苏科版数学七年级下册7.2幂的乘方与积的乘方（分层练习）
一、基础夯实
1．（2024七下·张店月考）下列计算中：①；②；③；④，错误的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023七下·邗江期末）计算的结果是 ．
3． 已知 ， 那么 （用含 的代数式表示）．
4．（2024七下·锦江期中）计算： ．
5．（2024七下·兴庆期中）计算：
（1）；
（2）．
6．（2024七下·岳阳期末）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，通常，一个“二维码”由个大大小小的黑白小方格组成，这个方格中只有个方格作为数据码，据相关数学知识，这个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对 的理解如下：
A：就是个相乘，它是一个非常非常大的数；
B： 等于 ；
C： 的个位数字是 6；
D：我知道 所以我估计 比 大．
其中对的理解错误的网友是： (填写网名字母代号).
7．（2024七下·西安月考）图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）的杯子中，请回答以下问题（单位： ）
（1）求杯子的容积；（用含的代数式表示）
（2）当，时，一共需要多少个这样的杯子．
二、巩固提高
8．（2024七下·秦淮期中）已知，则、、的大小关系为 (用“”号连接)．
9．（2024七下·常德期末）已知：，则的值为 ．
10．（2024七下·宽城期末）若a不为0，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024七下·石家庄期中）已知，则 ．
12．（2024七下·永定期中）比较与的大小关系是 （填“”、“”或“”）．
13． 用简便方法计算下列各题：
（1） ．
（2） ．
14．（2023七下·江都期中）
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
15．（2024七下·连云港期中）阅读下列材料：
若，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).
解：因为，所以，
所以.
解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_
A.同底数幂的乘法 B.同底数幂的除法 C.幂的乘方 D.积的乘方
(2)已知，试比较x与y的大小．
三、拓展提升
16．（2023七下·定边期末）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较和的大小：因为，，所以．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）比较大小： （填“”或“”）
（2）已知，，，试比较，，的大小．
17．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(即log28=3)．一般地，若an=b (a>0且a≠1，b>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为Iogab(即logab=n)．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381=4) ．
（1）计算以下各对数的值：log24= ，log216= ，log264=
（2）观察(1)中三个数4，16，64之间满足怎样的关系式，log24，log216，log264之间满足怎样的关系式．
（3）根据(2)结果，归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN= (a>0且a≠1，M>0，N>0)．
（4）根据幂的运算法则：an·am=an+m以及对数的含义证明上述结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：①，故符合题意；
②，故符合题意；
③，故符合题意；
④，故符合题意；
∴计算错误的有4个，
故选：D．
【分析】根据积的乘方法则分别计算，再判断即可.
2．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
3．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴
故答案为：.
【分析】根据幂的乘方运算法则及同底数幂的乘法将待求式子变形为36x，再根据幂的乘方运算法则的逆用变形为(3x)6，最后整体代入进行计算，即可得到答案.
4．【答案】1
【知识点】积的乘方运算
5．【答案】（1）；
（2）．
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；积的乘方运算
6．【答案】B
【知识点】乘方的相关概念；积的乘方运算；有理数乘方的实际应用
7．【答案】（1）
（2）一共需要个这样的杯子
【知识点】多项式除以单项式；积的乘方运算
8．【答案】
【知识点】幂的乘方运算
9．【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
10．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；幂的乘方运算
11．【答案】40
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
12．【答案】<
【知识点】幂的乘方运算；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】∵，，32<81，
∴<，
故答案为：<.
【分析】先利用幂的乘方将和化简，再比较大小即可.
13．【答案】（1）解：原式=[×（-1.25）]2024=(-1)2024=1.
（2）解：原式=[
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【分析】根据积的乘方运算的逆用即可求解.
14．【答案】（1）解：，，
；
（2）解：，
．
.
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）将待求式子按同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方运算法则的逆用进行变形为（10m）3×（10n）2×10的形式，然后整体代入计算即可；
（2）由已知等式可得3m+2n=5，进而将待求式子按有理数乘方运算的逆用、幂的乘方运算法则及同底数幂的乘法运算法则进行计算，最后整体代入后按有理数的乘方运算法则算出结果.
15．【答案】＞ （1）C （2）
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
16．【答案】（1）
（2）解：因为，
，
，
且，
所以，
所以．
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴
【分析】（1）将题中两数化为相同底数再进行比较；（2）将题中三个数化为同指数，再进行比较.
17．【答案】（1）2；4；6
（2）解：∵4×16=64，且 log24=2，log216=4，log264=6.
∴ log24+log216=log264，
故答案为：log24+log216=log264.
（3）loga(MN)
（4）证明：设logaM=b1，logaN=b2，
则ab1=M ，ab2=N ，
∴MN=ab1·ab2=ab1+b2，
∴b1+b2= loga(MN)，
即 logaM+logaN= loga(MN).
【知识点】定义新运算；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1） log24=2，log216=4，log264=6.
故答案为：2，4，6；
（3）由（2）知： logaM+logaN= loga(MN)；
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）观察（1）结论，找出规律即可；
（3）由特殊到一般可得 logaM+logaN= loga(MN)；
（4）设logaM=b1，logaN=b2，再根据幂的运算法则及对数的定义证明即可.
1 / 1苏科版数学七年级下册7.2幂的乘方与积的乘方（分层练习）
一、基础夯实
1．（2024七下·张店月考）下列计算中：①；②；③；④，错误的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：①，故符合题意；
②，故符合题意；
③，故符合题意；
④，故符合题意；
∴计算错误的有4个，
故选：D．
【分析】根据积的乘方法则分别计算，再判断即可.
2．（2023七下·邗江期末）计算的结果是 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
3． 已知 ， 那么 （用含 的代数式表示）．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴
故答案为：.
【分析】根据幂的乘方运算法则及同底数幂的乘法将待求式子变形为36x，再根据幂的乘方运算法则的逆用变形为(3x)6，最后整体代入进行计算，即可得到答案.
4．（2024七下·锦江期中）计算： ．
【答案】1
【知识点】积的乘方运算
5．（2024七下·兴庆期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；积的乘方运算
6．（2024七下·岳阳期末）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，通常，一个“二维码”由个大大小小的黑白小方格组成，这个方格中只有个方格作为数据码，据相关数学知识，这个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对 的理解如下：
A：就是个相乘，它是一个非常非常大的数；
B： 等于 ；
C： 的个位数字是 6；
D：我知道 所以我估计 比 大．
其中对的理解错误的网友是： (填写网名字母代号).
【答案】B
【知识点】乘方的相关概念；积的乘方运算；有理数乘方的实际应用
7．（2024七下·西安月考）图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）的杯子中，请回答以下问题（单位： ）
（1）求杯子的容积；（用含的代数式表示）
（2）当，时，一共需要多少个这样的杯子．
【答案】（1）
（2）一共需要个这样的杯子
【知识点】多项式除以单项式；积的乘方运算
二、巩固提高
8．（2024七下·秦淮期中）已知，则、、的大小关系为 (用“”号连接)．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算
9．（2024七下·常德期末）已知：，则的值为 ．
【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
10．（2024七下·宽城期末）若a不为0，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；幂的乘方运算
11．（2024七下·石家庄期中）已知，则 ．
【答案】40
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
12．（2024七下·永定期中）比较与的大小关系是 （填“”、“”或“”）．
【答案】<
【知识点】幂的乘方运算；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】∵，，32<81，
∴<，
故答案为：<.
【分析】先利用幂的乘方将和化简，再比较大小即可.
13． 用简便方法计算下列各题：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：原式=[×（-1.25）]2024=(-1)2024=1.
（2）解：原式=[
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【分析】根据积的乘方运算的逆用即可求解.
14．（2023七下·江都期中）
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：，，
；
（2）解：，
．
.
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）将待求式子按同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方运算法则的逆用进行变形为（10m）3×（10n）2×10的形式，然后整体代入计算即可；
（2）由已知等式可得3m+2n=5，进而将待求式子按有理数乘方运算的逆用、幂的乘方运算法则及同底数幂的乘法运算法则进行计算，最后整体代入后按有理数的乘方运算法则算出结果.
15．（2024七下·连云港期中）阅读下列材料：
若，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).
解：因为，所以，
所以.
解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_
A.同底数幂的乘法 B.同底数幂的除法 C.幂的乘方 D.积的乘方
(2)已知，试比较x与y的大小．
【答案】＞ （1）C （2）
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
三、拓展提升
16．（2023七下·定边期末）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较和的大小：因为，，所以．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）比较大小： （填“”或“”）
（2）已知，，，试比较，，的大小．
【答案】（1）
（2）解：因为，
，
，
且，
所以，
所以．
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴
【分析】（1）将题中两数化为相同底数再进行比较；（2）将题中三个数化为同指数，再进行比较.
17．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(即log28=3)．一般地，若an=b (a>0且a≠1，b>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为Iogab(即logab=n)．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381=4) ．
（1）计算以下各对数的值：log24= ，log216= ，log264=
（2）观察(1)中三个数4，16，64之间满足怎样的关系式，log24，log216，log264之间满足怎样的关系式．
（3）根据(2)结果，归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN= (a>0且a≠1，M>0，N>0)．
（4）根据幂的运算法则：an·am=an+m以及对数的含义证明上述结论．
【答案】（1）2；4；6
（2）解：∵4×16=64，且 log24=2，log216=4，log264=6.
∴ log24+log216=log264，
故答案为：log24+log216=log264.
（3）loga(MN)
（4）证明：设logaM=b1，logaN=b2，
则ab1=M ，ab2=N ，
∴MN=ab1·ab2=ab1+b2，
∴b1+b2= loga(MN)，
即 logaM+logaN= loga(MN).
【知识点】定义新运算；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1） log24=2，log216=4，log264=6.
故答案为：2，4，6；
（3）由（2）知： logaM+logaN= loga(MN)；
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）观察（1）结论，找出规律即可；
（3）由特殊到一般可得 logaM+logaN= loga(MN)；
（4）设logaM=b1，logaN=b2，再根据幂的运算法则及对数的定义证明即可.
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