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第一章 数与式
1.2 整式、分式及其运算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1整式及其运算 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，整式与分式的部分，考查3-4道题，分值为10分左右，通常以选填题的形式考查，也不排除有分式的化简求值的解答题。 整体来说本专题查难度并不大，所以同学们在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。
考点2 乘法公式 ☆☆
考点3 探索与表达规律 ☆☆
考点4 因式分解 ☆☆☆
考点5 分式的概念和性质 ☆☆
考点6 分式的运算及化简求值 ☆☆☆
本节内容中对考查整式的加减、乘除法则及幂的运算，难度一般不大，但考试频率较高，偶尔考查整式与分式的基本概念。探究与表达规律、乘法公式的运用偶尔考查难度相对较大，但考试频率不算太高。分式的基本性质和化简求值考查以选填题和解答题都有可能，难度适中。因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以选填题的形式出现，难度不大。
2
5
■考点一 整式及其运算 5
■考点二 乘法公式 7
■考点三 规律与表达探索 9
■考点四 因式分解 12
■考点五 分式的概念和性质 14
■考点六 分式的运算及化简求值 16
20
27
■考点一 整式及其运算
1.代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做 代数式 。
2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫代数式的值。
3．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做 单项式 ，所有字母指数的和叫做单项式的 次数 ，数字因数叫做单项式的 系数 。
4．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做 多项式 ，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的 次数 ，其中不含字母的项叫做 常数项 。
5．整式：单项式和多项式统称为 整式 。
6．同类项：多项式中所含 字母 相同并且相同字母的 指数 也相同的项，叫做 同类项 。
7．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
8．幂的运算：am·an= am+n ；（am）n= amn ；（ab）n= anbn ；am÷an= 。
9．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）= ma+mb+mc 。
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）= ma+mb+na+nb 。
10．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
11.整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面。
■考点二 乘法公式
（1）平方差公式： ；（2）完全平方公式： 。
■考点三 探索与表达规律
2、规律探索型问题常见类型
1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。
3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。
■考点四 因式分解
1．因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：。
（2）运用公式法：平方差公式：.完全平方公式：。
（3）十字相乘：；（4）分组分解 （4项及以上可选择此法）。
3．分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式或十字相乘；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
以上步骤可以概括为“一 提 二 套 三 检查 ”。
■考点五 分式的相关概念
1.分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做 分式 ，其中A为分子，B为分母。
2.对于分式来说：①若 B≠0 ，则有意义；②若 B=0 ，则无意义；③若 A=0且B≠0 ，则=0；
④当 A=B≠0 时，分式的值为1；⑤若 >0 ，则A、B同号，若 <0 ，则A、B异号。
3.分式的基本性质
分式的分子与分母都 乘以（或除以） 同一个 不等于零的整式 ，分式的值 不变 。
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式。
4.约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的 约分 。
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。
5.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做 最简分式 。
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
6.通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的 通分 。（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的 最简公分母 （即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。
7.最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的 最小公倍数 与所有字母因式的最高次幂的 积 作为公分母，这样的分母叫做 最简公分母 。
■考点六 分式的运算
1.分式的加减
①同分母的分式相加减法则： 分母不变，分子相加减 ．用式子表示：。
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为 同分母的分式 ，然后再加减。
用式子表示为：。
2.分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示：。
3.分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示： 。
4.分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：为正整数，。
5.分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的。
■考点一 整式及其运算
◇典例1：（2024·浙江绍兴·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A、 故该项不正确，不符合题意；
B、 故该项不正确，不符合题意；C、故该项不正确，不符合题意；
D、 故该项正确，符合题意；故选：D
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）下列各式计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，故该选项不合题意；
B、，故该选项不合题意；C、，故该选项不合题意；
D、，故该选项符合题意；故选：D．
2．（2024·浙江·模拟预测）计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，故选：B．
3．（2024·浙江温州·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】、与不是同类项，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；故选：．
◇典例2：（2024·浙江·三模）某校组织了一次篮球联赛，原计划共有n支球队参加比赛，采用单循环比赛的赛制（任意两支球队之间都要比赛一场）．若赛前有2支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比赛，则比赛总场数比原计划减少（ ）
A．场 B．场 C．场 D．场
【答案】C
【详解】解：由题意可知，支球队进行的场次为，
支球队进行的场次为，
则比赛总场数比原计划减少（场），故选：C．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万日亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1万1万，1兆1万1万1亿．若1兆，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【详解】解：1兆1万1万1亿，则，故选：D．
2．（2024·嘉兴·模拟预测）当今大数据时代，二维码具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，已被广泛应用．某种版本的“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，试比较与的大小关系： （填“>”，“=”或“<”）．
【答案】>
【详解】解：∵，，又∵，∴．故答案为：>．
3．（2024·浙江湖州·一模）古希腊一位庄园主把一边长为a米（）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了 平方米．
【答案】16
【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为，
∵，∴减少了16平方米，故答案为：16．
■考点二 乘法公式
◇典例3：（2023年成都市中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
【答案】
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为
当，，则第2个智慧优数为
当，，则第3个智慧优数为，
当，，则第4个智慧优数为，
当，，则第5个智慧优数为
当，，则第6个智慧优数为
当，，则第7个智慧优数为……
时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，列表如下，
观察表格可知当时，时，智慧数为，
时，智慧数为，，时，智慧数为，，时，智慧数为，
第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为 故答案为：，．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
◆变式训练
1．（2024·上海·中考真题）计算 ．
【答案】
【详解】解：，故答案为：．
◇典例4：（2024·浙江杭州·模拟预测）已知代数式化简后为一个完全平方式，且当时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵当时此代数式的值为0，∴，即：；
∵
∴，由得，故选：A
◆变式训练
1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，，．求 ．
【答案】1
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，即，∴，∴．故答案为：
2．（2024·浙江杭州·二模）实数、、不全为0，则的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】该题主要考查了分式的化简以及完全平方公式的运用，解题的关键是运用完全平方公式进行变形；先运用完全平方公式确定，，，再化简即可；
【详解】解：∵，
∴，，∴，
∴，∴ ∴的最大值是1，故选：B．
■考点三 探索与表达规律
◇典例5：（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块
A．28 B．30 C．34 D．36
【答案】D
【详解】由所给图形可知，第 1 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，
第 2 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，
第3个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，
所以第个图形中灰砖块数为块，白砖块数为块，
当时，（舍负），则（块），
即所选的图中灰砖有 64 块，则白砖有 36 块．故选：D．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）在多项式中任意添括号，添括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新算操作”．例如：，，…有两个判断：①至少存在一种“新算操作”，使其运算结果与原多项式之差为0；②所有可能的“新算操作”共有4种不同运算结果．判断正确的是( )
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【详解】解：根据题意有，
存在“新算操作”，使其运算结果与原多项式之差为，故①正确；
所有可能的新算操作有：第一种：结果与原式相同；第二种：；
第三种：；第四种：；
共有种不同运算结果，故②的说法正确；正确的有个；故选：A．
2．（2024·浙江温州·二模）在二维码中常用黑白方格表示数码1和0，若下图表示1011，则表示0110的图是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】解：根据材料提示，黑色的为1，白色的为0，∴的图形规律为：白黑黑白，故选：D ．
3．（2024·浙江台州·一模）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积．若这组数第1个数是a，第5个数是，则第2028个数是 （用含a的式子表示）．
【答案】
【详解】解：设第2个数为，第3个数为，第4个数为，由题意，得：，
∴，∴，进而可得第六个数为，
∴依次可得这组数据为，即：这组数以6个为一组进行循环，
∵，∴第2028个数是；故答案为：．
◇典例6：（2024·浙江杭州·模拟预测）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：．…
按照以上规律，解决下列问题：(1)请直接写出第5个等式．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)(2)，见解析
【分析】本题考查的是数字的变化规律和列代数式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
（1）根据上述等式，即可得出第5个等式：．
（2）第个等式：，证明等式左边等式右边即可．
【详解】（1）解：根据上述等式，可知第5个等式：．
（2）解：第个等式：，
证明：等式左边，
∴等式左边等式右边，∴等式成立．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）观察下列等式：
；；；；…
根据上述规律，解答下列问题：(1)填空： ， ；
(2)用含n（n是正整数）的等式表示这一规律，证明你的结论是正确的．
【答案】(1)48，72．(2)，证明见详解
【详解】（1）解： ，，故答案为：48，72．
（2）解：由数列3，5，7，，得第个数为：，
由数列1，3，5，，得第个数为：，
由数列8，16，24，，得第个数为：，
该等式的规律为：．
等式左边：，结论正确．
2．（2024·浙江台州·模拟预测）某同学研究两位数的平方的规律．
，
，
，…
(1)请按上述规律写出关于的等式；(2)推理说明的平方是的倍数．
【答案】(1)(2)说明见解析
【详解】（1）解：∵，，
，，∴；
（2）解：∵的平方为，
∴的平方是的倍数．
3．（2024·浙江嘉兴·一模）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题：(1)请直接写出第6个等式．
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)(2)，证明见解析
【详解】（1）解：根据题意可得第6个等式：；
（2）解：根据题意可得第个等式为：，
证明：等式左边，等式右边，
等式左边等式左边， 等式成立．
■考点四 因式分解
◇典例7：（2024·浙江·模拟预测）把因式分解，结果正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：．故选D．
◆变式训练
1．（2023·浙江杭州·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【详解】解：；故答案为：．
2．（2024·浙江杭州·二模）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；故选：D．
3．（2024·浙江嘉兴·一模）若多项式（为不等于0的常数）能在有理数范围内因式分解，则的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查因式分解的概念．根据题意，写出一个符合题意的值即可．
【详解】解：．故答案为：．
◇典例8：（2024·浙江·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
【答案】D
【详解】解： 原式
∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大；故选：D．
◆变式训练
1．（2024·浙江嘉兴·一模）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【分析】本题主要考查了因式分解的意义，利用平方差公式把因式分解为，据此可得答案．
【详解】解：
∵k为任意整数，∴为整数，∴一定能被3整除，
∴的值总能被3整除，故选：B．
2．（2024·浙江·一模）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵．如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵．则原长方形队阵中有同学 人．
【答案】1025
【详解】解：设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，则由已知与均为完全平方数，设正方形方阵的边长分别为m，n，可得其中m，n为正整数．
两式相减，得，即．
∵，和同奇或同偶，
∴或或，解得或或，
当时，，，
当时，，，不合题意，舍去；
当时，，，不合题意，舍去；
故原长方形队阵中有同学1025人．故答案为：1025．
■考点五 分式的概念和性质
◇典例9：（2024·浙江湖州·模拟预测）若分式的值为0，则的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】A
【详解】解：∵分式的值为0∴，∴，故选：A
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·二模）要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵要使分式有意义，则必须有，∴，故选．
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，分式有意义，符合题意；
B、，当时，分式无意义，不符合题意；
C、，当时，分式无意义，本选项不符合题意；
D、时，分式无意义，本选项不符合题意，故选：A．
3．（2024·浙江杭州·二模）分式的值，可以等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】解：，
的值可以等于2，故选：D．
◇典例10：（2024·浙江杭州·三模）已知，则 ．
【答案】//
【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．
◆变式训练
1．（2024九年级下·浙江·专题练习）若分式的值为整数，则正整数x的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】解：＝＝，
∵分式的值为整数，∴或或或且，
∴正整数或2或5或1或6或9，共6个．故选：B．
2．（2024·浙江·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．故选：B．
3．（2024·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0：
【答案】
【详解】解：有意义，，即，解得，且，
，则是一个含的二次分式，当它有意义时，可能大于0，可能小于0，不可能等于0，故答案为：．
■考点六 分式的运算及化简求值
◇典例11：（2024·浙江·模拟预测）先化简，再求值：，其中 ．
【答案】，
【详解】原式，
当时，原式．
◆变式训练
1．（2024·浙江嘉兴·二模）化简的结果是（ ）
A．a B． C．0 D．1
【答案】D
【详解】解：．故选D．
2．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ）
化简：
甲同学：原式；
乙同学：；
丙同学：；
丁同学．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【答案】B
【详解】解：
，∴开始出现错误的同学是乙同学，故选B．
3．（2023·四川成都·模拟预测）定义：若一个实数与比它小1的数的乘积为1，则称这两个数互为“异倒数”，若实数a有异倒数，则代数式的值为 ．
【答案】1
【详解】∵实数a有异倒数，，，
故答案为：1．
4．（2024·浙江杭州·二模）化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程．
小滨：原式
小江：原式
(1)小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）．
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律．
(2)已知，先化简题中代数式，再求代数式的值．
【答案】(1)②；④ (2)，
【详解】（1）解：由题意得：小滨解法的依据是②分式的基本性质，小江解法的依据是④乘法对加法的分配律；故答案为：②，④；
（2）解：
，
当时，原式．
◇典例12：（2024·浙江杭州·模拟预测）已知．
方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程．
解： ，
因为，所以，即p一定大于q．你觉得方方说法正确吗？为什么？
【答案】不正确，理由见解析
【详解】解：方方说法不正确，理由：∵，
而方方在解答过程中将分母去掉了，∴方方说法不正确．
正确的解法为：∵，
∵，当时，，∴，∴p大于q；
∵，当时，，∴，∴p大于q；
∵，当时，，∴，∴p小于q．综上，p不一定大于q．
◆变式训练
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）对于分式，有下列结论：
结论一：当时，；结论二：当时，；结论三：若，则．
其中正确的结论是（ ）
A．结论一 B．结论二 C．结论二、结论三 D．结论一、结论二
【答案】B
【详解】解：当时，，则分式无意义，故结论一不符合题意；
当时，即，解得：，
检验，当时，则是分式方程得解，故结论二符合题意；
，
若，则，即，∴，故结论三不符合题意；
综上，正确的结论是结论二，故选：B．
2．（2024·宁波·模拟预测）圆圆和方方在做一道练习题：已知，试比较与的大小．
圆圆说：“当时，有，；因为，所以”．
方方说：“圆圆的做法不正确，因为只是一个特例，不具一般性．可以……”请你将方方的做法补充完整．
【答案】见详解
【详解】解：
1．（2023·浙江湖州·中考真题）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【详解】解：依题意得：且，解得．故选：A．
2．（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．故选：D．
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【详解】解：第1个图案有4个三角形，即，第2个图案有7个三角形，即，
第3个图案有10个三角形，即，…，按此规律摆下去，第n个图案有个三角形，
则第674个图案中三角形的个数为：（个）．故选：B．
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，故该选项是错误的；B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；D、，故该选项是正确的；故选：D．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意；故选：D．
6．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
【答案】D
【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有个．故选：D
7．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
【答案】D
【详解】解：∵，，∴；
8．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得：，∴，∴，故选：A．
9．（2024·四川内江·中考真题）下列单项式中，的同类项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意；
B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意．故选：A．
10．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式中有5个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；③满足条件的整式共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：∵为自然数，为正整数，且，∴，
当时，则，∴，，满足条件的整式有，
当时，则，∴，，，，
满足条件的整式有：，，，，当时，则，
∴，，，，，，
满足条件的整式有：，，，，，；
当时，则，∴，，，，
满足条件的整式有：，，，；当时，，满足条件的整式有：；
∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意；
不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式共有个．故③符合题意；故选D
11．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ．
【答案】 9 144
【详解】解：当时，只有一种取法，则；当时，有和两种取法，则；
当时，有，，，四种取法，则；
故当时，有，，，，，六种取法，则；
当时，有，，，，，，，，九种取法，则；依次类推，当n为偶数时，，
故当时，，故答案为：9，144．
12．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ．
【答案】
【详解】解：由题意知，，故答案为：．
13．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ．
【答案】
【详解】解：依题意这个多项式为．
故答案为：
14．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ．
【答案】
【详解】单项式的次数是：，故答案为：．
15．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，
∵，∴．故答案为：．
16．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 。
【答案】
【详解】解：．故答案为：．
17．（2023·浙江绍兴·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【详解】解：由题意知，，故答案为：．
18．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，6
【详解】解：；
当，时，原式．
19．（2023·浙江绍兴·中考真题）解答下列各题：(1)计算：
(2)当时，求代数式的值．
【答案】(1)3(2)
【详解】（1）解：，
（2）解
当时，原式．
20．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知，，，试比较与的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较与的大小．
小华：∵，∴．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：__________．（填“”“”或“”）
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
，，；
（2）解：，．故答案为：．
21．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：（）（ ）（ ）；（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
【答案】(1)（），；（）；(2)
【详解】（1）（）由规律可得，，故答案为：，；
（）由规律可得，，故答案为：；
（2）解：假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析：
若均为偶数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．
若均为奇数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．
若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．
而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．
由可知，猜测正确．故答案为：．
22．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．
(1)求证：为非负数；(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)不可能都为整数，理由见解析．
【详解】（1）解：因为，所以．
则．
因为是实数，所以，所以为非负数．
（2）不可能都为整数．理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当都为奇数时，则必为偶数．又，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．
又因为，所以．因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
综上所述，不可能都为整数．
1．（2024·浙江·模拟预测）下列多项式中，属于的一个因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，所以的因式是或．故选：C．
2．（2024·浙江·一模）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．，原计算错误，故选项不符合题意；
B．，原计算错误，故选项不符合题意；
C．，计算正确，故选项符合题意；
D．，原计算错误，故选项不符合题意；故选：C．
3．（2024·浙江·模拟预测）某数学兴趣小组的四位同学在讨论“比较与的大小”这一问题时意见产生了分歧，你认为说法正确的同学是（ ）
小明：无法比较它们的大小，与x的取值有关．
小红：无论x取何值，都有．
小华：无论x取何值，都有．
小敏：的值与的值可能相等．
A．小明 B．小红 C．小华 D．小敏
【答案】B
【详解】解：
，
∴无论x取何值，都有，即小红说法正确，故选：B．
4．（2024·浙江·模拟预测）有如下数列：，满足，已知，，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【详解】解：，，且，∴，
同理，可得：，
所以，1，2，4，4，2，1，六个数字循环出现，又∴，故选：D
5．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，矩形是由4块矩形拼接而成，矩形是由4个直角三角形和一个平行四边形拼接而成．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：若，则，，即，由图可知，，A错误，故不符合要求；
如图1，由矩形的性质，勾股定理得，，
∵不一定相等，∴B错误，故不符合要求；
由题意知，，
∵，∴，即，
∴C错误，故不符合要求；D正确，故符合要求；故选：D．
6．（2023·浙江宁波·模拟预测）我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变），若集合，我们说．已知集合，集合 ，若，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
【答案】D
【详解】解：由题可得，集合A中，，∴集合B中的，，，
∵，∴x与y都为负数，，，，，
∵，，，，．故选：D．
7．（2024·浙江杭州·二模）若分式的值是0，则的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】分式的值为0，∴且．解得：．故选：A．
8．（2024·浙江台州·二模）已知函数，当，时，所对应的函数值分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得，，∵，∴，
∴，，故选：A．
9．（2024·河北石家庄·一模）如图所示，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确的情况下，则撕坏的部分中“■”代表的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意，得：“■”代表的是；故选：A．
10．（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ．
【答案】
【详解】解：分式方程，各分母的最简公分母是，故答案为：．
11．（2023·浙江金华·一模）已知分式满足条件“只含有字母x，且当时分式的值为0”，请写出一个这样的分式 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：“只含有字母x，且当时分式的值为0”的分式为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式值为0的条件：分子=0，分母≠0．
12．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，请计算代数式的值为 ．
【答案】
【详解】解：当，时，
，故答案为：．
13．（2024·浙江·模拟预测）已知，，则代数式的值为 ．
【答案】3
【详解】解：，
，，故答案为：3．
14．（2024·浙江金华·二模）多项式去括号的结果是 ．
【答案】
【详解】解：．故答案为：．
15．（2024·浙江绍兴·一模）某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；……，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是 ．
【答案】
【详解】解：设第一轮第一位报数同学的学号是a，共40人，则第一轮报号40的同学学号为,
∴第二轮第一个报号的同学学号仍为a，共39人，则第二轮报号40的同学学号为,
∴第三轮第一个报号的同学学号仍为，共38人，则第三轮报号40的同学学号为,
∴第四轮第一个报号的同学学号仍为，共37人，则第四轮报号40的同学学号为,
∴第五轮第一个报号的同学学号仍为，共36人，则第五轮报号40的同学学号为,
∵在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，∴，∴，故答案为：9
16．（2024·浙江宁波·二模）多项式与多项式的乘积为，则 ．
【答案】
【详解】解：多项式与多项式的乘积为，设多项式，由题意得：
，，，，
，故答案为：．
17．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，100枚1元硬币按的方法不重叠地放在正方形框中，设1元硬币的半径为r．
（1）正方形框的边长为 （用含r的代数式表示）．
（2）在该正方形框中，最多能不重叠地放置 枚硬币．
【答案】 106
【详解】解：（1）由题意得，正方形框的边长为，故答案为：；
（2）当按照题干图所示的方法进行摆放时，最多可以摆放100个，这时每一排所占的高度为r；
如图2-1所示，当在的正方形中，第一排摆3个半径为r的圆，第2排摆2个半径为r的圆，第3排摆3个半径为r的圆，连接两小圆的圆心，过点分别作水平线和竖直线的平行线，二者交于H，∴，，∴，
∴此时半径为r的小圆在竖直方向所占的高度为，
∴这样在红线的下方节约了高度为的高度，
因此当正方形的边长增加时，红线下方的高度一定能满足多摆放一排，
如图2-2所示，从下边数起，按照第1排先摆10个半径为r的小圆，第2排摆9个半径为r的小圆，第3排先摆10个半径为r的小圆，第4排摆9个半径为r的小圆，……，摆满10排后的高度为，
∴剩余的高度为，
∵，∴，∴，
∴在摆满10排的基础上还可以再摆放一排，∴此时最多能摆放个，
如图2-3所示，按照此种摆放方式时，所占的总高度为，
∵，∴，
∴下图的摆放符合题意，∴此时最多可以摆放106个；
综上所述，在该正方形框中，最多能不重叠地放置106枚硬币．故答案为：106．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）若，则 ．
【答案】8
【详解】解：∵，∴
∴，故答案为：8
19．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知，则＝ ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴＝＝＝＝．故答案为：．
20．（2024·浙江宁波·二模）已知，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，
∴
∵∴
∴；故答案为：．
21．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知代数式是一个关于的完全平方式，则n的值是 ；且当时M的最大值是 ．
【答案】 / /6.25/
【详解】∵是一个关于的完全平方式，∴，∴，
∴（矛盾，n不存在），或，，∴，
∵，对称轴为直线，∴M的图象开口向上，2与关于对称，
∴与时，M的值相等，∵时，M随a的增大而减小，，且，
∴当时，M取得最大值，最大值为，故答案为：，．
22．（2024·浙江·模拟预测）已知实数满足则的值为 ．
【答案】2或
【详解】解：∵∴ 先记
∴
∵∴ 则
∴或 综上：
当时，∴∴，负值已舍去；
当时，∴∴，负值已舍去；
当时， ∴∴，负值已舍去；
综上：2或 故答案为：2或
23．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，3
【详解】解：，
当，时，原式．
24．（2024·浙江·一模）观察前后两个差为4的整数的平方差：
①；②；③；……
(1)写出第n个等式，并进行证明．(2)问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)，证明见解析(2)可以，和
【详解】（1）解：由，可得；
由，可得；
由，可得；……
∴可推导一般性规律为：第n个等式是：；
证明：左边右边．
（2）解：令，解得，，∴．
答：存在整数和，使写成两个差为4的整数的平方差．
25．（2024·浙江·模拟预测）小孙同学化简分式，解答过程如下：
解：原式（第一步）
（第二步）
．（第三步）
你认为小孙的解答过程是否正确？如果不正确，请指出是从第几步开始出错的，并写出此题正确的解答过程．
【答案】小孙的解答过程不正确，他是从第一步开始出错的，正确解答见解析
【详解】解：小孙的解答过程不正确，他是从第一步开始出错的．正确解答过程如下：
原式．
26．（2024·河北石家庄·一模）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
(1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学；
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)小明，小红 (2)，过程见解析
【详解】（1）解： 故小明计算错误；
故小红计算错误；
故这个“接力游戏”中计算错误的同学有：小明，小红；
（2）正确的解答过程如下：．
27．（2024·浙江温州·一模）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【详解】解：
，
当时，原式．
28．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值．
【答案】，．
【详解】解：，
，
，
∵，∴的平方根为，∵，∴，
又∵为的平方根，∴，∴原式．
29．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知a，b表示两个正数，若这两个正数的差等于它们的积，则比小2．(1)任选一组满足条件的正数a，b的值，验证上述结论．
(2)在一般情况下，验证上述结论．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：根据题意得：，当时，；
，，即，比大2；
（2）证明：，，比大2．
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第一章 数与式
1.2 整式、分式及其运算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1整式及其运算 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，整式与分式的部分，考查3-4道题，分值为10分左右，通常以选填题的形式考查，也不排除有分式的化简求值的解答题。 整体来说本专题查难度并不大，所以同学们在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。
考点2 乘法公式 ☆☆
考点3 探索与表达规律 ☆☆
考点4 因式分解 ☆☆☆
考点5 分式的概念和性质 ☆☆
考点6 分式的运算及化简求值 ☆☆☆
本节内容中对考查整式的加减、乘除法则及幂的运算，难度一般不大，但考试频率较高，偶尔考查整式与分式的基本概念。探究与表达规律、乘法公式的运用偶尔考查难度相对较大，但考试频率不算太高。分式的基本性质和化简求值考查以选填题和解答题都有可能，难度适中。因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以选填题的形式出现，难度不大。
2
5
■考点一 整式及其运算 5
■考点二 乘法公式 7
■考点三 规律与表达探索 9
■考点四 因式分解 12
■考点五 分式的概念和性质 14
■考点六 分式的运算及化简求值 16
20
27
■考点一 整式及其运算
1.代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做 。
2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫 。
3．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做 ，所有字母指数的和叫做单项式的 ，数字因数叫做单项式的 。
4．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做 ，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的 ，其中不含字母的项叫做 。
5．整式：单项式和多项式统称为 。
6．同类项：多项式中所含 相同并且相同字母的 也相同的项，叫做 。
7．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
8．幂的运算：am·an= ；（am）n= ；（ab）n= ；am÷an= 。
9．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）= 。
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）= 。
10．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
11.整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面。
■考点二 乘法公式
（1）平方差公式： ；（2）完全平方公式： 。
■考点三 探索与表达规律
2、规律探索型问题常见类型
1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。
3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。
■考点四 因式分解
1．因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫 ，因式分解与整式乘法是 运算.
2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：。
（2）运用公式法：平方差公式：.完全平方公式：。
（3）十字相乘：；（4）分组分解 （4项及以上可选择此法）。
3．分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式或十字相乘；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
以上步骤可以概括为“一 二 三 ”。
■考点五 分式的相关概念
1.分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做 ，其中A为分子，B为分母。
2.对于分式来说：①若 ，则有意义；②若 ，则无意义；③若 ，则=0；
④当 时，分式的值为1；⑤若 ，则A、B同号，若 ，则A、B异号。
3.分式的基本性质
分式的分子与分母都 同一个 ，分式的值 。
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式。
4.约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的 。
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。
5.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做 。
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
6.通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的 。（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的 （即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。
7.最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的 与所有字母因式的最高次幂的 作为公分母，这样的分母叫做 。
■考点六 分式的运算
1.分式的加减
①同分母的分式相加减法则： ．用式子表示：。
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为 ，然后再加减。
用式子表示为：。
2.分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示： 。
3.分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示： 。
4.分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示： 。
5.分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的。
■考点一 整式及其运算
◇典例1：（2024·浙江绍兴·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）下列各式计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·模拟预测）计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江温州·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2024·浙江·三模）某校组织了一次篮球联赛，原计划共有n支球队参加比赛，采用单循环比赛的赛制（任意两支球队之间都要比赛一场）．若赛前有2支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比赛，则比赛总场数比原计划减少（ ）
A．场 B．场 C．场 D．场
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万日亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1万1万，1兆1万1万1亿．若1兆，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2024·嘉兴·模拟预测）当今大数据时代，二维码具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，已被广泛应用．某种版本的“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，试比较与的大小关系： （填“>”，“=”或“<”）．
3．（2024·浙江湖州·一模）古希腊一位庄园主把一边长为a米（）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了 平方米．
■考点二 乘法公式
◇典例3：（2023年成都市中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
◆变式训练
1．（2024·上海·中考真题）计算 ．
◇典例4：（2024·浙江杭州·模拟预测）已知代数式化简后为一个完全平方式，且当时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，，．求 ．
2．（2024·浙江杭州·二模）实数、、不全为0，则的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
■考点三 探索与表达规律
◇典例5：（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块
A．28 B．30 C．34 D．36
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）在多项式中任意添括号，添括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新算操作”．例如：，，…有两个判断：①至少存在一种“新算操作”，使其运算结果与原多项式之差为0；②所有可能的“新算操作”共有4种不同运算结果．判断正确的是( )
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
2．（2024·浙江温州·二模）在二维码中常用黑白方格表示数码1和0，若下图表示1011，则表示0110的图是（ ）
A． B．C． D．
3．（2024·浙江台州·一模）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积．若这组数第1个数是a，第5个数是，则第2028个数是 （用含a的式子表示）．
◇典例6：（2024·浙江杭州·模拟预测）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：．…
按照以上规律，解决下列问题：(1)请直接写出第5个等式．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）观察下列等式：
；；；；…
根据上述规律，解答下列问题：(1)填空： ， ；
(2)用含n（n是正整数）的等式表示这一规律，证明你的结论是正确的．
2．（2024·浙江台州·模拟预测）某同学研究两位数的平方的规律．
，
，
，…
(1)请按上述规律写出关于的等式；(2)推理说明的平方是的倍数．
3．（2024·浙江嘉兴·一模）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题：(1)请直接写出第6个等式．
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
■考点四 因式分解
◇典例7：（2024·浙江·模拟预测）把因式分解，结果正确的是( )
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·浙江杭州·模拟预测）分解因式： ．
2．（2024·浙江杭州·二模）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江嘉兴·一模）若多项式（为不等于0的常数）能在有理数范围内因式分解，则的值可以是 ．（写出一个即可）
◇典例8：（2024·浙江·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
◆变式训练
1．（2024·浙江嘉兴·一模）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
2．（2024·浙江·一模）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵．如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵．则原长方形队阵中有同学 人．
■考点五 分式的概念和性质
◇典例9：（2024·浙江湖州·模拟预测）若分式的值为0，则的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·二模）要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江杭州·二模）分式的值，可以等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
◇典例10：（2024·浙江杭州·三模）已知，则 ．
◆变式训练
1．（2024九年级下·浙江·专题练习）若分式的值为整数，则正整数x的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
2．（2024·浙江·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0：
■考点六 分式的运算及化简求值
◇典例11：（2024·浙江·模拟预测）先化简，再求值：，其中 ．
◆变式训练
1．（2024·浙江嘉兴·二模）化简的结果是（ ）
A．a B． C．0 D．1
2．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ）
化简：
甲同学：原式；
乙同学：；
丙同学：；
丁同学．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
3．（2023·四川成都·模拟预测）定义：若一个实数与比它小1的数的乘积为1，则称这两个数互为“异倒数”，若实数a有异倒数，则代数式的值为 ．
4．（2024·浙江杭州·二模）化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程．
小滨：原式
小江：原式
(1)小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）．
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律．
(2)已知，先化简题中代数式，再求代数式的值．
◇典例12：（2024·浙江杭州·模拟预测）已知．
方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程．
解： ，
因为，所以，即p一定大于q．你觉得方方说法正确吗？为什么？
◆变式训练
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）对于分式，有下列结论：
结论一：当时，；结论二：当时，；结论三：若，则．
其中正确的结论是（ ）
A．结论一 B．结论二 C．结论二、结论三 D．结论一、结论二
2．（2024·宁波·模拟预测）圆圆和方方在做一道练习题：已知，试比较与的大小．
圆圆说：“当时，有，；因为，所以”．
方方说：“圆圆的做法不正确，因为只是一个特例，不具一般性．可以……”请你将方方的做法补充完整．
1．（2023·浙江湖州·中考真题）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
7．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
8．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·四川内江·中考真题）下列单项式中，的同类项是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式中有5个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；③满足条件的整式共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ．
12．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ．
13．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ．
14．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ．
15．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ．
16．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 。
17．（2023·浙江绍兴·中考真题）因式分解： ．
18．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
19．（2023·浙江绍兴·中考真题）解答下列各题：(1)计算：
(2)当时，求代数式的值．
20．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知，，，试比较与的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较与的大小．
小华：∵，∴．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：__________．（填“”“”或“”）
21．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：（）（ ）（ ）；（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
22．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．
(1)求证：为非负数；(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
1．（2024·浙江·模拟预测）下列多项式中，属于的一个因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·一模）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·模拟预测）某数学兴趣小组的四位同学在讨论“比较与的大小”这一问题时意见产生了分歧，你认为说法正确的同学是（ ）
小明：无法比较它们的大小，与x的取值有关．
小红：无论x取何值，都有．
小华：无论x取何值，都有．
小敏：的值与的值可能相等．
A．小明 B．小红 C．小华 D．小敏
4．（2024·浙江·模拟预测）有如下数列：，满足，已知，，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，矩形是由4块矩形拼接而成，矩形是由4个直角三角形和一个平行四边形拼接而成．则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·浙江宁波·模拟预测）我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变），若集合，我们说．已知集合，集合 ，若，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
7．（2024·浙江杭州·二模）若分式的值是0，则的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
8．（2024·浙江台州·二模）已知函数，当，时，所对应的函数值分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·河北石家庄·一模）如图所示，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确的情况下，则撕坏的部分中“■”代表的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ．
11．（2023·浙江金华·一模）已知分式满足条件“只含有字母x，且当时分式的值为0”，请写出一个这样的分式 ．
12．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，请计算代数式的值为 ．
13．（2024·浙江·模拟预测）已知，，则代数式的值为 ．
14．（2024·浙江金华·二模）多项式去括号的结果是 ．
15．（2024·浙江绍兴·一模）某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；……，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是 ．
16．（2024·浙江宁波·二模）多项式与多项式的乘积为，则 ．
17．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，100枚1元硬币按的方法不重叠地放在正方形框中，设1元硬币的半径为r．
（1）正方形框的边长为 （用含r的代数式表示）．
（2）在该正方形框中，最多能不重叠地放置 枚硬币．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）若，则 ．
19．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知，则＝ ．
20．（2024·浙江宁波·二模）已知，，则 ．
21．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知代数式是一个关于的完全平方式，则n的值是 ；且当时M的最大值是 ．
22．（2024·浙江·模拟预测）已知实数满足则的值为 ．
23．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中，．
24．（2024·浙江·一模）观察前后两个差为4的整数的平方差：
①；②；③；……
(1)写出第n个等式，并进行证明．(2)问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．
25．（2024·浙江·模拟预测）小孙同学化简分式，解答过程如下：
解：原式（第一步）
（第二步）
．（第三步）
你认为小孙的解答过程是否正确？如果不正确，请指出是从第几步开始出错的，并写出此题正确的解答过程．
26．（2024·河北石家庄·一模）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
(1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学；
(2)请你写出正确的解答过程．
27．（2024·浙江温州·一模）先化简，再求值：，其中
28．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值．
29．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知a，b表示两个正数，若这两个正数的差等于它们的积，则比小2．(1)任选一组满足条件的正数a，b的值，验证上述结论．
(2)在一般情况下，验证上述结论．
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