苏科版数学七年级下册8.2单项式乘多项式（分层练习）
一、基础夯实
1．（2024七下·重庆市月考）要使中不含有的四次项，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2024七下·曹县期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
3．数学课上， 老师讲了单项式与多项式相乘，放学后， 小丽回到家拿出课堂笔记， 认真地复习老师课上讲的内容， 她突然发现一道题：， 那么空格中的一项是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·扬州月考）两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（ ）
A． B． C． D．
5．一块长方形硬纸片长为 ， 宽为 ，在它的四个角上分别剪去一个边长为 的小正方形， 然后折成一个无盖的盒子， 则这个无盖盒子的表面积为
6． 计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
7．（2024七下·曹县期中）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
8．（沪科版数学七年级下8.2.2单项式与多项式相乘）某同学在计算一个多项式乘－3x2时，因抄错运算符号，算成了加上－3x2，得到的结果是x2－4x＋1，那么正确的计算结果是多少？
9．（2024七下·安丘期末）如图，某广场有一块长方形空地，长为米，宽为米．计划在中间建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛四周留有宽度均为b米的人行通道．
（1）用代数式表示花坛的面积并化简；
（2）花坛建成后，需给人行通道铺上地砖（地砖间的空隙忽略不计），已知每块地砖的面积是平方米，若现有块地砖，铺人行通道是否够用？
10．如图，求阴影部分的面积．
二、巩固提高
11． 如果 ， 那么
12．
（1） 图 1 中的四边形均为长方形， 根据图形， 写出一个正确的等式： .
（2） 图 2 所示的是一个 L 形钢条的截面，它的面积为 （结果用多项式表示）
13．已知计算yn（yn-y+ 1）的结果是一个八次多项式，则n=
14．《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x=8时，多项式3x3-4x2-35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3-4x2-35x+8进行改写：3x3-4x-35x+8=x(3x2-4x-35)+8=x[x(3x-4)-35]+8
按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x=8时，多项式3x3-4x2-35x+8的值为1008．请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x-1改写为： ，当x=8时，这个多项式的值为
15．（2024七下·南海月考）小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．
（1）用含，的整式表示盒子的外表面积；
（2）若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？
16． 阅读下列文字，并解决问题．
已知 ， 求 的值．
分析： 考虑到满足 的 的可能值较多， 不可以逐一代入求解， 故考虑整体思想， 将 整体代入．
解：
将 代入，
请你用上述方法解决下面的问题：
已知 ， 求 的值．
17．（2024七下·深圳期中）如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
三、拓展提升
18． 7 张如图 1 所示的长为 、宽为 的小长方形纸片， 按图 2 的方式不重叠地放在长方形 内， 未被覆盖的部分 (两个长方形) 用阴影表示． 设左上角与右下角的阴影部分的面积差为 ， 当 的长度变化时， 按照同样的放置方式， 始终保持不变， 则 满足（ ）
A． B． C． D．
19．（2024七下·泰州医药高新技术产业开发期末）
探究不同拼图方式下剩余图形面积大小问题
背景 如图①是宽为a，长为的小长方形纸片，现有3张这样的小长方形纸片，不重叠地放在可伸缩的长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示
素材1 小华同学按图②的方式得出阴影部分的面积为．
素材2 小明同学按图③的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为．
素材3 小刚同学按图④的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S．
问题解决
任务1 用含有a，b的代数式分别表示，．
任务2 请比较与的大小关系，并说明理由．
任务3 当的长度变化时，S的值能否始终保持不变．若能，求出a与b之间的数量关系；若不能，请说明理由．
20．阅读材料：
已知x2y=3，求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值．
分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入．
解：2xy(x5y2-3x3y-4x)
=2x6y3-6x4y2-8x2y
=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y
=2×33-6×32-8×3
=54-54-24
=-24
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！
（1）已知ab=3，求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值．
（2）已知a2+a-1=0，求代数式a3+2a2+2021的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式
2．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用
3．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（-6x3+3x2y-3x2）÷（-3x2）=2x-y+1，
故选：B.
【分析】根据一个因数=积÷另一个因数。把中括号里面的看作是一个整体，作为一个因数。-6x3+3x2y-3x2是-3x2和它的积。所以用-6x3+3x2y-3x2除以-3x2即可以找到括号内的式子.
4．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；几何图形的面积计算-割补法
5．【答案】
【知识点】单项式乘多项式；几何体的表面积；积的乘方运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
这个无盖盒子的表面积为：
故答案为：
【分析】根据无盖盒子的表面积=长方形面积－4个小正方形面积，结合单项式乘多项式法则，乘法法则即可求出答案.
6．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式 = .
（4）解：原式 m3n2
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先计算平方，再运用单项式乘单项式计算法则计算即可；（2）先分别计算积的乘方运算，再运用单项式乘单项式计算法则计算即可；（3）（4）运用单项式乘多项式计算法则计算即可；
7．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；多项式乘多项式
8．【答案】－12x4＋12x3－3x2
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】根据题意，利用错误的计算结果得到多项式，再乘（-3x2）得到答案即可。
9．【答案】（1）
（2）够用
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
10．【答案】解：由题意可得：
阴影部分面积为：
【知识点】单项式乘多项式；去括号法则及应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】根据阴影部分面积=大长方形面积-小长方形面积，结合单项式乘单项式法则，合并同类项法则即可求出答案.
11．【答案】2029
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵a=b+6，ab=2023．
∴（b+6）b=2023，
∴b2+6b=2023，
∴b2+6b+6=2029.
故正确答案为：2029.
【分析】把a=b+6代入ab=2023可得：b2+6b=2023 。等号两边同时加6可得：b2+6b+6=2029.
12．【答案】（1）m(a+b+c)=ma+mb+mc.
（2）ac+bc-c2
【知识点】单项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
13．【答案】4
【知识点】单项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解： yn（yn-y+ 1） =y2n-yn+1＋yn ∵ yn（yn-y+ 1）的结果是一个八次多项式，
∴当2n=8时，n=4，则n+1=5，符合题意；
当n+1=8时，n=7，则2n=14，不符合题意，舍去；
当n=8时，2n=16，不符合题意，舍去；
∴n=4.
故答案为：4.
【分析】利用单项式乘多项式的法则“ 用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加 ”计算，将算式展开后再根据多项式次数的概念“几个单项式的和就是多项式，其中的每一个单项式就是多项式的项，所以多项式中的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是多项式的次数，”逐项分析即可.
14．【答案】x［x（x+2）+1］-1；647
【知识点】单项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解： x3+2x2+x-1=x（x2+2x+1）-1=x［x（x+2）+1］-1，
当x=8时，原式=8×［8×（8+2）+1］-1=647，
故答案为：x［x（x+2）+1］-1；647；
【分析】仿照题干中的方法将原式进行变形，再把x的值代入进行计算，即可得出答案.
15．【答案】（1）（平方分米）
（2）360元
【知识点】单项式乘多项式
16．【答案】解：
将 代入，原式
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】先把（2a3b2-3a2b+4a）·(-2b)根据单项式乘多项式的法则，展开，变形为：-4a3b3+6a2b2-8ab .再根据积的乘方的逆运算把它变形为：-4（ab）3+6（ab）2-8ab， 进而把ab=3整体代入，求出代数式的值即可.
17．【答案】（1）解：长方形游泳池面积为：
平方米；
（2）解：∵长方形空地的面积为：
平方米，
∴休息区面积
平方米；
（3）解：∵
，
∴休息区的面积大于游泳池面积．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）根据题设中游泳池的形状，利用长方形的面积公式，以及单项式乘多项式的法则，列出代数式，即可求解；
（2）根据题意，利用空地的面积减去长方形游泳池的面积，结合多项式的运算法则，即可求解；
（3）根据题意，求得休息区与游泳池面积的差，结合差大小，进行解答，即可得到答案．
18．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：根据图片，设HQ=x.
∵，，
∴.
∵当BC长度变化时，S保持不变，即不论x如何变化，S不变，
∴3bx-ax=0，即3b-a=0，即a=3b.
故答案为：B.
【分析】解题关键在于设未知量HQ，通过面积差S不变，得出关于合并后x项的系数为0，从而算出a、b的等量关系.
19．【答案】任务1：，；任务2：当时，，当时，，当时，；任务3：
【知识点】单项式乘多项式
20．【答案】（1）解：∵ab=3，
∴(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b) = -2a3b3+6a2b2-8ab=-2(ab)3+6(ab)2-8ab=-2×33+6×32-8×3
=-54+54-24=-24.
（2）解： ∵a2+a-1=0，
∴a2+a=1，
a3+2a2+2021=a(a2+a)+a2+ 2021=a+a2+ 2021=1+2021=2022.
【知识点】单项式乘多项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）将原式化为-2(ab)3+6(ab)2-8ab，再代入计算即可.
（2）由a2+a-1=0可得a2+a=1，再将原式化为a(a2+a)+a2+ 2021，然后代入计算即可.
1 / 1苏科版数学七年级下册8.2单项式乘多项式（分层练习）
一、基础夯实
1．（2024七下·重庆市月考）要使中不含有的四次项，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式
2．（2024七下·曹县期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用
3．数学课上， 老师讲了单项式与多项式相乘，放学后， 小丽回到家拿出课堂笔记， 认真地复习老师课上讲的内容， 她突然发现一道题：， 那么空格中的一项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（-6x3+3x2y-3x2）÷（-3x2）=2x-y+1，
故选：B.
【分析】根据一个因数=积÷另一个因数。把中括号里面的看作是一个整体，作为一个因数。-6x3+3x2y-3x2是-3x2和它的积。所以用-6x3+3x2y-3x2除以-3x2即可以找到括号内的式子.
4．（2024七下·扬州月考）两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；几何图形的面积计算-割补法
5．一块长方形硬纸片长为 ， 宽为 ，在它的四个角上分别剪去一个边长为 的小正方形， 然后折成一个无盖的盒子， 则这个无盖盒子的表面积为
【答案】
【知识点】单项式乘多项式；几何体的表面积；积的乘方运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
这个无盖盒子的表面积为：
故答案为：
【分析】根据无盖盒子的表面积=长方形面积－4个小正方形面积，结合单项式乘多项式法则，乘法法则即可求出答案.
6． 计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式 = .
（4）解：原式 m3n2
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先计算平方，再运用单项式乘单项式计算法则计算即可；（2）先分别计算积的乘方运算，再运用单项式乘单项式计算法则计算即可；（3）（4）运用单项式乘多项式计算法则计算即可；
7．（2024七下·曹县期中）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；多项式乘多项式
8．（沪科版数学七年级下8.2.2单项式与多项式相乘）某同学在计算一个多项式乘－3x2时，因抄错运算符号，算成了加上－3x2，得到的结果是x2－4x＋1，那么正确的计算结果是多少？
【答案】－12x4＋12x3－3x2
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】根据题意，利用错误的计算结果得到多项式，再乘（-3x2）得到答案即可。
9．（2024七下·安丘期末）如图，某广场有一块长方形空地，长为米，宽为米．计划在中间建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛四周留有宽度均为b米的人行通道．
（1）用代数式表示花坛的面积并化简；
（2）花坛建成后，需给人行通道铺上地砖（地砖间的空隙忽略不计），已知每块地砖的面积是平方米，若现有块地砖，铺人行通道是否够用？
【答案】（1）
（2）够用
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
10．如图，求阴影部分的面积．
【答案】解：由题意可得：
阴影部分面积为：
【知识点】单项式乘多项式；去括号法则及应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】根据阴影部分面积=大长方形面积-小长方形面积，结合单项式乘单项式法则，合并同类项法则即可求出答案.
二、巩固提高
11． 如果 ， 那么
【答案】2029
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵a=b+6，ab=2023．
∴（b+6）b=2023，
∴b2+6b=2023，
∴b2+6b+6=2029.
故正确答案为：2029.
【分析】把a=b+6代入ab=2023可得：b2+6b=2023 。等号两边同时加6可得：b2+6b+6=2029.
12．
（1） 图 1 中的四边形均为长方形， 根据图形， 写出一个正确的等式： .
（2） 图 2 所示的是一个 L 形钢条的截面，它的面积为 （结果用多项式表示）
【答案】（1）m(a+b+c)=ma+mb+mc.
（2）ac+bc-c2
【知识点】单项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
13．已知计算yn（yn-y+ 1）的结果是一个八次多项式，则n=
【答案】4
【知识点】单项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解： yn（yn-y+ 1） =y2n-yn+1＋yn ∵ yn（yn-y+ 1）的结果是一个八次多项式，
∴当2n=8时，n=4，则n+1=5，符合题意；
当n+1=8时，n=7，则2n=14，不符合题意，舍去；
当n=8时，2n=16，不符合题意，舍去；
∴n=4.
故答案为：4.
【分析】利用单项式乘多项式的法则“ 用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加 ”计算，将算式展开后再根据多项式次数的概念“几个单项式的和就是多项式，其中的每一个单项式就是多项式的项，所以多项式中的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是多项式的次数，”逐项分析即可.
14．《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x=8时，多项式3x3-4x2-35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3-4x2-35x+8进行改写：3x3-4x-35x+8=x(3x2-4x-35)+8=x[x(3x-4)-35]+8
按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x=8时，多项式3x3-4x2-35x+8的值为1008．请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x-1改写为： ，当x=8时，这个多项式的值为
【答案】x［x（x+2）+1］-1；647
【知识点】单项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解： x3+2x2+x-1=x（x2+2x+1）-1=x［x（x+2）+1］-1，
当x=8时，原式=8×［8×（8+2）+1］-1=647，
故答案为：x［x（x+2）+1］-1；647；
【分析】仿照题干中的方法将原式进行变形，再把x的值代入进行计算，即可得出答案.
15．（2024七下·南海月考）小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．
（1）用含，的整式表示盒子的外表面积；
（2）若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？
【答案】（1）（平方分米）
（2）360元
【知识点】单项式乘多项式
16． 阅读下列文字，并解决问题．
已知 ， 求 的值．
分析： 考虑到满足 的 的可能值较多， 不可以逐一代入求解， 故考虑整体思想， 将 整体代入．
解：
将 代入，
请你用上述方法解决下面的问题：
已知 ， 求 的值．
【答案】解：
将 代入，原式
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】先把（2a3b2-3a2b+4a）·(-2b)根据单项式乘多项式的法则，展开，变形为：-4a3b3+6a2b2-8ab .再根据积的乘方的逆运算把它变形为：-4（ab）3+6（ab）2-8ab， 进而把ab=3整体代入，求出代数式的值即可.
17．（2024七下·深圳期中）如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
【答案】（1）解：长方形游泳池面积为：
平方米；
（2）解：∵长方形空地的面积为：
平方米，
∴休息区面积
平方米；
（3）解：∵
，
∴休息区的面积大于游泳池面积．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）根据题设中游泳池的形状，利用长方形的面积公式，以及单项式乘多项式的法则，列出代数式，即可求解；
（2）根据题意，利用空地的面积减去长方形游泳池的面积，结合多项式的运算法则，即可求解；
（3）根据题意，求得休息区与游泳池面积的差，结合差大小，进行解答，即可得到答案．
三、拓展提升
18． 7 张如图 1 所示的长为 、宽为 的小长方形纸片， 按图 2 的方式不重叠地放在长方形 内， 未被覆盖的部分 (两个长方形) 用阴影表示． 设左上角与右下角的阴影部分的面积差为 ， 当 的长度变化时， 按照同样的放置方式， 始终保持不变， 则 满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：根据图片，设HQ=x.
∵，，
∴.
∵当BC长度变化时，S保持不变，即不论x如何变化，S不变，
∴3bx-ax=0，即3b-a=0，即a=3b.
故答案为：B.
【分析】解题关键在于设未知量HQ，通过面积差S不变，得出关于合并后x项的系数为0，从而算出a、b的等量关系.
19．（2024七下·泰州医药高新技术产业开发期末）
探究不同拼图方式下剩余图形面积大小问题
背景 如图①是宽为a，长为的小长方形纸片，现有3张这样的小长方形纸片，不重叠地放在可伸缩的长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示
素材1 小华同学按图②的方式得出阴影部分的面积为．
素材2 小明同学按图③的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为．
素材3 小刚同学按图④的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S．
问题解决
任务1 用含有a，b的代数式分别表示，．
任务2 请比较与的大小关系，并说明理由．
任务3 当的长度变化时，S的值能否始终保持不变．若能，求出a与b之间的数量关系；若不能，请说明理由．
【答案】任务1：，；任务2：当时，，当时，，当时，；任务3：
【知识点】单项式乘多项式
20．阅读材料：
已知x2y=3，求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值．
分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入．
解：2xy(x5y2-3x3y-4x)
=2x6y3-6x4y2-8x2y
=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y
=2×33-6×32-8×3
=54-54-24
=-24
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！
（1）已知ab=3，求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值．
（2）已知a2+a-1=0，求代数式a3+2a2+2021的值．
【答案】（1）解：∵ab=3，
∴(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b) = -2a3b3+6a2b2-8ab=-2(ab)3+6(ab)2-8ab=-2×33+6×32-8×3
=-54+54-24=-24.
（2）解： ∵a2+a-1=0，
∴a2+a=1，
a3+2a2+2021=a(a2+a)+a2+ 2021=a+a2+ 2021=1+2021=2022.
【知识点】单项式乘多项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）将原式化为-2(ab)3+6(ab)2-8ab，再代入计算即可.
（2）由a2+a-1=0可得a2+a=1，再将原式化为a(a2+a)+a2+ 2021，然后代入计算即可.
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