】人教版数学八年级下学期 16.1二次根式
一、选择题
1．（2024八下·潮州期中）下列各式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、﹣3＜0，故无意义；
B、3﹣π＜0，故无意义；
C、是三次根式；
D、符合二次根式的定义，是二次根式；
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，进行判断即可．
2．（2024八下·翁源期中）在下列式子中，一定是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、是三次根式，故此选项不符合题意；
B、当a＜0时，根号里的数就是负数，故此选项不符合题意；
C、a2为非负数，整体符合二次根式的要求，故此选项符合题意；
D、无法保证a3+3是非负数，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】形如“(a≥0)”得式子就是二次根式，据此逐一判断得出答案.
3．下列式子中二次根式的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）-；（4）8；（5）；（6）(x＞1)；（7）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【分析】二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【解答】二次根式的有（1），（3），（4），（5），（7)原式=；
而（2）（6）中的被开方数是负数，没有意义．故选D．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
4．（2024八下·番禺期末）下列二次根式有意义的范围为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、x﹣4≥0，x≥4，A不符合题意；
B、x﹣4＞0，x＞4，B不符合题意；
C、x+4＞0，x＞﹣4，C不符合题意；
D、x+4≥0，x≥﹣4，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合分式有意义的条件（分母不为0）即可求解。
5．（2024八下·廉江月考）如果，那么（ ）
A． B．
C． D．D．且
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，解得：0≤x1.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数非负”可得关于x的不等式组，解之即可求解.
6．（2021八下·越秀期中）要使 有意义，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使 有意义，
则2x-1≥0且3-x＞0，
解得： ，
故答案为：C．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
7．（2024八下·中山期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、则本项符合题意；
C、则本项不符合题意；
D、则本项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根的计算法则即可判断A、B和C项；根据积的乘方即可判断D项.
8．（2020八下·潮南月考）当1A．3 B．-3 C．1 D．-1
【答案】D
【知识点】分式的约分；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
则
故答案为：D．
【分析】先确定 的符号，再根据二次根式和分式的运算即可得．
9．已知是整数，a是正整数，a的最小值是（ ）
A．0 B．3 C．6 D．24
【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即6a是完全平方数；
∴a的最小正整数值为6．
故选C．
【分析】因为是整数，且，则6a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为6．
10．（2024八下·惠城期中） 当a＜﹣3时，化简的结果是（ ）
A．3a＋2 B．﹣3a﹣2 C．4﹣a D．a﹣4
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵a＜﹣3，
∴2a-1＜0，a+3＜0，
∴原式=|2a-1|+|a+3|=1-2a-a-3=-3a-2，
故答案为：B.
【分析】根据a＜-3，先判断2a-1，a+3的符号，再根据二次根式的性质开方，然后合并同类项即可.
11．（2020八下·潮南月考）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简 的结果是（ ）
A．－2a+b B．2a C．－2a D．－2a－b
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由数轴的定义得：
则
故答案为：C．
【分析】先根据数轴的定义得出a、b的符号，再根据二次根式的性质化简即可．
二、填空题
12．（2024八下·翁源期中）当a<0时，化简= ．
【答案】 a
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=|a|
=-a，
故答案为： a．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
13．（2024八下·斗门期中） 化简 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵要使有意义，
∴3-a≥0，a≤3，
∴，
∴原式=3-a＋3-a＝6－2a.
故答案为：6－2a.
【分析】根据二次根式的性质确定a的取值范围，再对其进行化简即可．
14．（2024八下·惠阳期中） 若，则= .
【答案】16
【知识点】二次根式有意义的条件；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题意可得x-4≥0且4－x≥0，
解得x=4，
∴代入x的值可得y=2，
∴xy=42=16.
故答案为：16.
【分析】利用二次根式有意义的条件，可得x-4≥0且4－x≥0即可求出答案.
15．（2024八下·惠阳月考）若，则 ．
【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
故答案为：1.
【分析】根据非负数之和为0则每个非负数均为0，即可得到进而将其代入计算即可求解.
16．（2024八下·徐闻月考）已知三角形三边长分别是3，7，m，化简 ．
【答案】6
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】∵三角形三边长分别是 3，7，m，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据三角形的三边关系可得，进而化简二次根式，即可求解．
17．（2020八下·潮南月考）已知a，b，c为三角形三边，则 = ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】由三角形的三边关系定理得：
则
故答案为： ．
【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．
三、解答题
18．（2024八下·高州月考）在等腰中，三边长分别是a，b，c，并且满足，求的周长．
【答案】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
又∵a，b，c分别是等腰的边，
①当时，，符合三角形的三边关系，
∴的周长是：，
②当时，，符合三角形的三边关系，
∴的周长是：，
综上分析可知，的周长是12或8．
【知识点】完全平方公式及运用；等腰三角形的性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】先利用非负数的性质求解，的值，再分类讨论，根据三角形的三边关系可得答案．
19．已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=++4，求此三角形的周长．
【答案】解：∵、有意义，∴∴a=3，∴b=4，当a为腰时，三角形的周长为：3+3+4=10；当b为腰时，三角形的周长为：4+4+3=11．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a的值，继而得出b的值，然后代入运算即可．
20．（2024八下·廉江月考）若，求的值．
【答案】解：∵∴
∴，则原式可化为
∴
∴即
所以的值为2000．
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据算术平方根的非负性可得关于a的不等式，解之可得a的范围，然后根据绝对值的非负性去绝对值，整理即可求解.
21．已知m，n为实数，且满足m=，求6m﹣3n的值．
【答案】解：因为n2﹣9≥0，9﹣n2≥0，且n﹣3≠0，
所以n2=9且n≠3，
解得：n=﹣3，m=﹣．
∴6m﹣3n=5．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求出n和m的值，继而可得出答案．
22．实数a在数轴上的位置如图，化简|a﹣2|+．
【答案】解：由数轴可得出：2＜a＜4，
∴|a﹣2|+=a﹣2+=a﹣2+4﹣a=2．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】首先利用数轴得出a的取值范围，进而取绝对值以及开平方即可．
23．已知a、b、c位置如图所示，试化简：
（1）﹣|a﹣b|+|c﹣a|+；
（2）|a+b﹣c|+|b﹣2c|+．
【答案】解：∵根据数轴可知：a＜b＜0＜c，∴a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴（1）﹣|a﹣b|+|c﹣a|+=﹣a﹣（b﹣a）+（c﹣a）+（c﹣b）=﹣a﹣b+a+c﹣a+c﹣b=﹣a﹣2b+2c；（2）∵a＜b＜0＜c，∴a+b﹣c＜0，b﹣2c＜0，b﹣a＞0，∴|a+b﹣c|+|b﹣2c|+=c﹣a﹣b+2c﹣b+b﹣a=﹣2a﹣b+3c．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据数轴可知：a＜b＜0＜c，求出a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据a＜b＜0＜c，a+b﹣c＜0，b﹣2c＜0，b﹣a＞0，根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可．
24．已知a是实数，求﹣的值．
【答案】解：当a＜﹣1时，原式=﹣（a+1）﹣[﹣（a﹣1）]
=﹣a﹣1﹣（﹣a+1）
=﹣a﹣1+a﹣1
=﹣2，
当﹣1≤a＜1时，原式=a+1﹣[﹣（a﹣1）]
=a+1+a﹣1
=2a，
当a≥1时，原式=a+1﹣（a﹣1）
=a+1﹣a+1
=2．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质，要分类讨论，可得答案．
1 / 1【培优练】人教版数学八年级下学期 16.1二次根式
一、选择题
1．（2024八下·潮州期中）下列各式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024八下·翁源期中）在下列式子中，一定是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列式子中二次根式的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）-；（4）8；（5）；（6）(x＞1)；（7）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2024八下·番禺期末）下列二次根式有意义的范围为 的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·廉江月考）如果，那么（ ）
A． B．
C． D．D．且
6．（2021八下·越秀期中）要使 有意义，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·中山期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020八下·潮南月考）当1A．3 B．-3 C．1 D．-1
9．已知是整数，a是正整数，a的最小值是（ ）
A．0 B．3 C．6 D．24
10．（2024八下·惠城期中） 当a＜﹣3时，化简的结果是（ ）
A．3a＋2 B．﹣3a﹣2 C．4﹣a D．a﹣4
11．（2020八下·潮南月考）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简 的结果是（ ）
A．－2a+b B．2a C．－2a D．－2a－b
二、填空题
12．（2024八下·翁源期中）当a<0时，化简= ．
13．（2024八下·斗门期中） 化简 .
14．（2024八下·惠阳期中） 若，则= .
15．（2024八下·惠阳月考）若，则 ．
16．（2024八下·徐闻月考）已知三角形三边长分别是3，7，m，化简 ．
17．（2020八下·潮南月考）已知a，b，c为三角形三边，则 = ．
三、解答题
18．（2024八下·高州月考）在等腰中，三边长分别是a，b，c，并且满足，求的周长．
19．已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=++4，求此三角形的周长．
20．（2024八下·廉江月考）若，求的值．
21．已知m，n为实数，且满足m=，求6m﹣3n的值．
22．实数a在数轴上的位置如图，化简|a﹣2|+．
23．已知a、b、c位置如图所示，试化简：
（1）﹣|a﹣b|+|c﹣a|+；
（2）|a+b﹣c|+|b﹣2c|+．
24．已知a是实数，求﹣的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、﹣3＜0，故无意义；
B、3﹣π＜0，故无意义；
C、是三次根式；
D、符合二次根式的定义，是二次根式；
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、是三次根式，故此选项不符合题意；
B、当a＜0时，根号里的数就是负数，故此选项不符合题意；
C、a2为非负数，整体符合二次根式的要求，故此选项符合题意；
D、无法保证a3+3是非负数，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】形如“(a≥0)”得式子就是二次根式，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【分析】二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【解答】二次根式的有（1），（3），（4），（5），（7)原式=；
而（2）（6）中的被开方数是负数，没有意义．故选D．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、x﹣4≥0，x≥4，A不符合题意；
B、x﹣4＞0，x＞4，B不符合题意；
C、x+4＞0，x＞﹣4，C不符合题意；
D、x+4≥0，x≥﹣4，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合分式有意义的条件（分母不为0）即可求解。
5．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，解得：0≤x1.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数非负”可得关于x的不等式组，解之即可求解.
6．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使 有意义，
则2x-1≥0且3-x＞0，
解得： ，
故答案为：C．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
7．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、则本项符合题意；
C、则本项不符合题意；
D、则本项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根的计算法则即可判断A、B和C项；根据积的乘方即可判断D项.
8．【答案】D
【知识点】分式的约分；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
则
故答案为：D．
【分析】先确定 的符号，再根据二次根式和分式的运算即可得．
9．【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即6a是完全平方数；
∴a的最小正整数值为6．
故选C．
【分析】因为是整数，且，则6a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为6．
10．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵a＜﹣3，
∴2a-1＜0，a+3＜0，
∴原式=|2a-1|+|a+3|=1-2a-a-3=-3a-2，
故答案为：B.
【分析】根据a＜-3，先判断2a-1，a+3的符号，再根据二次根式的性质开方，然后合并同类项即可.
11．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由数轴的定义得：
则
故答案为：C．
【分析】先根据数轴的定义得出a、b的符号，再根据二次根式的性质化简即可．
12．【答案】 a
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=|a|
=-a，
故答案为： a．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵要使有意义，
∴3-a≥0，a≤3，
∴，
∴原式=3-a＋3-a＝6－2a.
故答案为：6－2a.
【分析】根据二次根式的性质确定a的取值范围，再对其进行化简即可．
14．【答案】16
【知识点】二次根式有意义的条件；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题意可得x-4≥0且4－x≥0，
解得x=4，
∴代入x的值可得y=2，
∴xy=42=16.
故答案为：16.
【分析】利用二次根式有意义的条件，可得x-4≥0且4－x≥0即可求出答案.
15．【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
故答案为：1.
【分析】根据非负数之和为0则每个非负数均为0，即可得到进而将其代入计算即可求解.
16．【答案】6
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】∵三角形三边长分别是 3，7，m，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据三角形的三边关系可得，进而化简二次根式，即可求解．
17．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】由三角形的三边关系定理得：
则
故答案为： ．
【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．
18．【答案】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
又∵a，b，c分别是等腰的边，
①当时，，符合三角形的三边关系，
∴的周长是：，
②当时，，符合三角形的三边关系，
∴的周长是：，
综上分析可知，的周长是12或8．
【知识点】完全平方公式及运用；等腰三角形的性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】先利用非负数的性质求解，的值，再分类讨论，根据三角形的三边关系可得答案．
19．【答案】解：∵、有意义，∴∴a=3，∴b=4，当a为腰时，三角形的周长为：3+3+4=10；当b为腰时，三角形的周长为：4+4+3=11．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a的值，继而得出b的值，然后代入运算即可．
20．【答案】解：∵∴
∴，则原式可化为
∴
∴即
所以的值为2000．
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据算术平方根的非负性可得关于a的不等式，解之可得a的范围，然后根据绝对值的非负性去绝对值，整理即可求解.
21．【答案】解：因为n2﹣9≥0，9﹣n2≥0，且n﹣3≠0，
所以n2=9且n≠3，
解得：n=﹣3，m=﹣．
∴6m﹣3n=5．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求出n和m的值，继而可得出答案．
22．【答案】解：由数轴可得出：2＜a＜4，
∴|a﹣2|+=a﹣2+=a﹣2+4﹣a=2．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】首先利用数轴得出a的取值范围，进而取绝对值以及开平方即可．
23．【答案】解：∵根据数轴可知：a＜b＜0＜c，∴a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴（1）﹣|a﹣b|+|c﹣a|+=﹣a﹣（b﹣a）+（c﹣a）+（c﹣b）=﹣a﹣b+a+c﹣a+c﹣b=﹣a﹣2b+2c；（2）∵a＜b＜0＜c，∴a+b﹣c＜0，b﹣2c＜0，b﹣a＞0，∴|a+b﹣c|+|b﹣2c|+=c﹣a﹣b+2c﹣b+b﹣a=﹣2a﹣b+3c．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据数轴可知：a＜b＜0＜c，求出a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据a＜b＜0＜c，a+b﹣c＜0，b﹣2c＜0，b﹣a＞0，根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可．
24．【答案】解：当a＜﹣1时，原式=﹣（a+1）﹣[﹣（a﹣1）]
=﹣a﹣1﹣（﹣a+1）
=﹣a﹣1+a﹣1
=﹣2，
当﹣1≤a＜1时，原式=a+1﹣[﹣（a﹣1）]
=a+1+a﹣1
=2a，
当a≥1时，原式=a+1﹣（a﹣1）
=a+1﹣a+1
=2．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质，要分类讨论，可得答案．
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