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第一章 数与式
1.1 实数与二次根式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1实数的分类与正负数的意义 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，实数与二次根式的部分，考查3道题，分值为14分左右，通常以选填题（2题）、 计算题（1题）的形式考查。对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数、二次根式的相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点。
考点2 科学记数法 ☆☆☆
考点3 相反数、绝对值与数轴 ☆☆☆
考点4 实数的运算及其大小比较 ☆☆☆
考点5 二次根式及其运算 ☆☆☆
实数的分类及相关概念主要以选填题形式考查，比较简单；实数的大小比较常以选填题形式出现，常与数轴结合考查；科学记数法多以选填题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数与二次根式的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查。
2
4
■考点一 实数的分类及正负数的意义 4
■考点二 科学记数法 5
■考点三 相反数、绝对值与数轴 6
■考点四 实数的运算及其大小比较 7
■考点五 二次根式及其运算 9
12
17
■考点一 实数的分类及正负数的意义
1、正负数的概念：大于0的数叫做正数，正数前面加上符号“-”的数叫负数，负数前面的负号“-”不能省略。0既不是正数，也不是负数。正负数的意义：表示具有相反意义的量。
2、整数和分数统称为有理数。无限不循环小数叫做无理数。有理数和无理数统称为实数。
3、实数的分类：
1）按定义分类： 2）按性质分类：
■考点二 科学记数法
1.科学记数法：科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数。
1）当原数绝对值大于10时，写成的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1。
2）当原数绝对值小于1时，写成的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）。
2.近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
有效数字：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。
■考点三 相反数、绝对值与数轴
数轴：规定了、、的直线叫做数轴。数轴上所有的点与全体实数一一对应。
相反数：只有不同的两个数称为互为相反数。若a、b互为相反数，则a+b=0。
绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的叫做a的绝对值，记为|a|。
倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。若a、b互为倒数，则ab=1。
算术平方根：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为，a叫做被开方数。
平方根：若一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根。
立方根：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
■考点四 实数的运算及其大小比较
1.乘方：n个相同的因数a相乘记作an，其中a为，n为，乘方的结果叫做。
2.运算顺序：（1）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.（2）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律。
3.实数的大小比较方法：
1）数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
2）作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则：①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a3）平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b；②对任意负实数a，b，若a2>b2a4）倒数比较法：若>，ab>0，则a5）作商比较法：1)任意正实数a，b，>1a>b，<1a>b；2)任意负实数a，b，>1ab
■考点五 二次根式及其运算
1.二次根式的概念：形如的式子叫做 。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做 。
2.最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 。
3.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做 。
4.二次根式的性质
（1）双重非负性：≥ 0（≥0）；（2）； （3）=；
5.化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
6.加减法法则：先把各个二次根式化为 后，再将被开方数相同的二次根式 。
【口诀】一化、二找、三合并。
7.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 。
8.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 。
9.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的 ，将分母中的根号去掉的过程。
10.混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
■考点一 实数的分类及正负数的意义
◇典例1：（2024·浙江杭州·模拟预测）下列各数中，负整数是（ ）
A．3 B．0 C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）有4个实数：，0， ，，其中负数是 （ ）
A． B．0 C． D．
2．（2024·浙江温州·一模）下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0
◇典例2：（2024·浙江舟山·一模）舟山市体育中考，女生立定跳远的测试中，以为满分标准，若小贺跳出了，可记作，则小郑跳出了，应记作（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）热气球上升5米记为，则下降3米应该记为（ ）
A．3 B．2 C． D．
■考点二 科学记数法
◇典例3：（2024·浙江宁波·模拟预测）从浙江省文旅厅获悉，2023年中秋国庆假期全省共接待游客4372.4万人次，实现旅游收入486.4亿元，游客人均消费1113元．数43724000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江嘉兴·一模）年春运嘉兴南站旅客发送量约万人次．数据万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江温州·三模）温州奥体中心主体育场总建筑面积705000000平方米，将承担2022杭州亚运会足球小组赛比赛任务．将数705000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
◇典例4：（2024·浙江·模拟预测）某病毒直径约为（纳米），即为米． 数据用科学记数法表示为 。
◆变式训练
1．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
■考点三 相反数、绝对值与数轴
◇典例5：（2024·浙江嘉兴·三模）下列化简结果为的是( )
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）下列各式的值等于的相反数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江湖州·模拟预测）的绝对值是（ ）
A． B． C．4 D．16
3．（2024·河南安阳·模拟预测）实数的倒数是（ ）
A． B．24 C． D．
◇典例6：（2024·浙江嘉兴·一模）如图，点A，C分别表示数与5，点B在线段上，且，则点B对应的数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·二模）实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江丽水·二模）点从数轴的原点出发，沿数轴先向左（负方向）移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是
A． B． C． D．
■考点四 实数的运算及其大小比较
◇典例7：（2024·浙江杭州·模拟预测）某日，哈尔滨、北京、西藏、杭州四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）在，0，2，中选一个数与10相加使结果最小，应选（ ）
A． B．0 C．2 D．
2．（2024·浙江温州·模拟预测）在，，，四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江杭州·一模）下列比较两个数的大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江·模拟预测）下列实数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．3.14
◇典例8：（2024·浙江·模拟预测）计算：．
◆变式训练
1．（2024·浙江湖州·模拟预测）计算：．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）计算：．
■考点五 二次根式及其运算
◇典例9：（2024·浙江·模拟预测）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·模拟预测）若式子有意义，则a的值可以是（ ）
A．0 B．3 C．5 D．7
2．（2024·浙江丽水·二模）设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
◇典例10：（2024·浙江杭州·二模）计算：（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·一模）将二次根式化简，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江宁波·二模）已知，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2024·浙江杭州·二模）计算： ．
4．（2024·浙江·模拟预测）如图是小明一道题的计算过程：
(1)请用下划线划出小明计算出错的地方．(2)请写出正确的计算过程．
1．（2024·浙江·中考真题）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
北京 济南 太原 郑州
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
2．（2024·湖北·中考真题）在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．2024年浙江经济一季度为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C． D．
11．（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A．8 B．18 C．28 D．32
12．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
13．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
14．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
15．（2024·山东威海·中考真题）计算： ．
16．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）．
17．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：．
18．（2024·浙江·中考真题）计算：
19．（2024·上海·中考真题）计算：．
20．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：．
21．（2024·四川广安·中考真题）计算：．
1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）在数中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，数轴上的点A和点 B分别在原点的左侧和右侧．若点A，B对应的实数分别为a，b，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，中国古代用算筹记数，有纵式和横式两种．算筹记数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，数位从高到低．如257表示为，则3182可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江温州·模拟预测）某一天，温州、杭州、哈尔滨、北京四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·一模）如果把收入2024元记作，那么支出2024元记作（ ）
A．2024 B． C． D．
6．（2024·浙江杭州·三模）的相反数是（ ）
A．14 B． C． D．1
7．（2024·浙江杭州·二模）下列各式中，计算结果最大的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江杭州·二模）在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
9．（2024·浙江杭州·二模）已知数轴上有、两点，点在点的右侧，若点、分别表示数、，且满足，则下列各式的值一定为负数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）《庄子 天下》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”．若设捶长为1，天数为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·浙江金华·模拟预测）2024年“五一”假期，金华市共接待游客429.6万人次，数429.6万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·浙江台州·模拟预测）已知，设，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·浙江·模拟预测）某商场销售两种亚运会吉祥物纪念章，已知A种纪念章买两盒送一盒，每盒62元；B种纪念章打九折，原价每盒90元，东东需要的3盒A种纪念章和2盒B种纪念章共需（ ）
A．366元 B．348元 C．286元 D．304元
13．（2024·浙江杭州·二模）2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到亿元．数据亿用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·浙江·模拟预测）如图，以点A为圆心的圆交数轴于B，C两点（点C在点A的左侧，点B在点A的右侧），若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是 ．
15．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）当今大数据时代，二维码具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，已被广泛应用．某种版本的“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，试比较与的大小关系： （填“>”，“=”或“<”）．
16．（2024·浙江·模拟预测）若式子在实数范围内有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可）
17．（2024·浙江·一模）已知，，则的值为 ．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次根式的值为4，则 ．
19．（2024·浙江·模拟预测）计算：．
20．（2024·浙江杭州·三模）计算：．
21．（2024·浙江台州·模拟预测）计算：．
22．（2024·浙江·一模）计算：
23．（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算的解答过程：
解：原式
．
小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
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第一章 数与式
1.1 实数与二次根式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1实数的分类与正负数的意义 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，实数与二次根式的部分，考查3道题，分值为14分左右，通常以选填题（2题）、 计算题（1题）的形式考查。对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数、二次根式的相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点。
考点2 科学记数法 ☆☆☆
考点3 相反数、绝对值与数轴 ☆☆☆
考点4 实数的运算及其大小比较 ☆☆☆
考点5 二次根式及其运算 ☆☆☆
实数的分类及相关概念主要以选填题形式考查，比较简单；实数的大小比较常以选填题形式出现，常与数轴结合考查；科学记数法多以选填题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数与二次根式的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查。
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■考点一 实数的分类及正负数的意义 4
■考点二 科学记数法 5
■考点三 相反数、绝对值与数轴 6
■考点四 实数的运算及其大小比较 7
■考点五 二次根式及其运算 9
12
17
■考点一 实数的分类及正负数的意义
1、正负数的概念：大于0的数叫做正数，正数前面加上符号“-”的数叫负数，负数前面的负号“-”不能省略。0既不是正数，也不是负数。正负数的意义：表示具有相反意义的量。
2、整数和分数统称为有理数。无限不循环小数叫做无理数。有理数和无理数统称为实数。
3、实数的分类：
1）按定义分类： 2）按性质分类：
■考点二 科学记数法
1.科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数。
1）当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1。
2）当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）。
2.近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
有效数字：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。
■考点三 相反数、绝对值与数轴
数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴上所有的点与全体实数一一对应。
相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。若a、b互为相反数，则a+b=0。
绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|。
倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。若a、b互为倒数，则ab=1。
算术平方根：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为，a叫做被开方数。
平方根：若一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根。
立方根：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
■考点四 实数的运算及其大小比较
1.乘方：n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数，乘方的结果叫做幂。
2.运算顺序：（1）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.（2）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律。
3.实数的大小比较方法：
1）数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
2）作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则：①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a3）平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b；②对任意负实数a，b，若a2>b2a4）倒数比较法：若>，ab>0，则a5）作商比较法：1)任意正实数a，b，>1a>b，<1a>b；2)任意负实数a，b，>1ab
■考点五 二次根式及其运算
1.二次根式的概念：形如的式子叫做 二次根式 。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做 被开方数 。
2.最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 最简二次根式 。
3.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做 同类二次根式 。
4.二次根式的性质
（1）双重非负性：≥ 0（≥0）；（2）； （3）=；
5.化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
6.加减法法则：先把各个二次根式化为 最简二次根式 后，再将被开方数相同的二次根式 合并 。
【口诀】一化、二找、三合并。
7.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 。
8.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 。
9.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的 有理化因式子 ，将分母中的根号去掉的过程。
10.混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
■考点一 实数的分类及正负数的意义
◇典例1：（2024·浙江杭州·模拟预测）下列各数中，负整数是（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】C
【详解】解：3是正整数，0既不是正数也不是负数，是分数；是负整数；故选：C．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）有4个实数：，0， ，，其中负数是 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【详解】解：在，0， ，中，是负数，故答案为：A．
2．（2024·浙江温州·一模）下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【详解】解：A．是无理数，故本选项符合题意；
B．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C．，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
D．0是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；故选：A．
◇典例2：（2024·浙江舟山·一模）舟山市体育中考，女生立定跳远的测试中，以为满分标准，若小贺跳出了，可记作，则小郑跳出了，应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，小郑跳出了，应记作．故选：A
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）热气球上升5米记为，则下降3米应该记为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】解：热气球上升5米记为，那么下降3米应该记为．故选：D．
■考点二 科学记数法
◇典例3：（2024·浙江宁波·模拟预测）从浙江省文旅厅获悉，2023年中秋国庆假期全省共接待游客4372.4万人次，实现旅游收入486.4亿元，游客人均消费1113元．数43724000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．故选：B．
◆变式训练
1．（2024·浙江嘉兴·一模）年春运嘉兴南站旅客发送量约万人次．数据万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：万，故选：A．
2．（2024·浙江温州·三模）温州奥体中心主体育场总建筑面积705000000平方米，将承担2022杭州亚运会足球小组赛比赛任务．将数705000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，故选：C．
◇典例4：（2024·浙江·模拟预测）某病毒直径约为（纳米），即为米． 数据用科学记数法表示为 。
【答案】
【详解】解：，故答案为：．
◆变式训练
1．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
【答案】
【详解】解：根据题意1阿秒是秒可知，43阿秒秒，故答案为：．
■考点三 相反数、绝对值与数轴
◇典例5：（2024·浙江嘉兴·三模）下列化简结果为的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意； C.，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）下列各式的值等于的相反数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：的相反数是2，∵，，，，
∴选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意，故选：D．
2．（2024·浙江湖州·模拟预测）的绝对值是（ ）
A． B． C．4 D．16
【答案】C
【详解】解：的绝对值是4，故选C．
3．（2024·河南安阳·模拟预测）实数的倒数是（ ）
A． B．24 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴的倒数是．故选：A．
◇典例6：（2024·浙江嘉兴·一模）如图，点A，C分别表示数与5，点B在线段上，且，则点B对应的数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：设点B对应的数为，由题意得，，
∵，∴，解得，∴点B对应的数为3，故选：C．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·二模）实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由数轴可知，，对于A，，此时为负数，不符合题意；
对于B，，此时为负数，不符合题意；对于C，，此时a 1为负数，不符合题意；对于D，，此时为正数，符合题意．故选：D．
2．（2024·浙江丽水·二模）点从数轴的原点出发，沿数轴先向左（负方向）移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：点从数轴的原点出发，沿数轴先向左（负方向）移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是：．故选：C．
■考点四 实数的运算及其大小比较
◇典例7：（2024·浙江杭州·模拟预测）某日，哈尔滨、北京、西藏、杭州四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，最低气温是，故选：A．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）在，0，2，中选一个数与10相加使结果最小，应选（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】D
【详解】解：，，，，∵，故选：D．
2．（2024·浙江温州·模拟预测）在，，，四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，，，∴，
∴绝对值最大的数是，故选：．
3．（2024·浙江杭州·一模）下列比较两个数的大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ，，∴，故选：B．
4．（2024·浙江·模拟预测）下列实数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．3.14
【答案】A
【详解】解：， ，，最大的是，故选A．
◇典例8：（2024·浙江·模拟预测）计算：．
【答案】4
【详解】解：原式．
◆变式训练
1．（2024·浙江湖州·模拟预测）计算：．
【答案】5
【详解】．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）计算：．
【答案】2
【详解】解： ．
■考点五 二次根式及其运算
◇典例9：（2024·浙江·模拟预测）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】/
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，解得：，故答案为：．
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·模拟预测）若式子有意义，则a的值可以是（ ）
A．0 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【详解】解：∵有意义，∴，解得，则a的值可以是7．故选：D．
2．（2024·浙江丽水·二模）设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
先估算的近似值，确定、的值，再代入计算即可．
【详解】解：，即，，，
，故选：D
◇典例10：（2024·浙江杭州·二模）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：， 故选：B ．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·一模）将二次根式化简，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： 故选：C．
2．（2024·浙江宁波·二模）已知，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【详解】解：设，，，，，
，，，即，
，，
，，．故选：．
3．（2024·浙江杭州·二模）计算： ．
【答案】
【详解】解：故答案为：．
4．（2024·浙江·模拟预测）如图是小明一道题的计算过程：
(1)请用下划线划出小明计算出错的地方．(2)请写出正确的计算过程．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】（1）解：；
（2），．
1．（2024·浙江·中考真题）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
北京 济南 太原 郑州
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
【答案】C
【详解】解：∵，∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原．故选：C．
2．（2024·湖北·中考真题）在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【详解】解：如果收入20元记作元，那么支出10元记作元，故选：B．
3．2024年浙江经济一季度为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】201370000用科学记数法表示为．故选：D．
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：实数的相反数是，故选：D．
5．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意；
B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意；
C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意；
D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意．故选：C．
6．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．
∴∴最接近标准质量的是故选：C．
7．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【详解】解：∵互为倒数，∴，∵，∴，则，故选：B．
8．（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，故选D．
9．（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：百万分之一．故选：B．
10．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，，，而，
∴平方最大的数是3；故选A
11．（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A．8 B．18 C．28 D．32
【答案】C
【详解】解∶∵，，∴8不是完美数，故选项A不符合题意；
∵，，∴18不是完美数，故选项B不符合题意；
∵，，∴28是完美数，故选项C符合题意；
∵，，∴32不是完美数，故选项D不符合题意；
故选：C
12．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【答案】C
【详解】解：∵，而，∴，故答案为：C
13．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
【答案】D
【详解】解：，故选：D
14．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【详解】解：，
，，，即S在3和4之 间，故选：C．
15．（2024·山东威海·中考真题）计算： ．
【答案】
【详解】解：故答案为：．
16．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）．
【答案】>
【详解】解：∵，，而，
∴，∴；故答案为：
17．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：．
【答案】
【详解】解：．
18．（2024·浙江·中考真题）计算：
【答案】7
【详解】．
19．（2024·上海·中考真题）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
20．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：．
【答案】
【详解】解：．
21．（2024·四川广安·中考真题）计算：．
【答案】1
【详解】解：
1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）在数中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：在中，是无理数的是：；故选D．
2．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，数轴上的点A和点 B分别在原点的左侧和右侧．若点A，B对应的实数分别为a，b，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由图知，，，，，故A项结论不成立，不符合题意；
，故B项结论不成立，不符合题意；，故C项结论成立，符合题意；
，故D项结论不成立，不符合题意；故选：C．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，中国古代用算筹记数，有纵式和横式两种．算筹记数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，数位从高到低．如257表示为，则3182可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：千位是横式的3；百位是纵式的1；十位是横式的8；个位是纵式的2，故选：A．
4．（2024·浙江温州·模拟预测）某一天，温州、杭州、哈尔滨、北京四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴最低气温是，故选：C
5．（2024·浙江·一模）如果把收入2024元记作，那么支出2024元记作（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：收入2024元记作，那么支出2024元记作，故选：D
6．（2024·浙江杭州·三模）的相反数是（ ）
A．14 B． C． D．1
【答案】A
【详解】解：的相反数是14，故选：A．
7．（2024·浙江杭州·二模）下列各式中，计算结果最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，，，
，计算结果最大的是故选：B．
8．（2024·浙江杭州·二模）在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解：若，则当点与点重合时，取得最大值，故选：D．
9．（2024·浙江杭州·二模）已知数轴上有、两点，点在点的右侧，若点、分别表示数、，且满足，则下列各式的值一定为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得，，
∵，即，∴，∴，∴，故选：B．
10．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）《庄子 天下》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”．若设捶长为1，天数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，第次后，共截取：，设，
∴，∴，
∵，∴，即．故选：A．
11．（2024·浙江金华·模拟预测）2024年“五一”假期，金华市共接待游客429.6万人次，数429.6万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：数429.6万用科学记数法表示为．故选：B．
11．（2024·浙江台州·模拟预测）已知，设，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，正确，不符合题意；
B．，正确，不符合题意；C．，正确，不符合题意；
D．，错误，符合题意；故选：D．
12．（2024·浙江·模拟预测）某商场销售两种亚运会吉祥物纪念章，已知A种纪念章买两盒送一盒，每盒62元；B种纪念章打九折，原价每盒90元，东东需要的3盒A种纪念章和2盒B种纪念章共需（ ）
A．366元 B．348元 C．286元 D．304元
【答案】C
【详解】解：由题意可得：东东需要的3盒A种纪念章和2盒B种纪念章共需
（元），故选：C．
13．（2024·浙江杭州·二模）2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到亿元．数据亿用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：亿．故答案为：C．
14．（2024·浙江·模拟预测）如图，以点A为圆心的圆交数轴于B，C两点（点C在点A的左侧，点B在点A的右侧），若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是 ．
【答案】/
【详解】解：，B两点表示的数分别为1，，
根据圆的性质可得：，，
点C表示的数是，故答案为：．
15．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）当今大数据时代，二维码具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，已被广泛应用．某种版本的“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，试比较与的大小关系： （填“>”，“=”或“<”）．
【答案】>
【详解】解：∵，，又∵，∴．故答案为：>．
16．（2024·浙江·模拟预测）若式子在实数范围内有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，∴，解得．
∴x的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．
17．（2024·浙江·一模）已知，，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，∴，，
∴，故答案为：．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次根式的值为4，则 ．
【答案】5
【详解】解：由题知，，，，．故答案为：5．
19．（2024·浙江·模拟预测）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
20．（2024·浙江杭州·三模）计算：．
【答案】2
【详解】解：
．
21．（2024·浙江台州·模拟预测）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
22．（2024·浙江·一模）计算：
【答案】
【详解】解：原式，
．
23．（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算的解答过程：
解：原式
．
小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】有错误；
【详解】解：小滨的解答过程有错误；
正确的解答过程:
．
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