【基础练】人教版数学八年级下学期 17.1勾股定理
一、选择题
1．（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为
故答案为：A．
【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。
2．（2022八上·双流月考）如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A．144 B．196 C．256 D．304
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：正方形B的面积=169-25=144，
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理及正方形的面积公式求解即可.
3．（2023八下·阳泉期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由图形可得：，
∴，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
B、由图形可得：，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
C、由图形可得：，
∴该选项不能证明勾股定理；
D、由图形可得：，
∴，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
故答案为：C.
【分析】结合图形，利用勾股定理证明求解即可。
4．（2024八下·吉林月考）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】由题意可得
点A处所表示的数为 ，
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理以及数轴上两点间的距离与表示的数的关系即可求解.
5．（2024八上·禅城月考）若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B． C．13或15 D．15
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得，直角三角形的斜边长为.
故选：A.
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，列式求出斜边长即可.
6．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离AD=3．
故选A．
7．（2023八上·萧县期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）；如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边分别为、，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边分别为、，大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，
∴，，
由得：，
得：，
得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据大正方形的面积是10，可得，根据小正方形的面积是2，可得，将这两个式子变形即可解决问题．
8．（2023八下·长沙期中） 如图，是等边三角形，边长为2，根据作图的痕迹，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得DB为∠ABC的角平分线，
∵是等边三角形，边长为2，
∴CB=2，CA⊥DB，∠CBA=60°，
∴，
∴CD=1，
由勾股定理得，
故答案为：B
【分析】先根据作图痕迹即可得到DB为∠ABC的角平分线，进而根据等边三角形的性质结合题意即可得到CB=2，CA⊥DB，∠CBA=60°，从而运用角平分线的性质结合含30°角的直角三角形的性质即可得到CD=1，最后运用勾股定理即可求解。
9．（2023八下·东莞期中）如图，在中，，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点，连接直线，分别交、于点、，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，MN是BC的垂直平分线，所以MC=BM=3，BN=CN，∠B=∠BCN
∵是直角三角形，BC=6，AB=10
∴AC==8
∵∠B+∠A=∠BCN+∠ACN=90°，∠B=∠BCN
∴∠A=∠ACN
∴CN=AN=BN
∴点N为AB的中点
∴BN=CN=5
∴MN==4
∴S △CMN=.
故答案为：B.
【分析】根据线段的垂直平分线得性质，可得MC=BM，BN=CN，∠B=∠BCN；根据勾股定理，可得AC得值；根据直角三角线得中线性质，可得∠B=∠BCN；最后根据勾股定理和三角形面积公式，可得 的面积.
10．（2021八下·咸宁期末）将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC=
=13，则在杯外的最小长度是24-13=11cm.
所以h的取值范围是11≤h≤12.
故答案为：C
【分析】由题意可知：当筷子垂直放置在杯内壁时，筷子在杯内的长度最小，杯外的长度最大；当筷子斜放置在杯内壁且与底面圆直径、杯壁构成直角三角形时，筷子在杯内的长度最大，杯外的长度最小，分别计算h的值，即可求解.
二、填空题
11．（2024八下·德庆期中）如图， ．
【答案】15
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知：
故答案为：15.
【分析】根据图形利用勾股定理计算即可求解.
12．（2023八下·滨海期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：AC=7m，BC=5m，
由勾股定理得AB==m，
故答案为：.
【分析】利用勾股定理进行计算即可.
13．（2024八下·南开期中）在直角坐标系中，点到原点的距离是 ．
【答案】5
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵点，
∴点P到原点的距离为
∴点到原点的距离是.
故答案为：.
【分析】直接利用勾股定理求出点到原点的距离即可.
14．（2020八下·官渡月考）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在距离根部4m处，这棵大树在折断前的高度为 m．
【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由勾股定理知，折断部分为5m，3+5=8m，所以大树高为8m.
【分析】考查勾股定理应用，以及常见的勾股数
15．（2024八下·江城期末）在中，斜边，则 ．
【答案】200
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，斜边，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：200
【分析】先根据勾股定理得到，进而等量代换代入即可求解.
三、解答题
16．（2022八下·杭州月考）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AC= ，BC= ，CD= ，请计算A，B两个凉亭之间的距离.
【答案】解：在Rt△CDA中，∵AC＝ ，CD= ，
∴AD2＝AC2 CD2，AD= ．
在Rt△CDB中，∵CD= ，BC= ，
∴BD2＝BC2 CD2，BD=
∴AB＝BD-AD=
答：A，B两个凉亭之间的距离为 ．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△CDA和Rt△CDB中利用勾股定理分别求出AD、BD长，再由AB＝BD-AD，代入数据计算即可得出两个凉亭之间的距离．
17．（2024八下·娄星期末）如图，在中，，点位于上，于点，且．
（1）求证：≌；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
在 和中，
，
≌
（2）解：，，，
，
又≌
，
，
，，
在中，，
，
，
解得 ，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证△ACE≌△AFE；
（2）在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB的值，根据（1）中的全等三角形可得AC=AF，由线段的构成BF=AB-AF、BE=BC-CE求得BF、BE的值，在Rt△BEF中，用勾股定理可得关于EF的方程，解方程求出EF的值，则CE的值可求解.
18．（2020八下·福州期末）水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
【答案】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（ ）2=（x+1）2，
解得：x=12，
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
19．（2021八下·珲春期中）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，则梯子的底部向外滑多少米？
【答案】解：∵在中，
∴
∴
∵在中
∴
∴．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求出CE的长，再求出CD的长，最后利用AD=CD-AC计算即可。
20．（2024八下·南昌期中） 如图，在中，，，．
（1）求的长；
（2）若点为线段上一点，连接，且，求的长．
【答案】（1）解：在中，，，
，
；
（2）解：设，则．
在中，
，
，
解得，
．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求得；
（2）设AP=x，则BP=CP=16-x，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得.
1 / 1【基础练】人教版数学八年级下学期 17.1勾股定理
一、选择题
1．（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2022八上·双流月考）如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A．144 B．196 C．256 D．304
3．（2023八下·阳泉期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·吉林月考）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·禅城月考）若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B． C．13或15 D．15
6．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023八上·萧县期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）；如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边分别为、，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·长沙期中） 如图，是等边三角形，边长为2，根据作图的痕迹，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2023八下·东莞期中）如图，在中，，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点，连接直线，分别交、于点、，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021八下·咸宁期末）将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024八下·德庆期中）如图， ．
12．（2023八下·滨海期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ．
13．（2024八下·南开期中）在直角坐标系中，点到原点的距离是 ．
14．（2020八下·官渡月考）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在距离根部4m处，这棵大树在折断前的高度为 m．
15．（2024八下·江城期末）在中，斜边，则 ．
三、解答题
16．（2022八下·杭州月考）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AC= ，BC= ，CD= ，请计算A，B两个凉亭之间的距离.
17．（2024八下·娄星期末）如图，在中，，点位于上，于点，且．
（1）求证：≌；
（2）如果，，求的长．
18．（2020八下·福州期末）水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
19．（2021八下·珲春期中）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，则梯子的底部向外滑多少米？
20．（2024八下·南昌期中） 如图，在中，，，．
（1）求的长；
（2）若点为线段上一点，连接，且，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为
故答案为：A．
【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：正方形B的面积=169-25=144，
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理及正方形的面积公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由图形可得：，
∴，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
B、由图形可得：，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
C、由图形可得：，
∴该选项不能证明勾股定理；
D、由图形可得：，
∴，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
故答案为：C.
【分析】结合图形，利用勾股定理证明求解即可。
4．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】由题意可得
点A处所表示的数为 ，
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理以及数轴上两点间的距离与表示的数的关系即可求解.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得，直角三角形的斜边长为.
故选：A.
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，列式求出斜边长即可.
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离AD=3．
故选A．
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边分别为、，大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，
∴，，
由得：，
得：，
得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据大正方形的面积是10，可得，根据小正方形的面积是2，可得，将这两个式子变形即可解决问题．
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得DB为∠ABC的角平分线，
∵是等边三角形，边长为2，
∴CB=2，CA⊥DB，∠CBA=60°，
∴，
∴CD=1，
由勾股定理得，
故答案为：B
【分析】先根据作图痕迹即可得到DB为∠ABC的角平分线，进而根据等边三角形的性质结合题意即可得到CB=2，CA⊥DB，∠CBA=60°，从而运用角平分线的性质结合含30°角的直角三角形的性质即可得到CD=1，最后运用勾股定理即可求解。
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，MN是BC的垂直平分线，所以MC=BM=3，BN=CN，∠B=∠BCN
∵是直角三角形，BC=6，AB=10
∴AC==8
∵∠B+∠A=∠BCN+∠ACN=90°，∠B=∠BCN
∴∠A=∠ACN
∴CN=AN=BN
∴点N为AB的中点
∴BN=CN=5
∴MN==4
∴S △CMN=.
故答案为：B.
【分析】根据线段的垂直平分线得性质，可得MC=BM，BN=CN，∠B=∠BCN；根据勾股定理，可得AC得值；根据直角三角线得中线性质，可得∠B=∠BCN；最后根据勾股定理和三角形面积公式，可得 的面积.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC=
=13，则在杯外的最小长度是24-13=11cm.
所以h的取值范围是11≤h≤12.
故答案为：C
【分析】由题意可知：当筷子垂直放置在杯内壁时，筷子在杯内的长度最小，杯外的长度最大；当筷子斜放置在杯内壁且与底面圆直径、杯壁构成直角三角形时，筷子在杯内的长度最大，杯外的长度最小，分别计算h的值，即可求解.
11．【答案】15
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知：
故答案为：15.
【分析】根据图形利用勾股定理计算即可求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：AC=7m，BC=5m，
由勾股定理得AB==m，
故答案为：.
【分析】利用勾股定理进行计算即可.
13．【答案】5
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵点，
∴点P到原点的距离为
∴点到原点的距离是.
故答案为：.
【分析】直接利用勾股定理求出点到原点的距离即可.
14．【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由勾股定理知，折断部分为5m，3+5=8m，所以大树高为8m.
【分析】考查勾股定理应用，以及常见的勾股数
15．【答案】200
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，斜边，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：200
【分析】先根据勾股定理得到，进而等量代换代入即可求解.
16．【答案】解：在Rt△CDA中，∵AC＝ ，CD= ，
∴AD2＝AC2 CD2，AD= ．
在Rt△CDB中，∵CD= ，BC= ，
∴BD2＝BC2 CD2，BD=
∴AB＝BD-AD=
答：A，B两个凉亭之间的距离为 ．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△CDA和Rt△CDB中利用勾股定理分别求出AD、BD长，再由AB＝BD-AD，代入数据计算即可得出两个凉亭之间的距离．
17．【答案】（1）证明：，
，
，
在 和中，
，
≌
（2）解：，，，
，
又≌
，
，
，，
在中，，
，
，
解得 ，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证△ACE≌△AFE；
（2）在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB的值，根据（1）中的全等三角形可得AC=AF，由线段的构成BF=AB-AF、BE=BC-CE求得BF、BE的值，在Rt△BEF中，用勾股定理可得关于EF的方程，解方程求出EF的值，则CE的值可求解.
18．【答案】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（ ）2=（x+1）2，
解得：x=12，
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
19．【答案】解：∵在中，
∴
∴
∵在中
∴
∴．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求出CE的长，再求出CD的长，最后利用AD=CD-AC计算即可。
20．【答案】（1）解：在中，，，
，
；
（2）解：设，则．
在中，
，
，
解得，
．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求得；
（2）设AP=x，则BP=CP=16-x，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得.
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