沪科版（2024）数学七年级下册 6.2 无理数和实数 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025七上·上城期末）估计的值更接近（ ）
A．3 B．4 C．9 D．10
2．（2025七上·上城期末）下列实数中的无理数是（ ）
A． B． C．-3.14 D．
3．（2025七上·海曙期末）下列各数中，最小的数是（ ）
A．-1 B． C．0 D．
4．（2025七上·慈溪期末）下列说法正确的是（ ）
A．0没有相反数 B．4的平方根是2
C．的整数部分是 4 D．两点之间线段最短
5．（2025八上·龙岗期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
6．（2025七上·镇海区期末）下列各数中： ，无理数的个数为（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
7．（2025八上·深圳期末）如图，将一个半径为1的圆沿数轴正方向滚动，已知点A在数轴上对应的数是1，则滚动一周后点A的对应点A所表示的数为 .
8．一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数n-1与n之间，则 .
9．（浙教版（2024）数学教材习题七年级上册3.4 实数的运算） 判断下面的说法是否正确，并举例说明理由。
（1） 两个无理数的和一定是无理数；
（2） 两个无理数的积一定是无理数。
10．（浙教版（2024）数学教材习题七年级上册3.2 从有理数到实数） 请将下列实数与它们在数轴上的对应点连起来，并把它们按从小到大的顺序排列，用“<”连接。
。
二、能力提升
11．如图，若四个实数在数轴上的对应点分别为M，N，P，Q，则下列实数中，绝对值最大的是（ ）
A．点P表示的数 B．点Q表示的数 C．点M表示的数 D．点N表示的数
12．计算 的结果是( )
A．5.14-π B． C． D．- 1.14+π
13．如图，已知数轴上表示1， 的点分别为A，B，点 B 关于点A 的对称点为C，则点C 表示的数是（ ）
A．-1 B．1- C．2- D．-2
14．（2024七上·嘉兴期末） 若整数 满足 ， 则 的值为 。
15．（【牵手重高 】培优教程 第五讲 实数的运算）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如，现对82进行如下操作：.这样只需要对82进行3次操作就可得到1.类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后就可得到2的所有正整数中，最大的正整数是 .
16．已知数0.101 001 000 100 001…， 它的特点是： 从左向右看， 相邻的两个1之间依次多一个0. 这个数是有理数还是无理数 为什么
三、拓展创新
17． 先阅读理解，再解决问题：
因为 且
所以 的整数部分是1；
因为 且
所以 的整数部分是2；
因为 且
所以 的整数部分是3；
……
（1） 的整数部分是 ；
（2） (n为正整数)的整数部分是多少 试说明理由.
18．（2024七下·安陆期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题.
（1）到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整，并将答案填写在答题卡上：
我们知道面积是2的正方形边长是，且.设，画出如下示意图.
由面积公式，可得.
因为值很小，所以更小，略去，
得方程（②），解得（保留到0.001），即.
（2）怎样画出？请一起参与小敏探索画过程.
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.
要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为.依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得.把图（1）如图所示进行分割，请在图2中用实线画出拼接成的新正方形.
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图3，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图4中用实线画出拼接成的新正方形.说明：直接画出图形，不要求写分析过程.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴的值更接近3，
故答案为：A.
【分析】根据无理数的估算解题即可.
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： A：是有理数；
B：是无理数；
C：-3.14是有理数；
D：，是有理数；
故答案为：B.
【分析】根据无理数是无限不循环小数解题即可.
3．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
，
∴最小的数是：
故答案为： B.
【分析】利用实数大小的比较方法： 正数总是大于零，负数总是小于零；两个负数，绝对值大的反而小解题即可.
4．【答案】D
【知识点】无理数的估值；两点之间线段最短；相反数的意义与性质；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A、0的相反数是0，则A不符合题意；
B、4的平方根是： 则 B不符合题意；
C、 那么 的整数部分是3，则C不符合题意；
D、两点之间线段最短，则D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相反数的定义，平方根的定义，估算无理数的大小，线段公理逐项判断即可.
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴实数在数轴上的对应点可能是C点
故答案为：C
【分析】进行无理数的估值即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：|-3|=3，
无理数为 ，共2个，
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数是无理数”解题即可.
7．【答案】2 +1
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：圆滚动的距离为圆的周长2π，
∵圆沿着数轴正方向滚动一周，
∴此时点A表示的数是1＋2π．
故答案为：1＋2π．
【分析】先利用圆的周长公式列出算式求出周长，再结合数轴直接求出点A表示的数即可.
8．【答案】5
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，正方形的边长为
∵
∴
∵
∴
故答案为：.
【分析】根据题意可得正方形的边长为，估算得出，即可求解．
9．【答案】（1）解：错误。例如与的和为0，0是有理数.
（2）解：错误.例如与的积为2是有理数.
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】 此题考查无理数的基本性质和运算规则，主要涉及两个无理数相加或相乘的结果是否一定是无理数的问题.无理数是指无法表示为两个整数比的数，比如 π 、等。
10．【答案】解：点A表示，点B表示，点C表示0，点D表示，点E表示，
.
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【分析】，由此可得点A表示，点B表示，点C表示0，点D表示，点E表示，再利用数轴上的位置对数进行大小比较.
11．【答案】A
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵N与Q互为相反数，
∴
故答案为：A .
【分析】根据题意可知N与Q互为相反数，进而得到：进而即可求解.
12．【答案】A
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴原式=
=
=
故答案为：A.
【分析】易知然后根据绝对值的定义化简计算即可.
13．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解： 因为数轴上表示1， 的点分别为A，B，
所以AB=-1，
因为点B关于点A的对称点为C，所以AC=AB，
所以点C表示的数是1-(-1)=2-，
故选：C.
【分析】根据点A，B的坐标可知AB的长度，而点B关于点A 的对称点为C，则AC=AB，知道两点的距离，求较小的数，用较大的数减去两点的距离即可.
14．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵7＜9＜15，
∴，即，即a=3.
故答案为：3.
【分析】先找到一个平方数介于7、15之间，然后求算术平方根即可.
15．【答案】6560
【知识点】无理数的估值；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵最后的结果为2，
∴第3次参与运算的最大数为即
∴最大的正整数为8.
∴此时第2次参与运算的最大数为即 ，
∴第1次的结果最大为80，
∴第1次参与运算的最大数为即
故答案为：6560
【分析】根据题意得到第3次参与运算的最大数为8，即 进而即可得到此时第2次参与运算的最大数为为80，即 ，从而即可得到第1次的结果最大为80，再结合题意根据有理数的乘方即可求解。
16．【答案】解：这个数是无理数。 从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0。这意味着，该数的小数部分是无限长的，并且没有出现循环的模式。因此，根据无理数的定义，我们可以确定题目中的数是无理数。
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】 首先，需要明确无理数的定义，即无限不循环小数。然后，根据题目中给出的数的特性，分析该数是否符合无理数的定义。
17．【答案】（1）2024
（2）解：整数部分是．理由：
∵为正整数，
∴，
∴，
∴，
即，
∴（为正整数）的整数部分为．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）因为 且 所以 的整数部分是1；
因为 且 所以 的整数部分是2；
因为 且 所以 的整数部分是3；
……
故的整数部分是2024，
故答案为：2024
【分析】（1）根据题目给出的例子结合无理数的估值即可求解；
（2）根据题意得到，则，，即，从而即可得到整数部分。
18．【答案】（1），，
（2）解：小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵图中大正方形边长为面积为2，
大正方形的面积还可以表示为
∴
略去得：
∴
∴
故答案为：，，.
【分析】（1）通过大正方形的面积的两种不同表示方法得到方程，进而即可求解；
（2）在网格中分别找到和的长方形，依次连接其顶点即可求解.
1 / 1沪科版（2024）数学七年级下册 6.2 无理数和实数 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025七上·上城期末）估计的值更接近（ ）
A．3 B．4 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴的值更接近3，
故答案为：A.
【分析】根据无理数的估算解题即可.
2．（2025七上·上城期末）下列实数中的无理数是（ ）
A． B． C．-3.14 D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： A：是有理数；
B：是无理数；
C：-3.14是有理数；
D：，是有理数；
故答案为：B.
【分析】根据无理数是无限不循环小数解题即可.
3．（2025七上·海曙期末）下列各数中，最小的数是（ ）
A．-1 B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
，
∴最小的数是：
故答案为： B.
【分析】利用实数大小的比较方法： 正数总是大于零，负数总是小于零；两个负数，绝对值大的反而小解题即可.
4．（2025七上·慈溪期末）下列说法正确的是（ ）
A．0没有相反数 B．4的平方根是2
C．的整数部分是 4 D．两点之间线段最短
【答案】D
【知识点】无理数的估值；两点之间线段最短；相反数的意义与性质；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A、0的相反数是0，则A不符合题意；
B、4的平方根是： 则 B不符合题意；
C、 那么 的整数部分是3，则C不符合题意；
D、两点之间线段最短，则D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相反数的定义，平方根的定义，估算无理数的大小，线段公理逐项判断即可.
5．（2025八上·龙岗期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴实数在数轴上的对应点可能是C点
故答案为：C
【分析】进行无理数的估值即可求出答案.
6．（2025七上·镇海区期末）下列各数中： ，无理数的个数为（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：|-3|=3，
无理数为 ，共2个，
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数是无理数”解题即可.
7．（2025八上·深圳期末）如图，将一个半径为1的圆沿数轴正方向滚动，已知点A在数轴上对应的数是1，则滚动一周后点A的对应点A所表示的数为 .
【答案】2 +1
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：圆滚动的距离为圆的周长2π，
∵圆沿着数轴正方向滚动一周，
∴此时点A表示的数是1＋2π．
故答案为：1＋2π．
【分析】先利用圆的周长公式列出算式求出周长，再结合数轴直接求出点A表示的数即可.
8．一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数n-1与n之间，则 .
【答案】5
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，正方形的边长为
∵
∴
∵
∴
故答案为：.
【分析】根据题意可得正方形的边长为，估算得出，即可求解．
9．（浙教版（2024）数学教材习题七年级上册3.4 实数的运算） 判断下面的说法是否正确，并举例说明理由。
（1） 两个无理数的和一定是无理数；
（2） 两个无理数的积一定是无理数。
【答案】（1）解：错误。例如与的和为0，0是有理数.
（2）解：错误.例如与的积为2是有理数.
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】 此题考查无理数的基本性质和运算规则，主要涉及两个无理数相加或相乘的结果是否一定是无理数的问题.无理数是指无法表示为两个整数比的数，比如 π 、等。
10．（浙教版（2024）数学教材习题七年级上册3.2 从有理数到实数） 请将下列实数与它们在数轴上的对应点连起来，并把它们按从小到大的顺序排列，用“<”连接。
。
【答案】解：点A表示，点B表示，点C表示0，点D表示，点E表示，
.
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【分析】，由此可得点A表示，点B表示，点C表示0，点D表示，点E表示，再利用数轴上的位置对数进行大小比较.
二、能力提升
11．如图，若四个实数在数轴上的对应点分别为M，N，P，Q，则下列实数中，绝对值最大的是（ ）
A．点P表示的数 B．点Q表示的数 C．点M表示的数 D．点N表示的数
【答案】A
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵N与Q互为相反数，
∴
故答案为：A .
【分析】根据题意可知N与Q互为相反数，进而得到：进而即可求解.
12．计算 的结果是( )
A．5.14-π B． C． D．- 1.14+π
【答案】A
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴原式=
=
=
故答案为：A.
【分析】易知然后根据绝对值的定义化简计算即可.
13．如图，已知数轴上表示1， 的点分别为A，B，点 B 关于点A 的对称点为C，则点C 表示的数是（ ）
A．-1 B．1- C．2- D．-2
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解： 因为数轴上表示1， 的点分别为A，B，
所以AB=-1，
因为点B关于点A的对称点为C，所以AC=AB，
所以点C表示的数是1-(-1)=2-，
故选：C.
【分析】根据点A，B的坐标可知AB的长度，而点B关于点A 的对称点为C，则AC=AB，知道两点的距离，求较小的数，用较大的数减去两点的距离即可.
14．（2024七上·嘉兴期末） 若整数 满足 ， 则 的值为 。
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵7＜9＜15，
∴，即，即a=3.
故答案为：3.
【分析】先找到一个平方数介于7、15之间，然后求算术平方根即可.
15．（【牵手重高 】培优教程 第五讲 实数的运算）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如，现对82进行如下操作：.这样只需要对82进行3次操作就可得到1.类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后就可得到2的所有正整数中，最大的正整数是 .
【答案】6560
【知识点】无理数的估值；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵最后的结果为2，
∴第3次参与运算的最大数为即
∴最大的正整数为8.
∴此时第2次参与运算的最大数为即 ，
∴第1次的结果最大为80，
∴第1次参与运算的最大数为即
故答案为：6560
【分析】根据题意得到第3次参与运算的最大数为8，即 进而即可得到此时第2次参与运算的最大数为为80，即 ，从而即可得到第1次的结果最大为80，再结合题意根据有理数的乘方即可求解。
16．已知数0.101 001 000 100 001…， 它的特点是： 从左向右看， 相邻的两个1之间依次多一个0. 这个数是有理数还是无理数 为什么
【答案】解：这个数是无理数。 从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0。这意味着，该数的小数部分是无限长的，并且没有出现循环的模式。因此，根据无理数的定义，我们可以确定题目中的数是无理数。
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】 首先，需要明确无理数的定义，即无限不循环小数。然后，根据题目中给出的数的特性，分析该数是否符合无理数的定义。
三、拓展创新
17． 先阅读理解，再解决问题：
因为 且
所以 的整数部分是1；
因为 且
所以 的整数部分是2；
因为 且
所以 的整数部分是3；
……
（1） 的整数部分是 ；
（2） (n为正整数)的整数部分是多少 试说明理由.
【答案】（1）2024
（2）解：整数部分是．理由：
∵为正整数，
∴，
∴，
∴，
即，
∴（为正整数）的整数部分为．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）因为 且 所以 的整数部分是1；
因为 且 所以 的整数部分是2；
因为 且 所以 的整数部分是3；
……
故的整数部分是2024，
故答案为：2024
【分析】（1）根据题目给出的例子结合无理数的估值即可求解；
（2）根据题意得到，则，，即，从而即可得到整数部分。
18．（2024七下·安陆期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题.
（1）到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整，并将答案填写在答题卡上：
我们知道面积是2的正方形边长是，且.设，画出如下示意图.
由面积公式，可得.
因为值很小，所以更小，略去，
得方程（②），解得（保留到0.001），即.
（2）怎样画出？请一起参与小敏探索画过程.
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.
要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为.依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得.把图（1）如图所示进行分割，请在图2中用实线画出拼接成的新正方形.
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图3，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图4中用实线画出拼接成的新正方形.说明：直接画出图形，不要求写分析过程.
【答案】（1），，
（2）解：小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵图中大正方形边长为面积为2，
大正方形的面积还可以表示为
∴
略去得：
∴
∴
故答案为：，，.
【分析】（1）通过大正方形的面积的两种不同表示方法得到方程，进而即可求解；
（2）在网格中分别找到和的长方形，依次连接其顶点即可求解.
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