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专题1 函数与导数
1.2 指、对、幂等函数值比较大小问题
考点分布 考查频率 命题趋势
指对幂比较大小 2024年北京卷第9题，5分 2024年天津卷第5题，5分 2024年新高考I卷第8题，5分 2023年甲卷第11题，5分 2022年新高考I卷第7题，5分 2022年天津卷第5题，5分 2022年甲卷第12题，5分 预测2025年新高考，指对幂比较大小多以选填压轴的形式出现，亦或常规选填题的大小比较，估计：（1）以选填题型呈现，侧重综合推理；（2）构造灵活函数比较大小将成为考查热点和重点。
从近几年的新高考的考查情况来看，指、对、幂形数的大小比较问题是新高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选填题为主。几乎每年高考题都会出现，难度逐年上升。
函数值的大小比较所需知识主要考查学生函数部分知识的掌握情况，解题同时需要的技巧多，试题灵活，突出对函数单调性的运用，考查学生的数形结合与方程思想，及构造、放缩等相关知识。
1．（2024北京卷）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误，故选：B.
2．（2024天津卷）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，所以，
所以，即，因为在上递增，且，
所以，即，所以，故选：B
3．（2024新高考Ⅰ卷）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为当时，所以，
又因为，则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确. 故选：B.
4．（2023全国甲卷）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即 由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，综上，，
又为增函数，故，即.故选：A.
5．（2022·新高考Ⅰ卷）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以 故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ， 令 则 ，
故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ；
② ， 令
则 ， 令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故
6．（2022天津卷）已知，，，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为是定义域上的单调增函数，所以，即；
因为是定义域上的单调减函数，所以，且，所以；
因为是定义域上的单调增函数，所以，即；
所以．故选：．
7．（2022·全国甲卷文）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
8．（2022·全国甲卷理）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当故，故，所以；
设，，所以在单调递增，
故，所以，所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时， 故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
9．（2021·全国乙卷）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于 所以当0所以在上单调递增，所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，故选：B.
[方法二]：令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，， 故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
10．（2021新高考Ⅰ卷）已知，则以下四个数中最大的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】令，，则，，
，
，故最大的是，故选：．
11．（2021新高考Ⅱ卷）已知，，，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，．故选：．
高频考点一 直接利用单调性
核心知识：
指、对、幂大小比较的常用方法（单调性法）：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
典例1：（2025·湖南长沙·校考模拟预测）设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和幂函数单调性证明，利用对数函数单调性证明，即可得到正确结论.
【详解】指数函数，为减函数，∴，
∵幂函数为增函数，∴，∴，
∵对数函数为减函数，∴，即，∴.故选：A.
技法点拨
当底数相同，或指数（真数）相同时，一般函数单调性（图象）进行大小比较即可。
若底数、指数（真数）可转化相同，也可以采用上述方法。
变式训练
1．（2024·河北·高三校考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，
又因为在上单调递增，所以，即，
因为，所以，又因为在上单调递增，
所以，即，综上：.故选：D.
2．（2023·北京顺义·高三校考期中）已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，所以，又，所以；
又因为函数在上单调递增，所以，所以.综上，.故选：C
高频考点2 引入介值法
核心知识：
特别注意几个特殊值：，，。
因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1比较大小。
典例1：（2025·广东·高三模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；
【详解】解：因为，，即，
又，所以.故选：B
典例2：（2024·天津·高三模拟预测）已知，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】，，，故，
所以．故选A．
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．
技法点拨
1）当底数和指数（真数）都不同时，一般采用特殊介质0，1进行大小比较，同时注意结合图像及特殊值。
2）除了考点2中的介质（0，1），一般寻找其他的介质会稍微困难一些，可以适当的积累总结规律：
（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值。
变式训练：
1．（2024·天津河东·一模）已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以.故选：C.
2．（2024·湖南郴州·统考一模）有三个数：，大小顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，，
所以.故选：A
3．（2024·山东·高三期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数和对数函数的性质，与中间量1，2比较大小即可得到结果．
【详解】因为，，，
所以．故选：C．
高频考点3 含变量问题
典例1：（多选题）（2024·浙江·校联考模拟预测）已知非零实数，，则可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设函数，，，分情况，讨论，构造函数求导确定单调性，即可得取值情况，从而作出判断.
【详解】令，，，
①当时，设，则恒成立，所以在上单调递增，
所以，则，所以；
设，则，所以在上单调递增，
所以，则，所以所以；
②当时，，，而因为，所以，所以，
而有两解，一正一负，因为 ，
而，有，所以在单调递增，所以.
当时，，而在单调递增，所以，所以;
当时，，综上，可能正确的是，.故选：BC.
技法点拨
对变量取特殊值代入或者构造函数
变式训练：
1．（2025·天津滨海新·校考模拟预测）已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，，.
选项A，，，，则，故A正确；
选项B，，，，下面比较的大小关系，
因为，，，所以，即，又，
所以，即，故B不正确；
选项C，，，，
因为，又，所以，即，故C正确；
选项D，，因为，所以，
又，所以，故D正确； 故选：B.
2．（多选题）（2024·福建厦门·校考一模）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】设，得到，，，分别作出，，的图象，结合图象，即可求解.
【详解】根据题意，设，其中，则，，，
在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，
当时，；当时，；当时，，
由此可以看出，不可能出现这种情况. 故选：BCD.
高频考点4 构造函数
典例1：（2024·安徽滁州·校考二模）设，，，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】D
【解析】由，，，得，，，
构造函数，则，当时，x＝1，
时，，单调递减；时，，单调递增，
在x＝1处取最小值，时，，即，
取，得，，，即；
设，则，令，，
因为当时，令，，单调递减，
又时，，则，即，所以，
因为当时，，所以当时，，函数单增，
又，所以，即，所以当时，函数单调递增，
所以，即，，即，.故选：D
技法点拨
构造函数比大小可以从“形”与“数”两个角度入手解题。
1）“形”的构造：
不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据“若函数单调递增，则；若函数单调递减，”判断。
2）“数”的构造：
观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数。
变式训练：
1．（2024·河南·高三统考阶段练习）设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
构造函数，则，，，，
在上递增，在上递减.则有最大，即，.
若有两个解，则，
所以所以
即,令，则，
故在上单增,所以，即在上，.
若，则有，即.故，所以.
当时，有，故所以.综上所述：.故选：A
2．（2024·广西河池·高三校联考阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，则，
设，，
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
，所以，即在上单调递增，
因为，所以，即，
又，即，所以.故选：C.
3．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，所以，即，
所以，而，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递减，所以，
即，所以，,令，
则，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递减，所以，
即当时，，所以函数在上单调递增，所以，
即，所以，综上所述，.故选：A.
高频考点5 数形结合
典例1：（2024·江苏·高三阶段练习）均为正实数，且，，，则的大小顺序为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出函数，，，的图象如下图所示：
则、、视为函数与函数、函数与函数，函数与函数的交点的横坐标，由图象可知.故选：D.
技法点拨
数形结合法：即转化为两函数图象交点的横坐标，从而比较交点横坐标的大小即可。
变式训练：
1．（2024·湖北·高三专题练习）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：函数，，的零点，
即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标，如图所示：
由图可得.故选：B
2．（2024·云南·高三期中）已知正数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，可得，，可得，
，可得，且考虑和的图象相交，
在同一平面直角坐标系中画出、、与的图象如下：
根据图象可知.故选：B.
高频考点6 特殊值法、估算法
典例1：（多选题）（2024·海南·校考模拟预测）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】A应用作差法比较；B特殊值，判断；C根据不等式性质判断；D利用对应指数函数单调性判断.
【详解】对于A，，
由于的大小不确定，无法比较大小，错误；
对于B，当，时，，，此时，错误；
对于C，由已知有，所以，正确；
对于D，由已知有，且，所以，正确. 故选：CD
典例2：（2024·贵州贵阳·高三统考开学考试）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，
所以在上单调递增，所以，
，；故只需比较与；也即比较与；
也即比较与，而，，
所以，所以.综上所述，.故选：B
技法点拨
估算先要比较数值的大致范围，从而判断其大小关系，此法的难点是特殊值和零界范围的选择，望大家平时多练习多积累，这样以后遇上才能从容不迫。
变式训练：
1．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
【答案】A
【解析】令，则，∴在上单调递增，
，即，∴，又，，
∵，，，故，∴．故选：A．
2．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知正数，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】取特值验证可判断B；根据对数函数、指数函数的单调性，结合不等式的性质可判断ACD.
【详解】因为，所以，C正确；
又因为在上单调递增，所以，A正确；
不妨取，则，B错误；因为，所以，
又在R上单调递增，所以，D错误. 故选：AC.
高频考点7 放缩法与同构法
核心知识：
1）对数：利用单调性，放缩底数（或真数），糖水不等式也是不错的选择；指数和幂函数结合来放缩；
2）与对数型函数有关的常见不等式有：
，，.
3）与指数型函数有关的常见不等式有：
，，.
4）与三角函数有关的常见不等式有：
，，.
典例1：（2024·天津·高三统考期末）已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【答案】D
【解析】，因函数在上单调递增，
则，.
，因，则
.
故，综上有.故选：D
典例2：（2024·高三·江西·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A选项，当时，，因为，所以A错误；
C选项，，由，得，
令，则，，由，得，由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，当时，，
因为，由，得，即，所以，选项C正确；
B选项，由C知，则，即，所以B错误；
D选项，因为，所以，得，D错误. 故选：C.
技法点拨
放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保比较结果的准确性。
同构法比较指对幂大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。
变式训练：
1．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别对，，两边取对数，得，，．
．
由基本不等式，得:，
所以，即，所以．又，所以.故选：D．
2．（2024·福建龙岩·高三校考阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”）
【答案】<
【分析】根据糖水不等式的知识求得正确答案.
【详解】依题意. 故答案为：
3．（多选题）（2024·长郡中学校联考二模）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】等式，等号两边同除以，可得，
所以，所以，所以，
构造函数，则，
显然，函数在定义域内是增函数，所以，即．
而，而，故，故，故D正确. 故选：AD．
高频考点8 泰勒展开、帕德逼近估算法
核心知识：常见函数的展开式：
①；②；
③；④；
⑤；⑥。
典例1：（2024·广东·高三校考阶段练习），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，因为，所以，
由泰勒展开得，，
所以，
故，综上所述a，b，c的大小关系是.故选：C
典例2：已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近，得，
，，综上，．故选：B
技法点拨
帕德逼近估算法比较指对幂大小，即通过构造有理函数逼近原函数，利用逼近函数的性质来估计原函数值的大小，从而比较指对幂的大小。关键在于选择合适的逼近阶数，以确保逼近的精度和有效性。
变式训练：
1．（2024·湖南长沙·校考三模）已知，则a，b，c的大小关系为 。
【答案】
【解析】设，则，，
，计算得．
2.（2024·安徽池州·高三校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近可得，
综上，．故选：B．
1．（2024·天津和平·高三校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要比较，，中的大小，
等价于比较，，中的大小，
∵，由定义域可知，故，
∵在定义域上单调递减，，，
∵，∴，∵，∴，故，则，
，，由定义域可知：，
又∵，∴，则，，故，
∵，，∴，，.故选：A.
2．（2024·辽宁·校联考模拟预测）下列不等式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A，令，则，即证，
令，则，
所以在上单调递增，故，
所以，即，故A正确；
对于B，当时显然不成立，故B错误；
对于C，当是第三象限角时，则，所以，
可得，故C错误； 对于D，当时，为单调递增函数，
若，则，
这与矛盾，故D错误.故选：A.
3．（2024·广东·高三专题练习）若，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．的大小不能确定
【答案】A
【详解】令，则，
令，则，
因为，所以，故，
所以在上是单调递减，则，故，所以在上是减函数，
所以由得，即，故，即.故选：A.
4．（2025·陕西西安·校考模拟预测）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
因为，，所以，，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由可得，因此，. 故选：A.
5．（2025·安徽合肥·校考模拟预测）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得，，由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.故选：D
6．（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，则，令恒成立，
即在定义域单调递增，且
因此在区间上必然存在唯一使得，
所以当时单调递减，当时单调递增，故A，B均错误；
令，，当时，，∴在区间上为减函数，
∵，∴，即，∴选项C正确，D不正确.故选:C.
7．（2024·四川自贡校考一模）若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】显然，即，而，
设，求导得在上单调递增，
则，即当时，，因此；
设，求导得，
令，，
则函数，即在上单调递增，，
即函数在上单调递增，于是，则当时，，
从而，而，即有，所以.故选：A
8．（2024·广东汕头·统考三模）已知，，，则a，b，c大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，画出函数的图象如下图所示，
由图象可知，.故选：D.
9．（2024江西·校联考模拟预测）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知条件得的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示,
可知，故选：.
10．（2024·湖南·校联考模拟预测）若，（）试比较的大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，故，又，故，由常用数据得，下面说明，令，，
当时，，单增，当时，，单减，则，
则，则，，
令，则，，
，则，综上，.故选：D.
11．（2024·湖南郴州·校考一模）有三个数：，大小顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，，，
所以. 故选：A
12．（2024·陕西宝鸡·统考三模）设，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，，令，则，
当时，，当时，，所以函数再上递增，在上递减，
由，得，所以，即.故选：B.
13．（2024.吉林长春质量监测）已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】法一：根据基本初等函数的单调性可知的范围，即可求解.
【详解】[方法一]：函数性质法
由，所以，，，所以．故选：B.
[方法二]：【最优解】特值法
取，则，，，所以.故选：B.
【整体点评】法一：根据单调性确定各字母的范围，从而得出大小关系，是比较大小的最基本方法，是通性通法；
法二：对于较简单的比较大小问题，利用特殊值得到各字母的范围，是不错的选择，是该题的最优解．
14．（2024·湖南郴州·校考一模）有三个数：，大小顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用指数函数、三角函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答.
【详解】， ，
所以. 故选：A
15．（2023·天津市二模）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数、指数函数的单调性以及作商法比较大小，即可求解.
【详解】依题意，，
，所以故选：A
16．（2024河南平顶山模拟预测）已知，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．
【详解】由题意得：，
，，
因为函数在上单调递增，
所以，则，所以.故选：D.
17．（多选题）（2024·江苏·金陵中学校联考三模）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】对于A，∵，
，∴，故A错误；
对于B，记，，则，
记，，则，
令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增，而，所以，
所以在上单调递增，所以，所以，，所以，
所以，，，故，故B正确；
对于C，记，则，令，得；令，得；
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以对任意，都有，即恒成立，
令，，所以，
对于函数，，因为恒成立，
所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，
因为，即，所以，
因为，所以，故C正确，
对于D，令，若，令，
，由解得：，解得：，
所以在上单调递减；上单调递增，所以，
记，因为，
所以在上单调递增，因为，
所以，即，所以，则，故D错.故选：BC.
18.（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知（且），则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】CD
【详解】由满足的情况有以下六种：
（1）如图1所示，可得，（2）如图2所示，可得，（3）如图3所示，可得，
（4）如图4所示，可得，（5）如图5所示，可得，（6）如图6所示，可得，
对于A中，当时，第（4）种情况不满足，所以A错误；
对于B中，当时，第（1）种和第（5）种情况不满足，所以B错误；
对于C中，当时，第（2）种、第（3）种和第（6）种情况均有，所以C正确；
对于D中，当时，如第（1）种情况，则，所以成立，所以D正确. 故选：CD．
19．（多选题）（2024·安徽合肥·三模）已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A中，由，可得，所以A错误；
对于B中，由，则，所以B正确；
对于C中，令，可得，当时，，单调递增，
因为，则，所以，即，所以，所以C正确；
对于D中，由函数在上单调递增，
因为，则，即，
所以，所以D正确．故选：BCD．
20．（多选题）（2024·海南·校考模拟预测）若，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】由于，
对于A：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故A错误；
对于B：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故B错误；
对于C：由于，所以函数 在上为增函数，所以 ，故C正确；
对于D：由于，所以 ，
所以 ，所以，故D正确.故选：CD.
21.（多选题）（2024·广东广州·校考一模）已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】由，可得，又，所以，解得.
当时，，则，又，所以，
所以此时，故A错误；
令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即，由知，所以，所以，故正确；由可得，可得（时取等号），因为，所以，所以，故C正确；
因为，所以.令，则，令，所以，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以1，所以，故D正确.故选：BCD
【点睛】判断D选项时，对式子进行变形换元后得到是解题的第一个关键，构造函数，利用两次求导可得出函数的最小值是解题的第二个关键点.
22．（2024·北京·高三校考开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小： （用“<”连接）
【答案】
【详解】令，恒成立，当且仅当取等号，所是增函数，当时，，即，所以，
又，又因为，所以，故由的单调性知，，所以，从而，又易知，又由函数的单调性知，，所以.
故答案为：
23．（2024·广东·校联考一模）设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【答案】
【解析】，由函数切线放缩得，因此．
故答案为：
24.（2024·河南·模拟预测）若，则满足的大小关系式是 。
【答案】.
【解析】由于，所以.设，
在上单调递增，
所以，所以当时，，
则，即.
设，，
所以在上单调递增，，所以在上单调递增，，
所以当时，，即，
所以，而，所以，所以.
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专题1 函数与导数
1.2 指、对、幂等函数值比较大小问题
考点分布 考查频率 命题趋势
指对幂比较大小 2024年北京卷第9题，5分 2024年天津卷第5题，5分 2024年新高考I卷第8题，5分 2023年甲卷第11题，5分 2022年新高考I卷第7题，5分 2022年天津卷第5题，5分 2022年甲卷第12题，5分 预测2025年新高考，指对幂比较大小多以选填压轴的形式出现，亦或常规选填题的大小比较，估计：（1）以选填题型呈现，侧重综合推理；（2）构造灵活函数比较大小将成为考查热点和重点。
从近几年的新高考的考查情况来看，指、对、幂形数的大小比较问题是新高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选填题为主。几乎每年高考题都会出现，难度逐年上升。
函数值的大小比较所需知识主要考查学生函数部分知识的掌握情况，解题同时需要的技巧多，试题灵活，突出对函数单调性的运用，考查学生的数形结合与方程思想，及构造、放缩等相关知识。
1．（2024北京卷）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024天津卷）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024新高考Ⅰ卷）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023全国甲卷）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·新高考Ⅰ卷）设，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022天津卷）已知，，，则
A． B． C． D．
7．（2022·全国甲卷文）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国甲卷理）已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国乙卷）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021新高考Ⅰ卷）已知，则以下四个数中最大的是
A． B． C． D．
11．（2021新高考Ⅱ卷）已知，，，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
高频考点一 直接利用单调性
核心知识：
指、对、幂大小比较的常用方法（单调性法）：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
典例1：（2025·湖南长沙·校考模拟预测）设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
技法点拨
当底数相同，或指数（真数）相同时，一般函数单调性（图象）进行大小比较即可。
若底数、指数（真数）可转化相同，也可以采用上述方法。
变式训练
1．（2024·河北·高三校考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京顺义·高三校考期中）已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
高频考点2 引入介值法
核心知识：
特别注意几个特殊值：，，。
因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1比较大小。
典例1：（2025·广东·高三模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
典例2：（2024·天津·高三模拟预测）已知，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
技法点拨
1）当底数和指数（真数）都不同时，一般采用特殊介质0，1进行大小比较，同时注意结合图像及特殊值。
2）除了考点2中的介质（0，1），一般寻找其他的介质会稍微困难一些，可以适当的积累总结规律：
（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值。
变式训练：
1．（2024·天津河东·一模）已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南郴州·统考一模）有三个数：，大小顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东·高三期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点3 含变量问题
典例1：（多选题）（2024·浙江·校联考模拟预测）已知非零实数，，则可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
技法点拨
对变量取特殊值代入或者构造函数
变式训练：
1．（2025·天津滨海新·校考模拟预测）已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）（2024·福建厦门·校考一模）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点4 构造函数
典例1：（2024·安徽滁州·校考二模）设，，，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
技法点拨
构造函数比大小可以从“形”与“数”两个角度入手解题。
1）“形”的构造：
不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据“若函数单调递增，则；若函数单调递减，”判断。
2）“数”的构造：
观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数。
变式训练：
1．（2024·河南·高三统考阶段练习）设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广西河池·高三校联考阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点5 数形结合
典例1：（2024·江苏·高三阶段练习）均为正实数，且，，，则的大小顺序为
A． B． C． D．
技法点拨
数形结合法：即转化为两函数图象交点的横坐标，从而比较交点横坐标的大小即可。
变式训练：
1．（2024·湖北·高三专题练习）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南·高三期中）已知正数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点6 特殊值法、估算法
典例1：（多选题）（2024·海南·校考模拟预测）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
典例2：（2024·贵州贵阳·高三统考开学考试）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
技法点拨
估算先要比较数值的大致范围，从而判断其大小关系，此法的难点是特殊值和零界范围的选择，望大家平时多练习多积累，这样以后遇上才能从容不迫。
变式训练：
1．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
2．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知正数，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点7 放缩法与同构法
核心知识：
1）对数：利用单调性，放缩底数（或真数），糖水不等式也是不错的选择；指数和幂函数结合来放缩；
2）与对数型函数有关的常见不等式有：
，，.
3）与指数型函数有关的常见不等式有：
，，.
4）与三角函数有关的常见不等式有：
，，.
典例1：（2024·天津·高三统考期末）已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
典例2：（2024·高三·江西·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
技法点拨
放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保比较结果的准确性。
同构法比较指对幂大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。
变式训练：
1．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建龙岩·高三校考阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”）
3．（多选题）（2024·长郡中学校联考二模）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点8 泰勒展开、帕德逼近估算法
核心知识：常见函数的展开式：
①；②；
③；④；
⑤；⑥。
典例1：（2024·广东·高三校考阶段练习），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
典例2：已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
技法点拨
帕德逼近估算法比较指对幂大小，即通过构造有理函数逼近原函数，利用逼近函数的性质来估计原函数值的大小，从而比较指对幂的大小。关键在于选择合适的逼近阶数，以确保逼近的精度和有效性。
变式训练：
1．（2024·湖南长沙·校考三模）已知，则a，b，c的大小关系为 。
2.（2024·安徽池州·高三校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·天津和平·高三校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·校联考模拟预测）下列不等式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·广东·高三专题练习）若，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．的大小不能确定
4．（2025·陕西西安·校考模拟预测）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安徽合肥·校考模拟预测）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川自贡校考一模）若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）.
A． B． C． D．
8．（2024·广东汕头·统考三模）已知，，，则a，b，c大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024江西·校联考模拟预测）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖南·校联考模拟预测）若，（）试比较的大小关系（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·湖南郴州·校考一模）有三个数：，大小顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·陕西宝鸡·统考三模）设，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024.吉林长春质量监测）已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·湖南郴州·校考一模）有三个数：，大小顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·天津市二模）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024河南平顶山模拟预测）已知，，，则（ ）．
A． B． C． D．
17．（多选题）（2024·江苏·金陵中学校联考三模）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
18.（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知（且），则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
19．（多选题）（2024·安徽合肥·三模）已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
20．（多选题）（2024·海南·校考模拟预测）若，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
21.（多选题）（2024·广东广州·校考一模）已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·北京·高三校考开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小： （用“<”连接）
23．（2024·广东·校联考一模）设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
24.（2024·河南·模拟预测）若，则满足的大小关系式是 。
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