【培优练】人教版数学八年级下学期 16.2二次根式的乘除法
一、选择题
1．（2024八下·瑶海期中） 在、、、中，最简二次根式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：16.2《二次根式的乘除》.）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·玉州期中）在二次根式中，最简二次根式个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．已知 ， 则 等于( )
A． B． C． D．
5． 下列各式计算结果正确的是( )
A． B．
C． D．
6．（2024八下·重庆市期中）下列计算正确的是（ ）
A．3×4＝12
B．
C．﹣3＝＝6
D．＝5
7．下列化简错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．计算 的结果是（ ）
A．1 B． C．5 D．9
9．（2022八下·香河月考）若，则化简（ ）
A．m B．-m C．n D．-n
10．（2024八下·平山月考）在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙、丙对
C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
11．（2024八下·宁明月考）计算的结果是（ ）
A．－1 B． C． D．
12．（2023八下·宁波期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响）.从20m，40m高空抛物到落地所需时间分别为，，则是的（ ）
A．2倍 B．倍 C． D．
二、填空题
13．（2023八下·蚌埠月考）计算： ．
14．方程 的解为 .
15．如果 是整数， 那么整数 的值是 .
16．（2024八下·惠城月考）计算： ．
17．（2017八下·临洮期中）若一个长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为
cm3．
三、计算题
18．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.2二次根式的性质(2)）化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
19．计算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
20．计算：
（1）
（2）
四、解答题
21．（2020八下·商州期末）设三角形一边长为a，这条边上的高为h，面积为S．如果 ，另有一个边长为 的正方形面积也等于S，求a的长．
22．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.3二次根式的运算(1)）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．若S△ABC=3 cm2 ，BC= cm，求AC和CD的长．
23．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册1.3.2二次根式的运算（课时2）同步练习）如图，∠B＝90°，点P从点B开始沿射线BA以1cm/s的速度移动；同时，点Q也从点B开始沿射线BC以2cm/s的速度移动．问：几秒后△PBQ的面积为35cm2？此时PQ的长是多少厘米？(结果用最简二次根式表示．)
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，，，∴、、不是最简二次根式，
最简二次根式有，共1个.
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个判定即可．
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】选项A、C未进行分母有理化，选项D根式内包含完全平方数4，唯有B符合要求，故答案为：B．
【分析】满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数,因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。根据这两个条件判断。
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
是最简二次根式；
是最简二次根式；
∴ 最简二次根式有3个．
故答案为：B．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断即可.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】先看是由哪些已知条件相加减或相乘除得到的，再用相应的字母代换即可。
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、 与无意义，原计算不正确；
B、，原计算不正确；
C、，原计算正确；
D、，原计算不正确.
故答案为：C.
【分析】A、二次根式要求根号下为非负数，选项的计算过程就已经有误；
B、实际上是，因此；
C、应先将3还原成二次根式，再计算；
D、应先计算根式下的式子，再化简.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A： 3×4＝24，A错误；
B：，被开方数为非负数，结果对，但过程错误，故B错误；
C： ﹣3＝，C错误；
故答案为：D。
【分析】根据二次根式乘除法运算法则和平方差公式对各选项进行计算，即可判定正确与否。
7．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
故答案为：C
【分析】根据题意对每个选项进行化简，进而对比即可求解。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式==.
故答案为：B.
【分析】先算括号内的二次根式的乘法，然后再算括号外的分式的除法即可解答.
9．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的除法计算方法求解即可。
10．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
∴甲、乙，丙都对，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的乘法与除法，二次根式的性质等计算求解即可。
11．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方运算法则将原式变形，结合平方差公式进行计算即可.
12．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：将h=20m代入 得；
将h=40m代入 得；
∴，即t2是t1的倍.
故答案为：B.
【分析】分别将h=20m与h=40m代入所给的函数关系式，算出对应的t的值，再求比值即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的乘除法则计算求解即可。
14．【答案】x=-1
【知识点】二次根式的乘除法；解一元一次方程
【解析】【解答】解：
【分析】根据二次根式乘除法的运算方法进行计算即可。
15．【答案】18或2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
∵是整数，
∴x的值为18或2.
故答案为：18或2.
【分析】先根据二次根式的乘法把式子化简，然后由结果是整数即可解答.
16．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，，
∴b>0，a≠0.
∴
故答案为：.
【分析】根据二次根式的运算法则运算即可.在运算前先判断a和b的正负.
17．【答案】12
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：依题意得，正方体的体积为：
2 × × =12cm3．
故答案为：12．
【分析】首先根据正方体的体积列出计算式，然后利用二次根式的乘除法法则计算即可求解．
18．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据二次根式的性质进行化简即可；
（3）根据二次根式的性质进行化简即可；
（4）先根据二次根式的性质化简，再计算乘法即可；
（5）根据二次根式的性质和乘法法则进行化简，再计算乘法即可；
（6）先把被开方数因式分解，再根据二次根式的性质进行化简即可.
19．【答案】（1）解：原式=
=
=3.
（2）解：原式=
=
=8×102=800.
（3）解：原式=
==.
（4）解：原式=
=
=30.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质“、”计算即可求解；
（2）根据二次根式的性质“、”计算即可求解；
（3）根据二次根式的性质“、”计算即可求解；
（4）根据二次根式的性质“、”计算即可求解.
20．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除混合运算得运算顺序，计算求解即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算得运算顺序，先算括号，再算乘除，计算求解即可.
21．【答案】解：由另一个边长为 的正方形面积也等于S，可得 ，
所以a＝18÷ = ．
故答案为： ．
【知识点】二次根式的乘除法；三角形的面积
【解析】【分析】由于三角形和正方形的面积相同，可根据三角形和正方形的面积公式建立等量关系，即可求出a的值．
22．【答案】解：∵
∴ 在中， cm
∵
∴
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用三角形面积公式，容易得出，利用勾股定理，得出，然后再利用三角形面积公式，得出，最后得出答案。
23．【答案】解：设x(s)后cm2，则PB＝x，BQ＝2x.由题意，得 x·2x＝35，解得x1＝ ，x2＝－ (不合题意，舍去)．∴PQ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5 (cm)．答： s后△PBQ的面积为35cm2，此时PQ的长为5 cm.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；三角形的面积
【解析】【分析】根据题意可设x(s)后△PBQ的面积为35cm2，则PB＝x，BQ＝2x，而△PBQ的面积为35，所以可列方程，x.2x=35，解得=，=（不符合题意，舍去），所以用勾股定理可得PQ＝===.
1 / 1【培优练】人教版数学八年级下学期 16.2二次根式的乘除法
一、选择题
1．（2024八下·瑶海期中） 在、、、中，最简二次根式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，，，∴、、不是最简二次根式，
最简二次根式有，共1个.
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个判定即可．
2．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：16.2《二次根式的乘除》.）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】选项A、C未进行分母有理化，选项D根式内包含完全平方数4，唯有B符合要求，故答案为：B．
【分析】满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数,因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。根据这两个条件判断。
3．（2024八下·玉州期中）在二次根式中，最简二次根式个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
是最简二次根式；
是最简二次根式；
∴ 最简二次根式有3个．
故答案为：B．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断即可.
4．已知 ， 则 等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】先看是由哪些已知条件相加减或相乘除得到的，再用相应的字母代换即可。
5． 下列各式计算结果正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、 与无意义，原计算不正确；
B、，原计算不正确；
C、，原计算正确；
D、，原计算不正确.
故答案为：C.
【分析】A、二次根式要求根号下为非负数，选项的计算过程就已经有误；
B、实际上是，因此；
C、应先将3还原成二次根式，再计算；
D、应先计算根式下的式子，再化简.
6．（2024八下·重庆市期中）下列计算正确的是（ ）
A．3×4＝12
B．
C．﹣3＝＝6
D．＝5
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A： 3×4＝24，A错误；
B：，被开方数为非负数，结果对，但过程错误，故B错误；
C： ﹣3＝，C错误；
故答案为：D。
【分析】根据二次根式乘除法运算法则和平方差公式对各选项进行计算，即可判定正确与否。
7．下列化简错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
故答案为：C
【分析】根据题意对每个选项进行化简，进而对比即可求解。
8．计算 的结果是（ ）
A．1 B． C．5 D．9
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式==.
故答案为：B.
【分析】先算括号内的二次根式的乘法，然后再算括号外的分式的除法即可解答.
9．（2022八下·香河月考）若，则化简（ ）
A．m B．-m C．n D．-n
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的除法计算方法求解即可。
10．（2024八下·平山月考）在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙、丙对
C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
∴甲、乙，丙都对，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的乘法与除法，二次根式的性质等计算求解即可。
11．（2024八下·宁明月考）计算的结果是（ ）
A．－1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方运算法则将原式变形，结合平方差公式进行计算即可.
12．（2023八下·宁波期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响）.从20m，40m高空抛物到落地所需时间分别为，，则是的（ ）
A．2倍 B．倍 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：将h=20m代入 得；
将h=40m代入 得；
∴，即t2是t1的倍.
故答案为：B.
【分析】分别将h=20m与h=40m代入所给的函数关系式，算出对应的t的值，再求比值即可得出答案.
二、填空题
13．（2023八下·蚌埠月考）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的乘除法则计算求解即可。
14．方程 的解为 .
【答案】x=-1
【知识点】二次根式的乘除法；解一元一次方程
【解析】【解答】解：
【分析】根据二次根式乘除法的运算方法进行计算即可。
15．如果 是整数， 那么整数 的值是 .
【答案】18或2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
∵是整数，
∴x的值为18或2.
故答案为：18或2.
【分析】先根据二次根式的乘法把式子化简，然后由结果是整数即可解答.
16．（2024八下·惠城月考）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，，
∴b>0，a≠0.
∴
故答案为：.
【分析】根据二次根式的运算法则运算即可.在运算前先判断a和b的正负.
17．（2017八下·临洮期中）若一个长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为
cm3．
【答案】12
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：依题意得，正方体的体积为：
2 × × =12cm3．
故答案为：12．
【分析】首先根据正方体的体积列出计算式，然后利用二次根式的乘除法法则计算即可求解．
三、计算题
18．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.2二次根式的性质(2)）化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据二次根式的性质进行化简即可；
（3）根据二次根式的性质进行化简即可；
（4）先根据二次根式的性质化简，再计算乘法即可；
（5）根据二次根式的性质和乘法法则进行化简，再计算乘法即可；
（6）先把被开方数因式分解，再根据二次根式的性质进行化简即可.
19．计算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）解：原式=
=
=3.
（2）解：原式=
=
=8×102=800.
（3）解：原式=
==.
（4）解：原式=
=
=30.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质“、”计算即可求解；
（2）根据二次根式的性质“、”计算即可求解；
（3）根据二次根式的性质“、”计算即可求解；
（4）根据二次根式的性质“、”计算即可求解.
20．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除混合运算得运算顺序，计算求解即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算得运算顺序，先算括号，再算乘除，计算求解即可.
四、解答题
21．（2020八下·商州期末）设三角形一边长为a，这条边上的高为h，面积为S．如果 ，另有一个边长为 的正方形面积也等于S，求a的长．
【答案】解：由另一个边长为 的正方形面积也等于S，可得 ，
所以a＝18÷ = ．
故答案为： ．
【知识点】二次根式的乘除法；三角形的面积
【解析】【分析】由于三角形和正方形的面积相同，可根据三角形和正方形的面积公式建立等量关系，即可求出a的值．
22．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.3二次根式的运算(1)）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．若S△ABC=3 cm2 ，BC= cm，求AC和CD的长．
【答案】解：∵
∴ 在中， cm
∵
∴
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用三角形面积公式，容易得出，利用勾股定理，得出，然后再利用三角形面积公式，得出，最后得出答案。
23．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册1.3.2二次根式的运算（课时2）同步练习）如图，∠B＝90°，点P从点B开始沿射线BA以1cm/s的速度移动；同时，点Q也从点B开始沿射线BC以2cm/s的速度移动．问：几秒后△PBQ的面积为35cm2？此时PQ的长是多少厘米？(结果用最简二次根式表示．)
【答案】解：设x(s)后cm2，则PB＝x，BQ＝2x.由题意，得 x·2x＝35，解得x1＝ ，x2＝－ (不合题意，舍去)．∴PQ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5 (cm)．答： s后△PBQ的面积为35cm2，此时PQ的长为5 cm.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；三角形的面积
【解析】【分析】根据题意可设x(s)后△PBQ的面积为35cm2，则PB＝x，BQ＝2x，而△PBQ的面积为35，所以可列方程，x.2x=35，解得=，=（不符合题意，舍去），所以用勾股定理可得PQ＝===.
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