数学-湖南省佩佩教育2025届2月高三开学联考（PDF版，含解析）

佩佩教育 2025 届 2 月湖南高三联考
数学
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 A = {x∣x -1
ì 1 ü
<1}， B = íx > 0x 1
，则 A B = （ ）
-
A.{x∣0 < x < 2} B.{x∣1 < x < 2}
C. x∣x > 0 D. x∣x >1
2.设复数 z = x + y × i, x, y R 满足 z + z = z ，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）
A.射线 y = ± 3x x… 0 上 B.射线 y 3= ± x x… 0 上
3
C.直线 y = ±2x 上 D.直线 y = ±x 上
r r r r
3.已知向量 a = 3,1 ar π，向量 与向量b 的夹角为 ，则 a - b 的最小值为（ ）3
A.2 B. 3 C. 2 D.1
4.设 a = log43,b = log53,c = log45 ，则（ ）
A. a > c > b B. b > c > a
C. c > b > a D. c > a > b
5. a 15-n数列 n 中， an > 0, a1an = 2 ，若Tn 是数列 an 的前 n 项积，则Tn 的最大值（ ）
A. 228 B. 236 C. 256 D. 272
π
6.已知函数 f x = sinwx + acoswx w > 0 的最小正周期为 π，且函数 y = f x + ÷ 为奇函数，则当
è 3
x 0,2π 时，曲线 y = f x 与 y = cosx的交点个数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
7.设函数 f x = x - cosx a, g x ax2 x x π , π- = + - ，当 ÷时，方程 f x = g x 有且只有一个实
è 2 2
根，则 a =（ ）
A.2 B.1 C. -2 D. -1
8.在四面体 ABCD中， BC = 2, ABC = BCD = 90o ，且 AB 与CD所成的角为60o .若该四面体
ABCD 3 3的体积为 ，则它的外接球半径的最小值为（ ）
2
A. 3 B.2 C.3 D. 10
二 多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.某公司为保证产品生产质量，连续 10 天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现次品的件
数的一组样本数据：13,14,13,11,15,13,12,15,11,13，则（ ）
A.极差是 4 B.众数等于平均数
C.方差是 2 D.第 25 百分位数为 12
10.设点M 是曲线C : f x 4= ax - a R 上一点，曲线C 在点M 处的切线为 l ，则（ ）
x
A. "a R ，函数 y = f x 为奇函数
B. "a R ，函数 y = f x 有且仅有一个极小值点
C.当 a = 0 时，直线 l 与两坐标轴围成的图形面积为 8
D.当 a R 时，直线 l 与直线 x = 0 和 y = ax所围成的图形面积为 8
11.某学习小组用曲线：C 21 : x = 4 + -y + 4y ,C2 : x = 4 + -y
2 - 4y 2和抛物线C3 : y = 2 px 部分曲线围
成了一个封闭的“心形线”，过C3 焦点 F 的直线 l 交C3 （包含边界点）于 A, B 两点，点O是坐标原点，
点 P 是C1 或C2 上的动点，下列说法正确的是（ ）
A. p = 2 B. | OP |max = 4 2
C. AB é4,
25ù 35
ê ú D. SVPAB 的最大值为 4 2
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. (x + b)5已知 = a5x
5 + a4x
4 + a3x
3 + a2x
2 + a1x + a0，若 a3 = 40，则b = __________.
2 2
13.已知双曲线C : x y2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的右顶点为 A，以 A为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A与双曲a b
π
线C 的一条渐近线交于M , N 两点.若 MAN = ，则C 的离心率为__________.
2
14.已知a 0,
π , b 0, π ÷ ÷ ，且 sinb = 3sinacos a + b ，则 tanb 的最大值是__________.
è 2 è 2
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
记VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知b = 2a ×sinB .
（1）求 A；
（2）若 tanC = tanA + tanB,c = 3，求VABC 的面积.
16.（本小题满分 15 分）
甲、乙两人进行 AI 知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有 3 道抢答题，每道题均有人抢答，
其计分规则为：初始甲、乙双方均为 0 分，答对一题得 1 分，答错一题得-1分，未抢到题得 0 分，最后累
1 1
计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为 和 .求：
2 3
（1）甲在每轮比赛中获胜的概率；
（2）甲前二轮累计得分恰为 4 分的概率.
17.（本小题满分 15 分）
如图，在多面体 DABCE 中， AB = AC = BC = AD = 2, DB = DC = EB = EC = 2, BC 的中点为O .
（1）求证： A, D,O, E 四点共面；
（2 7）若直线 DE 与平面 ACD 所成角的正弦值为 ，求二面角 A - BC - E 的余弦值.
7
18.（本小题满分 17 分）
已知函数 f x a= 和 g x x + b= 的图象在 x =1处有相同的切线.
x +1 2x
（1）求实数 a 和b 的值；
f xh x （2）求函数 = 的极值；g x
mlnx
（3）当 x >1时，不等式 f x < < g x 恒成立，求实数m 的取值集合.
x -1
19.（本小题满分 17 分）
x2 y2 é 2 ù
已知椭圆C1 : 2 + 2 =1 a > b > 0 经过点M ê1, ú，其右顶点为 A1，上顶点为 B1,O 为坐标原点，且a b 2
2
离心率为 .
2
（1）设C1 在点M 处的切线 l ，其斜率为 k1,OM 的斜率为 k2 ，求 k1 × k2 的值；
（2）过C1 在第一象限的点 P1作椭圆C1 的切线，分别与 x 轴， y 轴交于点 A2 , B2 ，且 P1为线段 A2B2 的中
点，记以点O为中心， x 轴， y 轴为对称轴，且过点 A2 , B2 的椭圆为C2 ，依此类推，，L，过椭圆Cn 在
第一象限的点 Pn 作椭圆Cn 的切线，分别与 x 轴， y 轴交于点 An+1 ， Bn+1 ，且 Pn 为线段 An+1Bn+1的中点，
记以点O为中心， x 轴， y 轴为对称轴，且过点 An+1 ， Bn+1 的椭圆为Cn+1，由此得到一系列椭圆
C1,C2 ,C3 ,L,Cn ,Cn+1 .
（i）求Cn 的方程；
（ii）过点 1,0 作直线 l 与椭圆Ck 分别交于Qk , Rk ，求证：
Q 2 21R1 Q2R2 QnR
2
+ +L+ n n -1 1> + .
Q2R
2
2 Q R
2 Q R 2 2 2n+13 3 n+1 n+1
2 2
（附：若T x , y x y x x y y0 0 为椭圆 + =1上一点，则椭圆在点T 处的切线方程为： 0 0a2 b2 a2
+ 2 =1）b
佩佩教育·2025 届 2 月湖南高三联考卷
数学参考答案
1.C 【解析】因为 A = {x∣x -1 <1} = {x 0 < x < 2} 1∣ ，由 > 0，解得 x >1，则 B = x∣x >1 ，所以
x -1
A B = x∣x > 0 ，故选 C.
2.A 【解析】设 z = x + yi, x, y R, z + z = 2x = z = x2 + y2 y = ± 3x x… 0 ，故选 A.
r r r r r r r r r r
3.B 【解析】设 b = x ，又 a = 2，所以 a - b = (a - b)2 = a2 - 2a ×b + b 2 = x2 - 2x + 4 ，
r
所以当 x =1时， | ar - b |min = 3 ，故选 B.
lg3 lg3
4.D 【解析】因为 a = log43 < log4 4 =1,b = log53 <1,c = log45 >1，其中 a = ,b = ，lg4 lg5
a b lg3 lg3
lg3 lg5 - lg4
所以 - = - = > 0 ，所以 c > a > b，故选 D.
lg4 lg5 lg4 lg5
15-n
5.A a2 = 214 7 2【解析】依题意得， 1 ,a1 = 2 ，所以 a 8-nn = = 2 ，所以27
-n2 +15n
28
Tn = a a La = 2
7 ×26 L28-n = 27+6+L+ 8-n = 2 2 ，所以当 n = 7 或 8 时，Tn 取得最大值为 2 ，故1 2 n
选 A.
6.B 【解析】由已知函数 f x 的最小正周期为 π，得w = 2 .
π π
所以 f x = sin2x + acos2x = a2 +1sin 2x +j ，其中 tanj = a ，且j - , ÷，
è 2 2
f x π 又由 + ÷ 为奇函数知函数 f x
π
图象的一个对称中心为 ,0÷，
è 3 è 3
π
则有 2 +j = π + kπ, k Z ，
3
π
解得j = + kπ, k π Z ，所以j = ，
3 3
f x 2sin 2x π 所以 a = tanj = 3 ，即 = + ÷ .
è 3
画出 f x = 2sin 2x
π
+ ÷与 g x = cosx图象如图所示：由图可知，曲线 y = f x .
è 3
与交点个数为 4，故选 B.
π π
7.D 【解析】由 f x = g x 得， ax2 + cosx + a = 0 .令 h x = ax2 + cosx + a, x - , ÷，则原问题
è 2 2
等价于 h x 有且仅有一个零点.因为 h -x = h x ，所以 h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知
h x 的零点只能为 0，即 h 0 =1+ a = 0，解得 a = -1 .
当 a = -1 2时，则 h x = -x + cosx -1, x π π - ,

÷ .因为-x2 0,cosx -1 0，
è 2 2
当且仅当 x = 0 时，等号成立，所以 h x 0，即 h x 有且仅有一个零点 0，所以 a = -1符合题意，故选
D.
8.B 【解析】依题意，可将四面体 ABCD补形为如图所示的直三棱柱 ABE - FCD .
因为 AB 与CD所成的角为60o ，所以 DCF = 60o 或120o .设CD = x,CF = y ，外接球半径记为 R ，外
接球的球心如图点O .易知 AF ∥平面 BCDE ，所以点 A到平面 BCDE 的距离等于点 F 到平面 BCDE
V V 1 1 1的距离，于是 A-BCD = F -BCD = × BC × S

VCDF = 2 xysin60
o 3
÷ = xy
3 3
= ，所以 xy = 9 .
3 3 è 2 6 2
2
在RtVOCO 中， R2 = OC 2 22 = OO2 + CO
2 =1+ DF 2 =1
1
+ DF 2 ，
è 2sin DCF ÷ 3
在VCDF 中，由余弦定理得 DF 2 = x2 + y2 - 2xycos DCF ，所以当 DCF = 60o 时，外接球的半径
1
会更小，此时 DF 2 = x2 + y2 - xy 2，所以 R =1+ x2 + y2 - xy …1 1+ 2xy - xy 1 1= + xy = 4，所以3 3 3
R… 2 ，故它的外接球半径的最小值为 2，故选 B.
9.ABD 【解析】数据从小到大排列为：11,11,12,13,13,13,13,14,15,15 .
对于选项 A，该组数据的极差为15 -11 = 4，故 A 正确；
11 2 +12 +13 4 +14 +15 2
对于选项 B，众数为 13，平均数为 =13，所以众数与平均数相等，故 B 正
10
确；
1
对于选项 C，方差 é (11-13)
2 2 + (12 -13)2 1+ (13 -13)2 4 + (14 -13)2 1+ (15 - 31)2 2 ù =1.8 ，10
故 C 错误；
对于选项 D，由10 25% = 2.5，则第 25 百分位数为 12，故 D 正确，故选 ABD.
10.ACD 【解析】对于选项 A，因为 f -x = - f x ，故 A 正确；
对于选项 B，当 a < 0 时， y = f x 无极小值和极大值，故 B 错误；
-4 4 -4
对于选项 C，当 a = 0 时， f x = , f x = 2 ，设M x ,x x 0 x ÷ ，则切线为 l 的方程为è 0
y 4 4 + = 2 x - x0
-8
x x ，它与两坐标轴的交点分别为
A 2x0 ,0 和 B 0, ÷ ，它们围成的图形面积
0 0 è x0
s 1= × 2x 80 × = 8，故 C 正确；2 x0
f x a 4
4
对于选项 D，当 a R 时， = + 2 .设M x0 , ax0 - ，则切线为 l 的方程为x è x
÷
0

y - ax
4 4
0 - ÷ = a + 2 ÷ x x C 0,
-8
- ，它与直线 x = 0 的交点为 ，它与直线 y = ax的交点为
è x0 è x
0
0 è x
÷
0
D 2x0 , 2ax
8
0 ，它们围成的图形面积 s
1
= OC x 1D = . 2x0 × = 8，故 D 正确，故选 ACD.2 2 x0
11.ACD 【解析】C1 : x = 4 + -y
2 + 4y 可变形为 (x - 4)2 + (y - 2)2 = 4 x… 4 ，表示以C1 4,2 为圆
心，2 为半径的圆的右半部分，C : x = 4 + -y2 - 4y 可变形为 (x - 4)2 + (y + 2)2 = 4 x… 42 ，表示以
C2 4, -2 为圆心，2 为半径的圆的右半部分.
对于 A 2选项，抛物线C3 : y = 2 px 过点 4,4 ，解得 p = 2 ，故 A 正确；
对于 B 选项，当点O,C1, P三点共线时， | OP |max = 2 + 2 5 > 4 2 ，故 B 选项错误；
对于 C 选项，因为 AB 是抛物线的焦点弦，所以当 AB 为通径时， | AB |min = 4；如图，直线 EG 的方程为
y 4= x -1 2，代入抛物线C3 : y = 4x并整理得3 4x
2 -17x + 4 = 0，
17
所以 xE + xG = ，此时弦 AB 最长，4
且 | AB | 25max = xE + xG + 2 = ，故 C 正确；4
对于 D 选项，由对称性不妨设 AB : x = my +1 m… 0 4，当 B 在G 点时， kmin = ，3
所以m é
3
ùê0, ú ，显然离 AB 最远的点 P 在C2 上， 4
2m + 3
且 dP-l dC2 -l + r = + 2 .m2 +1
ìx = my +1
联立 í ，整理得 y22 - 4my - 4 = 0，则 yA + yB = 4m, yA × yB = -4，
y = 4x
则 AB = 1+ m2 yA + y
2
B - 4yA yB = 4 m2 +1 ，
1 1 2 2m + 3 S 2 2所以 VPAB = AB dP-l 4 m +1 + 2÷ = 2 m +1 2m + 3 + 4 m +1 ，2 2 è m2 +1
设 h m = 2 m2 3+1 2m + 3 + 4 m2 +1 ，易得 h m é ù在 ê0, ú 上单调递增，所以 S4 VPAB 的最大值为
h 3 35 ÷ = ，故 D 正确，故选 ACD.
è 4 2
12. ±2 (x + b)5 = a x5 + a 4 3【解析】由 5 4x + a3x + a
2
2x + a1x + a0及 a3 = 40 C
2 ×b2，得 5 = 40，解得
b = ±2 .
13. 2 【解析】如图所示，设 P 是线段MN 之中点.
π
由题意可知OA = a, AN = AM = b, MAN = ，
2
2
所以 AP 2= b,OP = OA2 - PA2 = a2 b- .
2 2
b
设双曲线C 的一条渐近线 y = x 的倾斜角为q ，
a
2 b
则 tanq
AP
= = 2
OP ，
a2 b
2
-
2
2 b
tanq b= 2
b
又 ，所以 = ，解得 a2 = b2 ，a 2 aa2 b-
2
b2
所以 e = 1+ = 2 .
a2
3
14. 【解析】因为 sinb = 3sinacos a + b ，所以
4
sin a + b cosa - cos a + b sina = 3sinacos a + b ，
即 sin a + b cosa = 4cos a + b sina ，即 tan a + b = 4tana .
tan a + b - tana
又 tanb
3tana 3
= = 2
1
，等号当且仅当 tana = 时成立，所以 tanb 的最大值1+ tana tan a + b 1+ 4tan a 4 2
3
是 .
4
15.【解析】（1）由b = 2asinB ，及正弦定理得 sinB = 2sinAsinB，
B sinB > 0 sinA 2因为 为三角形内角，故 ，故得 = ，
2
π 3π
又 A为三角形内角，\ A = 或 .
4 4
（2）由 tanC = -tan A + B = tanA + tanB
tanA + tanB
得- = tanA + tanB ，
1- tanAtanB
又 tanA + tanB 0,\ tanAtanB
π
= 2，所以 A, B 0, 2 ÷
.
è
由（1）得 tanA =1，故 tanB = 2,\ tanC = tanA + tanB = 3
而 A, B,C 2 2 5 3 10为三角形内角，\sinA = ,sinB = ,sinC = .
2 5 10
a c csinA
由正弦定理 = ，得 a = = 5 ，
sinA sinC sinC
故VABC 1的面积 S = acsinB 1 5 2 5= 3 = 3 .
2 2 5
16.【解析】（1）设甲在一轮比赛中获胜为事件 A，甲在一轮比赛中共抢到 i i = 0,1,2,3 道题为事件
Ai i = 0,1,2,3 ，则
3 3 3 3
P A 1= 13 ÷ = , P A2 = C2
1 3
3 ÷ = , P A C1
1 3= = , P A = 1 1= ，
è 2 8 è 2 8 1 3 2 ÷ 8 0 ÷è è 2 8
1 3 2P A A C2 1 1 1 1 1
2 1 1 1 7
又 ∣ 3 = ÷ + 3 ÷ -
= , P A A = + C1 × × 1- ∣
2 2 2 ÷ 2 2 2 ÷ 2 2 2 ÷
1- ÷ = ，
è è è è è è 3 12
3 2
P A∣A1
1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 20
= × + 2 × × + 1- × × = , P A A = ∣ + C1 ÷ ÷ 0 ÷ 3 × × ÷ = ，2 è 3 3 3 3 è 2 3 3 3 è 3 3 è 3 27
所以 P A = P A3 P A∣A3 + P A2 P A∣A2 + P A1 P A∣A1 + P A0 P A∣A0
1 1 3 7 3 2 1 20 539
= × + × + × + × = .
8 2 8 12 8 3 8 27 864
（2）设甲前二轮累计得分恰为 4 分的事件为 B ，甲在一轮比赛中得 i分的事件为 Bi ，则
3 2
P B3 = P A
1 1
3 × ÷ = , P B2 = P A
1× 62 ÷ = ，
è 2 64 è 2 64
3
P B P A 1 P A C2 1 151 = 1 × + 3 × 3 × ÷ = ，2 è 2 64
所以 P B = P B2 × P B2 + 2P B1 × P B3
6
2
1 15 33= ÷ + 2 × × = .
è 64 64 64 2048
17.【解析】（1）连接 AO, EO, DO .
Q AB = AC,O为 BC 中点，\ AO ^ BC .
又 DB = DC,O 为 BC 中点，\DO ^ BC ，
Q AO DO = O, AO, DO 平面 ADO ，
\BC ^平面 ADO .
同理可证 BC ^ 平面 AEO .
又平面 ADO 平面 AEO = AO ，
故 A, D,O, E 四点共面.
（2）由（1）知 DO ^ BC, AOE 是二面角 A - BC - E 的平面角，
设 AOE = q , q 0, π .
又由 AB = AC = BC = 2, DB = DC = EB = EC = 2 得 AO = 3, DO =1，
又 AD = 2,\ AO2 + DO2 = AD2 ,\DO ^ AO ，
又 AO BC = O, AO, BC 平面 ABC,\DO ^ 平面 ABC .
如图，以O为坐标原点，OA,OB,OD 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系O - xyz ，则
O 0,0,0 , A 3,0,0 ,C 0, -1,0 , D 0,0,1 , E cosq ,0, -sinq ，
uuur uuur uuur
\CA = 3,1,0 ,CD = 0,1,1 , DE = cosq ,0,-sinq -1 .
r
设平面 ACD 的法向量为 n = x, y, z ，
r uuur
ìn ×CA = 0, ì 3x + y = 0,
则 í r uuur 即 í
n ×CD = 0, y + z = 0,
r
取 x =1，得 n = 1,- 3, 3 .
a ACD a 0,
π
设直线 DE 与平面 所成角为 ÷÷，
è è 2
uuur
DE nr× 7 cosq - 3sinq - 3sina = uuur = 7由题设知 r ，即7 =
，
DE n 7 × cos2q + (sinq +1)2 7
平方化简整理得 1+ sinq sinq - 3cosq +1 = 0，
q π 因为 0, ÷，所以1+ sinq 0 ，所以 sinq - 3cosq +1 = 0，
è 2
cos q π+ 1 π 3即 ÷ = ，解得q = ，所以6 2 cosq =
.
è 6 2
3
故所求二面角 A - BC - E 的余弦值为 .
2
18.【解析】（1） f x a= - 2 , g x
b
= - .
(x +1) 2x2
据题意有： f 1 = g 1 a 1+ b a b = , f 1 = g 1 - = - ，
2 2 4 2
联立解得 a = 2,b =1 .
f x 2 , g x x +1（2）由（1）知， = = .
x +1 2x
f x 4x
所以函数 h x = = , (x -1 且 x 0)，g x (x +1)2
4 1- x2
所以 h x = ，因此函数 h x 在 - ,-1 和 1, + 单
(x +1)4
调递减，在 -1,0 和 0,1 单调递增，
其大致图象如右，故函数 h x 只有唯一的极大值 h 1 =1，无极小值
2 mlnx x +1 2 x -1 1 1
（3）当 x >1时，不等式 < < 恒成立等价于不等式 < mlnx < x - 恒成立，
x +1 x -1 2x x +1 2 è x ÷
显然有m > 0 .
2 x -1令 F x = mlnx - , x >1，则 F x > 0恒成立.
x +1
F x m 4 m(x +1)
2 - 4x
而 = - = .
x (x +1)2 x(x +1)2
2 2
当m…1时， F x (x +1) - 4x (x -1)…
x(x +1)2
= > 0，
x(x +1)2
所以 F x 在 1, + 上单调递增，
所以，当 x >1时， F x > F 1 = 0 ，符合题意；
当0 < m <1 p x = m(x +1)2时，记 - 4x = mx2 + 2m - 4 x + m，则抛物线 y = p x 的开口向上，对称
2
轴为 x = -1 >1，
m
p 2 2
p x
又 -1÷ < p 1 = 4m - 4 < 0，所以，当 x

1, -1

÷时， p x < 0，从而 F x

= < 0，
è m è m x(x +1)2
所以 F x 在 1,
2
-1 ÷ 上单调递减，故当 x 1,
2
-1 ÷时， F x < F 1 = 0 ，不符合题意.
è m è m
所以m…1.
G x mlnx 1 x 1 再令 = - - ÷ , x >1，则G x < 0恒成立.2 è x
G x m x
2 +1 -x2 + 2mx -1
而 = - 2 = .x 2x 2x2
2
当m = 1时，G x -(x -1)= < 0，所以G x 在 1, + 上单调递减，所以，当 x >1时，
2x2
G x < G 1 = 0，符合题意.
当m > 1 2时，记 q x = -x + 2mx -1，则抛物线 y = q x 的开口向下，对称轴为 x = m >1，又
q m > q 1 = 2m - 2 > 0 ，所以，当 x 1, m 时， q x > 0 qG x x ，从而 = 2 > 0，所以G x 在2x
1, m 上单调递增，故当 x 1, m 时G x > G 1 = 0，不符合题意.
综上可知实数m 的取值集合为 1 .
1 1
19.【解析】（1）依得， 2 + 2 =1，又由 e
2
= 得，
a 2b a = 2b
，
2
2
解得b x=1, a = 2 ，故梢圆C1 方程为 + y2 =1 .2
1 2 1
又梢圆C1 在点M 处的切线 l 方程为 x + y =1，则 k1 = - .
2 2 2
k 2
1
又 2 = ，因此 kl × k2 = - .2 2
2 2
C : x y 1 P an+1 , b a
2 2
2 i + = n+1
C n+1 bn+1（ ）（ ）设 n 2 2 ，则 n ÷，代入 n 的楠圆方程得： + = 4 .a b è 2 2 a2 b2n n n n
b
A n+1
bn+1
又直线 n+1Bn+1的斜率 kn = - ka ，而 OP
=
n a .n+1 n+1
b2 b2 b2n n+1
则由（1）可知 kn × kOP = - 2 ，可知 2 =
n
2 .n an an+1 an
a2 2 2n+1 b= n+1 an+1 2 2因此
a2 b2
，即
a2
= 2 ，可得 an+1 = 2an ，
n n n
a2又 1 = 2
2 2 n-1 n
，因此 an = a1 ×2 = 2 .
b2 = 2b2 b2 = b2 × 2n-1 n-1同理可知： n+1 n ，即 n 1 = 2 .
2 2
故C x yn : .2n
+ =1
2n-1
（ii）①若直线 l 的斜率不为 0 时，则设直线 l : x = my +1，与椭圆Ck 联
ìx = my +1 2 2 k
立可知， í 2 ，可得 m + 2 y + 2my +1- 2 = 0，即 y + y
x + 2y
2 = 2k 1k 2k
-2m k
= 2 , y y
1- 2
= .
m + 2 1k 2k m2 + 2
4m2 - 4 m2 + 2 1- 2k 2 m2因此 Q R 2
k + 2k +1 - 2
k k = 1+ m
2 y 2 2 .1k - y2k = 1+ m 2 = 1+ mm + 2 m2 + 2
Q R 2 2k m2 + 2k +1k k - 2 1 1
从而 =
Q R 2 2k +1m2 + 2k +2
= -
- 2 2 2k +1m2 + 2k +2 - 2
k +1 k +1
1 1 1 1 1 1
… - = - > -
2 2k +2 - 2 2 2k +1 + 2k +1 - 2 2 2k +1
.
Q R 2 Q 2 21 1 2R2 Q RL n n n 1 1 1 12 + 2 + + 2 > - + + +L+

Q R Q R Q 2 4 8 16 2n+1 ÷2 2 3 3 n+1Rn+1 è
1 1 1 -

n 4 ֏ 2n n -1 1= - = + .
2 1 n+11- 2 2
2
Qk R
2
k 2ak
2
1
②若直线 l 的斜率为 0，则 = = ，
Q 2k +1Rk +1 2ak +1
2 2
Q 2 2 21R1 Q2R2 Q2RL n n n -1 1故 + + +
Q R 2 Q R 2 2
= > + n+1 .2 2 2
2 2 3 3 Qn+1Rn+1