沪科版（2024）数学七年级下册 6.1 平方根、立方根 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·农安期末）9的平方根是（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2024七上·南湖期末）已知一个表面积为12平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（ ）
A．分米 B．分米 C．分米 D．2分米
3．（2025七上·临平期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2018八上·河南月考）下列说法正确的是（ ）
A．一个数的平方根有两个，它们互为相反数
B．一个数的立方根，不是正数就是负数
C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是﹣1，0，1中的一个
D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或者0
5．（2023八上·高碑店月考）一个数的两个平方根分别是2a+1与-3a+2，则a的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
6．下列结论中，正确的是（ ）
A． B．的算术平方根是x
C．一定没有算术平方根 D．的平方根是
7．（2017七下·仙游期中）-8的立方根是 .
8．（2024七上·浙江期末）一个正方形的面积扩大为原来的4倍，则它的边长变成原来的 倍。
9．（浙教版（2024）数学教材习题七年级上册3.1 平方根）用计算器计算，比较下列各数的大小：12，22，2.52，5.72，112，172，1012，你发现了什么规律 算术平方根的大小与被开方数的大小有什么关系
二、能力提升
10．有一个数值转换器，其原理如图.当输入x=16时，输出的y值是( )
A．4 B．2 C． D．
11．下列说法中，正确的是 ( )
A．(-3)2的算术平方根是-3
B．负数也有平方根
C．因为a的平方是a2，所以a2的平方根是a
D．是2的算术平方根
12．（2024七上·义乌月考）若单项式与的和仍是单项式，则的值为 .
13．阅读材料。
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根。华罗庚脱口而出：39。众人惊奇，忙问计算奥妙。你知道怎样迅速准确地计算出结果吗 请按照下面的分析试一试：
①由 可知 是两位数。
②由59319的个位数字是9，可知 的个位数字是9。
③如果划去 59319 后面的三位 319 得到59，而 由此确定 的十位数字是3。
请应用以上方法计算：
= .
= .
= .
三、拓展创新
14．如果要制作一个立方体，使它的体积是已知立方体体积的27倍，那么它的棱长应是已知立方体的棱长的几倍？
15． 任意找一个数，比如1 234，利用计算器对它开立方，再对得到的立方根开立方……如此进行下去，你有什么发现
16．
（1）求（ 的值. 对于任意数 a， 等于多少
（2）求 的值. 对于任意数a， 等于多少
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴9的平方根是，
故选：D．
【分析】本题考查平方根的定义，若，那么x是a的平方根，据此作答，即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解： 正方体的棱长为x分米，正方体有6个面，每个面的面积为x2平方分米，则整个正方体的表面积为6x2平方分米，
由题意得：6x2= 12
解得x=
由于棱长不能为负，所以分米是正确的解，
因此，正方体的棱长为 分米.
故答案为：B．
【分析】由于正方体的表面积等于其六个面面积的总和，而每个面都是一个正方形，其面积为棱长的平方，故根据正方体的表面积公式建立方程，进行求解即可．
3．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、∵，，计算错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用有理数的乘方，算术平方根的法则逐项判断即可．
4．【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】A、一个正数数的平方根有两个，它们互为相反数，选项A不符合题意；
B、一个数的立方根，可能是正数或负数或0，选项B不符合题意；
C、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是﹣1，0，1中的一个，选项C符合题意；
D、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0，选项D不符合题意.
故答案为：C
【分析】（1）负数没有平方根；
（2）0的立方根是0，0既不是正数也不是负数；
（3）如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是﹣1，0，1中的一个；
（4）1的平方根是±1.
5．【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：由题意可得：
2a+1+(-3a+2)=0
解得：a=3
故答案为：D
【分析】根据数的平方互为相反数可列出方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A选项：，故错误；
B选项：当x为负数时，它的算术平方根为-x，故错误；
C选项：-x2，当x=0时，平方根为0，故错误；
D选项：的平方根是，正确；
故答案为：D.
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐项进行判断．
7．【答案】－2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵（-2）3=-8，
∴-8的立方根是-2．
故答案为：-2.
【分析】求立方根即为立方的逆运算.
8．【答案】2
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设一个正方形的面积为 则边长为
∴面积扩大为原来的4倍为 边长为
∴它的边长变成原来的
故答案为：2.
【分析】设一个正方形的面积为 则面积扩大为原来的4倍为 ，分别利用算术平方根求出边长，比较即可得出答案.
9．【答案】解： 12= 1 ，22= 4 ，2.52= 6.25 ，5.72= 32.49 ，112= 121 ，172= 289 ，1012= 10201 ，
算术平方根越大，被开方数就越大.
【知识点】平方根的性质
【解析】【分析】 先使用计算器计算给出的各数的平方，比较各数的平方，可得算术平方根越大，被开方数就越大.
10．【答案】D
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：∵，，
∴输出的y值是.
故答案为：D.
【分析】当x=16时，取算术平方根，判断是否是有理数，是有理数继续输入，无理数则输出.
11．【答案】C
【知识点】平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A：(-3)2的算术平方根是3，原说法错误；
B：负数没有平方根，原说法错误；
C：因为a的平方是a2，所以a2的平方根是±a，原说法错误；
D：是2的算术平方根，说法正确；
故答案为：D.
【分析】根据平方根、算术平方根的定义解题即可.
12．【答案】
【知识点】同类项的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵单项式与的和仍是单项式，
∴两个单项式为同类项，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据题意可知：单项式与的和仍是单项式为同类项，则据此求出m的值，进而即可求解.
13．【答案】27；56；91
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】理由如下：
是两位数.
∵19683的个位数字是3，
的个位数字是7.
如果划去19683后面的三位683得到19，而 由此确定 的十位数字是2.
理由如下：
是两位数.
∵175616的个位数字是6，
的个位数字是6.
如果划去175616后面的三位616得到175， 而 由此确定 的十位数字是5.
理由如下：
是两位数.
∵753571的个位数字是1，
的个位数字是1.
如果划去753571后面的三位683得到753， 而 由此确定 的十位数字是9.
故答案为： 27， 56， 91.
【分析】仿照例题提供的方法进行计算即可.
14．【答案】解：由题意得：制作的立方体的体积：已知立方体的体积=27：1，
所以，制作的立方体的棱长：已知立方体的棱长=3：1，
即它的棱长是已知立方体的棱长的3倍.
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】根据体积=棱长3，即可根据体积比算出棱长比.
15．【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
发现： 经过无数次开方后，得到的数将无限接近1.
【知识点】计算器在数的开方中的应用；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用计算器将原数进行开立方，再根据结果可得经过无数次开方后，得到的数将无限接近1.
16．【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：∵，
∴.
【知识点】开立方（求立方根）；立方根的性质
【解析】【分析】先利用立方根的定义（立方根是指将一个数立方（即乘以自身两次）后得到的数的逆运算）及计算方法分析求解，再根据结果得出结论即可.
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一、夯实基础
1．（2024八上·农安期末）9的平方根是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴9的平方根是，
故选：D．
【分析】本题考查平方根的定义，若，那么x是a的平方根，据此作答，即可得到答案.
2．（2024七上·南湖期末）已知一个表面积为12平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（ ）
A．分米 B．分米 C．分米 D．2分米
【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解： 正方体的棱长为x分米，正方体有6个面，每个面的面积为x2平方分米，则整个正方体的表面积为6x2平方分米，
由题意得：6x2= 12
解得x=
由于棱长不能为负，所以分米是正确的解，
因此，正方体的棱长为 分米.
故答案为：B．
【分析】由于正方体的表面积等于其六个面面积的总和，而每个面都是一个正方形，其面积为棱长的平方，故根据正方体的表面积公式建立方程，进行求解即可．
3．（2025七上·临平期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、∵，，计算错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用有理数的乘方，算术平方根的法则逐项判断即可．
4．（2018八上·河南月考）下列说法正确的是（ ）
A．一个数的平方根有两个，它们互为相反数
B．一个数的立方根，不是正数就是负数
C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是﹣1，0，1中的一个
D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或者0
【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】A、一个正数数的平方根有两个，它们互为相反数，选项A不符合题意；
B、一个数的立方根，可能是正数或负数或0，选项B不符合题意；
C、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是﹣1，0，1中的一个，选项C符合题意；
D、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0，选项D不符合题意.
故答案为：C
【分析】（1）负数没有平方根；
（2）0的立方根是0，0既不是正数也不是负数；
（3）如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是﹣1，0，1中的一个；
（4）1的平方根是±1.
5．（2023八上·高碑店月考）一个数的两个平方根分别是2a+1与-3a+2，则a的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：由题意可得：
2a+1+(-3a+2)=0
解得：a=3
故答案为：D
【分析】根据数的平方互为相反数可列出方程，解方程即可求出答案.
6．下列结论中，正确的是（ ）
A． B．的算术平方根是x
C．一定没有算术平方根 D．的平方根是
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A选项：，故错误；
B选项：当x为负数时，它的算术平方根为-x，故错误；
C选项：-x2，当x=0时，平方根为0，故错误；
D选项：的平方根是，正确；
故答案为：D.
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐项进行判断．
7．（2017七下·仙游期中）-8的立方根是 .
【答案】－2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵（-2）3=-8，
∴-8的立方根是-2．
故答案为：-2.
【分析】求立方根即为立方的逆运算.
8．（2024七上·浙江期末）一个正方形的面积扩大为原来的4倍，则它的边长变成原来的 倍。
【答案】2
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设一个正方形的面积为 则边长为
∴面积扩大为原来的4倍为 边长为
∴它的边长变成原来的
故答案为：2.
【分析】设一个正方形的面积为 则面积扩大为原来的4倍为 ，分别利用算术平方根求出边长，比较即可得出答案.
9．（浙教版（2024）数学教材习题七年级上册3.1 平方根）用计算器计算，比较下列各数的大小：12，22，2.52，5.72，112，172，1012，你发现了什么规律 算术平方根的大小与被开方数的大小有什么关系
【答案】解： 12= 1 ，22= 4 ，2.52= 6.25 ，5.72= 32.49 ，112= 121 ，172= 289 ，1012= 10201 ，
算术平方根越大，被开方数就越大.
【知识点】平方根的性质
【解析】【分析】 先使用计算器计算给出的各数的平方，比较各数的平方，可得算术平方根越大，被开方数就越大.
二、能力提升
10．有一个数值转换器，其原理如图.当输入x=16时，输出的y值是( )
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：∵，，
∴输出的y值是.
故答案为：D.
【分析】当x=16时，取算术平方根，判断是否是有理数，是有理数继续输入，无理数则输出.
11．下列说法中，正确的是 ( )
A．(-3)2的算术平方根是-3
B．负数也有平方根
C．因为a的平方是a2，所以a2的平方根是a
D．是2的算术平方根
【答案】C
【知识点】平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A：(-3)2的算术平方根是3，原说法错误；
B：负数没有平方根，原说法错误；
C：因为a的平方是a2，所以a2的平方根是±a，原说法错误；
D：是2的算术平方根，说法正确；
故答案为：D.
【分析】根据平方根、算术平方根的定义解题即可.
12．（2024七上·义乌月考）若单项式与的和仍是单项式，则的值为 .
【答案】
【知识点】同类项的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵单项式与的和仍是单项式，
∴两个单项式为同类项，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据题意可知：单项式与的和仍是单项式为同类项，则据此求出m的值，进而即可求解.
13．阅读材料。
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根。华罗庚脱口而出：39。众人惊奇，忙问计算奥妙。你知道怎样迅速准确地计算出结果吗 请按照下面的分析试一试：
①由 可知 是两位数。
②由59319的个位数字是9，可知 的个位数字是9。
③如果划去 59319 后面的三位 319 得到59，而 由此确定 的十位数字是3。
请应用以上方法计算：
= .
= .
= .
【答案】27；56；91
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】理由如下：
是两位数.
∵19683的个位数字是3，
的个位数字是7.
如果划去19683后面的三位683得到19，而 由此确定 的十位数字是2.
理由如下：
是两位数.
∵175616的个位数字是6，
的个位数字是6.
如果划去175616后面的三位616得到175， 而 由此确定 的十位数字是5.
理由如下：
是两位数.
∵753571的个位数字是1，
的个位数字是1.
如果划去753571后面的三位683得到753， 而 由此确定 的十位数字是9.
故答案为： 27， 56， 91.
【分析】仿照例题提供的方法进行计算即可.
三、拓展创新
14．如果要制作一个立方体，使它的体积是已知立方体体积的27倍，那么它的棱长应是已知立方体的棱长的几倍？
【答案】解：由题意得：制作的立方体的体积：已知立方体的体积=27：1，
所以，制作的立方体的棱长：已知立方体的棱长=3：1，
即它的棱长是已知立方体的棱长的3倍.
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】根据体积=棱长3，即可根据体积比算出棱长比.
15． 任意找一个数，比如1 234，利用计算器对它开立方，再对得到的立方根开立方……如此进行下去，你有什么发现
【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
发现： 经过无数次开方后，得到的数将无限接近1.
【知识点】计算器在数的开方中的应用；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用计算器将原数进行开立方，再根据结果可得经过无数次开方后，得到的数将无限接近1.
16．
（1）求（ 的值. 对于任意数 a， 等于多少
（2）求 的值. 对于任意数a， 等于多少
【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：∵，
∴.
【知识点】开立方（求立方根）；立方根的性质
【解析】【分析】先利用立方根的定义（立方根是指将一个数立方（即乘以自身两次）后得到的数的逆运算）及计算方法分析求解，再根据结果得出结论即可.
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