一元二次函数、方程和不等式 专题提升
不等式常用方法
【典例精讲】
考点一、消去积与和互消型
1．已知，，则（ ）
A．的最大值为且的最大值为
B．的最大值为且的最小值为0
C．的最小值为且的最大值为
D．的最小值为且的最小值为0
2．已知正实数，则的最小值为 .
3．已知均为正数，且，则的最小值为 ．
4．已知，，且，则的最小值为 ．
5．已知，，则的最小值是 .
当取最小值时，恒成立，则的取值范围是 .
6．已知正实数满足，则的最小值是 ．
7．设，且，则的最大值为 ．
8．（多选）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为8
C．的最小值为 D．的最小值为
考点二、1的代换（得到对称或齐次式）
9．已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．21 B．25 C．29 D．33
10．已知正数满足恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
11．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．7
12．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．正数满足，若对任意正数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
考点三、因式分解
17．已知，，且，则（ ）
A．有最小值1 B．有最小值1
C．有最小值 D．有最小值
18．已知，，且，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
19．若，，且，则的最小值为 ，此时 ．
20．若正实数满足，则的最小值为 ．
21．已知正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为 ．
25．已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
23．若，且，求的最小值 .
24．若均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
考点五、整体换元法（齐次换元法）
25．已知，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
26．设均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．9 D．16
27．若非零实数，满足，则的最大值为 .
28．已知正实数满足，则的最小值是 .
29．已知为正实数，则的取值范围是 .
30．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是
B．若都是正数，且，则的最小值是3
C．若，则的最小值是2
D．若，则的最小值是4
31．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
32．若实数，满足，则的最大值是 .
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】利用，则，整理得，
当且仅当，即时取得等号，即的最小值为；
利用，，即，整理得，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而找出正确的选项。
2．【答案】
【解析】【解答】，
当且仅当且时，取等号，
即当且仅当时，等号成立。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出的最小值。
3．【答案】8
【解析】【解答】由，得，
因为，
所以，得，当且仅当时取“=”，
所以。
故答案为：8。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出的最小值。
4．【答案】6
【解析】【解答】因为，
故可得：，
即，
解得：或，
因为，故（当且仅当时取得最小值）。
故答案为：6。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，得出，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而结合，进而求出的最小值。
5．【答案】1；
【解析】【解答】因为，
所以，
当且仅当即时等号成立，
当时，，所以当时取得最大值4，
所以由恒成立可得，解得。
故答案为：1；。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出的最小值；再利用已知条件结合二次函数的图象求最值的方法，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而利用一元二次不等式求解集方法，进而求出实数m的取值范围。
6．【答案】
【解析】【解答】由已知得，，则，，
因为，所以，，
因此，
当且仅当，即，即时，等号成立；
所以的最小值是。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出的最小值。
7．【答案】
【解析】【解答】因为，且，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
又，所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】由基本不等式可得，验证等号成立即可得解.
8．【答案】A,C,D
【解析】【解答】，且，
A，利用基本不等式得，化简得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，A符合题意；
B，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，B不正确；
C，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，C符合题意；
D，，
由二次函数性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，
所以当时，，即的最小值为，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而找出结论正确的选项。
9．【答案】A
【解析】【解答】∵，等式恒成立，
∴，
由于，所以
∵，
当且仅当时，即时取等号．
∴，∴，故的最小值为21．
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出x-y的最小值。
10．【答案】B
【解析】【解答】由得，
于是，
当且仅当，且，，即，等号成立，
所以的最小值为。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出的最小值。
11．【答案】A
【解析】【解答】因为，，且，
所以
当，时等号成立，
所以的最小值为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出的最小值。
12．【答案】C
【解析】【解答】由得，
，
当且仅当时，等号成立，
则使不等式有解，只需满足即可，
解得。
故答案为：C.
【分析】由得，再利用均值不等式求最值的方法得出的最小值，则使不等式有解，只需满足即可，再结合一元二次不等式求解方法，进而得出实数m的取值范围。
13．【答案】D
【解析】【解答】不等式可化为，又，，
所以，
令，则，
因为，，所以，当且仅当时等号成立，
又已知在上恒成立，所以
因为，当且仅当时等号成立，
所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，
所以m的取值范围是。
故答案为：D.
【分析】不等式可化为，再利用，，所以，令，则，再利用，，再结合均值不等式求最值的方法结合在上恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，所以，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而得出实数m的取值范围。
14．【答案】A
【解析】【解答】解：因为正数满足，
所以，
当且仅当，时，等号成立，
a+b的最小值为8，
又因为对任意正数恒成立，
即，解得，
所以实数x的取值范围是，
故答案为：A。
【分析】因为正数满足，再利用均值不等式变形求最值的方法，从而求出a+b的最小值，又因为对任意正数恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出实数x的取值范围。
15．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∴
，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：D.
【分析】∵，∴，，，，再利用均值不等式变形求最值的方法，进而求出的最小值。
16．【答案】A
【解析】【解答】
当且仅当，取等号，即，结合，
可得时，取得最小值5．
故答案为：A.
【分析】因为，利用基本不等式，注意等号成立的条件，即可求得答案.
17．【答案】D
【解析】【解答】由，且可知，
而，则，则无最小值，A不符合题意；
设，且，
则，当且仅当，即时取等号，
这与题设矛盾，故最小值不为1，B不符合题意；
，由于函数在上递增，
故在上无最小值，即无最小值，C不符合题意；
，当且仅当时，即时取等号，D符合题意，
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质、均值不等式求最值的方法、反证法，进而找出正确的选项。
18．【答案】C
【解析】【解答】，，配凑得：，
两边同时除以4得：，即，
令，，则，，，
所以
（当且仅当即时，等号成立）.
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.
19．【答案】；
【解析】【解答】由题意得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：①；②。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出的最小值，从而求出此时对应的实数a的值。
20．【答案】
【解析】【解答】由①，由①得，②，故由①和②，可得
，当且仅当时，等号成立，
即时，的最小值为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法得出的最小值。
21．【答案】
【解析】【解答】由，得，
所以，
其中，当且仅当即时取最小值2，
故，取得最大值，
此时，，
所以，
故当时，有最大值为。
故答案为：。
【分析】由，得，所以，再利用均值不等式求最值的方法得出的最小值，进而得出的最大值，此时，再利用二次函数的图象求最值的方法得出的最大值。
22．【答案】D
【解析】【解答】由得，由，为正实数，得，
所以，令，
所以，
当且仅当时取等号，即当时取等号民，时等号成立，
所以的最大值为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出的最大值。
23．【答案】
【解析】【解答】因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：。
【分析】因为，且，所以，再利用均值不等式变形求最值的方法，进而求出的最小值。
24．【答案】C
【解析】【解答】，
因为a，b，c均为正数，
所以有，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：C
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.
25．【答案】B
【解析】【解答】解：设，，，则，，，
且，，，
∴，，，
∴，
令
，
∴.
当且仅当，即，即时等号成立.
（如，即时等号成立）.
∴的最小值为；
故答案为：B．
【分析】设，分别求得，代入将不等式化简为，结合基本不等式，即可求解.
26．【答案】D
【解析】【解答】因为，
所以，
即，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立。
故答案为：D．
【分析】因为，所以，即，所以，所以，再利用均值不等式求最值的方法得出当时，取最小值为16。
27．【答案】
【解析】【解答】令，，则，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
从而，当且仅当时，等号成立，
故取得最大值。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出的最大值。
28．【答案】
【解析】【解答】设，则函数为增函数，
∵，
∴，即
∴，
∴，
当且仅当，即取等号。
故答案为：。
【分析】设，再利用增函数的定义，则函数为增函数，再利用
得出，根据函数的单调性得出，再结合均值不等式变形求最值的方法得出的最小值。
29．【答案】
【解析】【解答】因为，令，因为，所以，
所以原式，又因为，所以，
所以，所以原式，
取等号时，即，又因为时，，综上可知原式的取值范围是，
故答案为：.
【分析】首先由整体思想整理化简得到关于t的代数式结合不等式的性质即可得出再由基本不等式即可得出由此求出最小值，然后由函数的性质即可得出当时,，进而得到代数式的取值范围。
30．【答案】A,B,D
【解析】【解答】由题设，则，当且仅当，即时等号成立，A符合题意；
由，则，且，
令，则，，
所以原式为，当且仅当，即时等号成立，B符合题意；
由且，则，故，当且仅当时等号成立，
所以的最小值是4，C不符合题意；
由题设，而，
又，当且仅当时等号成立，
所以，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出说法正确的选项。
31．【答案】A
【解析】【解答】解：依题意，，
故，当且仅当时等号成立.
故答案为：A.
【分析】化简，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
32．【答案】
令，，则，，
因为，所以，同号，则，同号，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是函数性质 专题提升
函数单调性综合
【知识梳理】
要点一、函数的单调性与单调区间
1.单调函数的定义
增函数 减函数
定义 设函数的定义域为，区间，.
当时，都有 ， 那么就称函数在区间上是增函数. 当时，都有 ， 那么就称函数在区间上是减函数.
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2.函数单调性的等价变形
且，则
在区间上是 函数.
在区间上是 函数.
要点二、分段函数的单调性问题
分段函数单调性问题要注意以下两点：
1.每段函数都应满足单调递增（或递减）的性质；
2.在分段的节点上应该注意大小的关系.
【典例精讲】
考点一、函数单调性的理解
1．已知函数为上的偶函数，且对，的都有恒成立，则不等式的解集为 .
2．已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是 .
3．已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是 .
4．已知函数满足：任意的，都有，则不等式的解集是 .
5．已知是定义在上的奇函数，且对任意且，都有，若，则不等式的解集为 .
6．已知函数满足，当且，时，总有，则不等式的解集是 .
7．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的时，都有.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
8．已知是定义在上的奇函数且，当，且时，有，若对所有恒成立，则实数的取值范围是 .
考点二、具体函数单调性的判断
9．已知函数，若，使得不等式成立，则实数的最大值是 .．
10．已知函数，关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 .
11．已知函数，若对任意实数满足不等式，则实数的取值范围是 .
12．已知函数，若对任意实数满足不等式，则实数的取值范围是 .
13．已知函数，函数为偶函数，且当时，，若，则实数的取值范围为 .
14．已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为 .
15．已知定义在上的函数的值域为[4，5]，若，则的值为 .
16．已知函数，若有，则实数的取值范围是 .
考点三、函数单调性的性质
17．已知单调函数满足，则函数 .
18．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意，均有.若关于的方程有解，则的取值范围是 .
19．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意，都有，则满足不等式的的取值范围为 .
20．定义在上的单调函数对任意的都有，则不等式的解集为 .
21．已知函数是定义在上的单调函数，且，则= .
22.已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则= .
23.设是定义在上的单调函数，对任意有，，则
24.设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为 .
考点四、构造单调函数
25．设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立，则的解集为 .
26．已知函数是定义在上的奇函数，且对于，，时，都有，且，则不等式的解集为 .
27．已知函数对，，则实数的取值范围为 .
28．已知奇函数的定义域为，且有，若对，都有，则不等式的解集为 .
29．已知函数，若对任意的，且成立，则实数的取值范围是 .
30．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为 .
31．已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数都有，则不等式的解集为 .
32．已知函数，对任意两个不等实数，都有，则实数的取值范围是 .
答案解析部分
1．【答案】或
【解析】【解答】函数为上的偶函数，故关于对称，
对，的都有恒成立，
故在上单调递减，在上单调递增，
要使成立，需满足，，
两边平方得，
解得：或
故x的取值范围为或
故答案为：或。
【分析】利用已知条件结合偶函数的图象的对称性和不等式恒成立问题求解方法，进而判断出函数的单调性，从而结合绝对值不等式求解方法得出使成立的x取值范围。
2．【答案】[2.4]
【解析】【解答】由可知为单调递增函数,故中
有与均为增函数,且在处的值小于.可得
故答案为：[2.4]
【分析】由可知为单调递增函数,故利用分段函数的单调性需要满足的关系式进行列式求解.
3．【答案】
【解析】【解答】因为函数满足对任意，都有成立，
所以函数在R上是减函数，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：。
【分析】因为函数满足对任意，都有成立，结合减函数的定义，从而判断出函数为减函数，再利用分段函数解析式画出分段函数的图象，再结合函数的单调性和分段函数的图象，从而干扰求出实数a的取值范围。
4．【答案】
【解析】【解答】∵函数满足：任意的，有，
∴时，，
∴函数在上单调递减，
又
∴即，
故实数的取值范围是
【分析】利用函数的单调性解抽象不等式即可.
5．【答案】
【解析】【解答】已知是定义在上的奇函数，则，且
又对任意且，都有，不妨设，则，所以，即，
所以函数在上单调递减，则函数在上单调递减，
又，所以，
则函数的大致图象如下图：
根据图象可得不等式的解集为：.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和函数的单调性，再结合函数的图象得出不等式的解集。
6．【答案】（0,1）
【解析】【解答】因为，所以数为偶函数，
又当时，总有，所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
又，所以，解得：.
故答案为：（0,1）
【分析】由条件得函数为偶函数且在上单调递减，又，故可利用函数的单调性解出的取值范围.
7．【答案】
【解析】【解答】∵是定义在区间上的奇函数，且，
时，有，
∴任取，，且，
则，
∴，∴函数在上单调递增．
∴的最大值为，
∴对任意恒成立，
∴对任意恒成立，
∴对任意恒成立，
把看作的函数，由知其图象是一条线段，
故有，即，
解得或或，
故实数的取值范围是，
故答案为：.
【分析】先用定义判断出函数单调递增，对任意的不等式恒成立，等价于，对任意恒成立，可看作关于的一次函数，借助数形结合思想可得关于的不等式组，解出即可.
8．【答案】
【解析】【解答】是定义在上的奇函数，∴当，且时，有＞0等价为，∴函数在上单调递增．∵，∴的最小值为，要使对所有、恒成立，即对所有恒成立，，，则满足，即，∴，即实数m的取值范围是．
【分析】利用奇函数的定义结合函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题的解决方法，从而求出实数的取值范围。
9．【答案】8
【解析】【解答】构造函数，
因为，
所以函数是奇函数，
当时，，
因为，所以，
因此有，
所以有，因此此时函数单调递减，而，函数是奇函数，所以函数是实数集上的减函数，
，
因为，所以由，，
令
当时，单调递减，当时，单调递增，
因为，∴在上的最大值为，
要想，使得不等式成立，只需，则实数的最大值是。
故答案为：8。
【分析】构造函数，再利用奇函数的定义判断出函数是奇函数，再结合减函数的定义判断出函数是实数集上为减函数，再利用，再结合，所以由，令再利用函数的单调性，从而得出函数在上的最大值，要想，使得不等式成立，只需，从而得出实数的最大值。
10．【答案】
【解析】【解答】由函数的单调性的性质可知：函数是整个实数集上的增函数，
又因为，所以函数是奇函数，于是有
，而函数是整个实数集上的增函数，所以有
，由题意可知：不等式在区间上有解.
，令
，所以有，所以当时，函数
有最大值，最大值为，要想不等式在区间上有解，只需。
故答案为。
【分析】利用已知条件结合函数的单调性和奇偶性，从而求出函数的最大值，再利用关于的不等式在区间上有解，从而求出实数的取值范围。
11．【答案】
【解析】【解答】由得，
又当时，函数均为单调递增函数，因此在单调递增，且
当时，由于，时，故当时，，且，而函数在均为单调递减函数，因此在均为单调递增函数，又在定义域连续，
故在定义域上单调递增，且，
由得，由单调性得，故对任意实数x满足，因此
故答案为：
【分析】根据，在单调递增，且，故可将不等式转化为，结合单调性得，即可进行求解.
12．【答案】
【解析】【解答】由得，
又当时，函数均为单调递增函数，因此在单调递增，且
当时，由于，时，故当时，，且，而函数在均为单调递减函数，因此在均为单调递增函数，又在定义域连续，
故在定义域上单调递增，且，
由得，由单调性得，故对任意实数x满足，因此
故答案为：
【分析】根据，在单调递增，且，故可将不等式转化为，结合单调性得，即可进行求解.
13．【答案】
【解析】【解答】当时，，易知函数在区间和上均为减函数，又函数在上连续，所以，函数在上为减函数，
函数为偶函数，由，得，，
解得且，因此，实数的取值范围是，故答案为：.
【分析】判断出函数在上为减函数，再由该函数为偶函数，结合可得出，解出即可得出实数的取值范围.
14．【答案】
【解析】【解答】根据奇函数定义可知，可得，函数定义域为；
又，可得，所以；
易知函数在上单调递增，
所以不等式即为，
根据函数单调性和奇偶性可得，解得.
故答案为：
【分析】根据奇函数定义可得，，得出，从而原不等式可等价于，根据函数单调性和奇偶性可得，求解可得答案.
15．【答案】7
【解析】【解答】因为，
令，
所以，
因为，
所以，
所以在上递减，在递增，
所以①，
又，
所以②，
所以，
由①②得或，
因为，
所以
所以a+b=7
故答案为：7
【分析】将函数变形为，令，，由，利用对勾函数的性质求解.
16．【答案】
【解析】【解答】∵，
∴函数在R上为增函数，
由题意得，
∴，
∵，
∴．
∴，解得．
∴实数的取值范围是．
答案：
【分析】，分析函数的单调性和奇偶性，结合，即，即可得解.
答案解析部分
17．【答案】
【解析】【解答】设，则，
则，
又是定义在上的单调函数，
则，解之得，则
则
【分析】利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，进而找出函数零点所在的区间。
18．【答案】D
【解析】【解答】令，则有，
由，
因为函数是定义在上的单调函数，且，
所以，于是有，且，
令，所以，，
，
因为关于的方程有解，
所以方程有解，
函数在时，单调递增，故，
所以想要关于的方程有解，
只需，
故答案为：D
【分析】令，则有，由，再利用函数是定义在上的单调函数，且，进而得出t的值，所以有，且，令，所以，，关于的方程有解，所以方程有解，当函数在时，单调递增，再结合函数的单调性得出函数的最小值，从而得出关于的方程有解的实数a的取值范围。
19．【答案】C
【解析】【解答】因为函数是定义在上的单调函数，且对任意x，都有，
所以为常数，不妨设，则有，
在中，令，则有，
即，显然函数是单调递增的，而，
显然有，
因此，设，，
因为是上的增函数，且在上单调递增，
显然在单调递增，且，
所以由，可得，
所以满足不等式的x的取值范围为.
故答案为：C．
【分析】设，得到，再令，得到，根据函数的单调性，得到，设，结合函数在单调递增，且，进而求得的取值范围.
20．【答案】A
【解析】【解答】令，则，所以，又因为，所以，解得，可得，所以是增函数，由，则，所以，解得a<-3或a>1．故答案为：．
【分析】利用已知条件结合函数的单调性，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出不等式的解集。
21．【答案】A
【解析】【解答】故设f（1）=t，由题意知t≠0，则代入得，
f（1）f[f（1）+1]=，即f（t+1）=，又定义域为，∴t+1，即t.
令x=t+1代入得，f（t+1）f[f（t+1）+]=，
∴f（+）=t=f（1），
∵在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，
∴+=1，化简得2t2﹣t﹣1=0，
解得，t=1或．又t
∴
故答案为：A．
【分析】先设f（1）=t,代入式子中得到f（t+1）=,再设x=t+1代入得到另一个式子,再由函数是单调的,则得到关于t的方程,求t的值.
22.【答案】
【解析】令，可以求得，即可求出解析式，进而求出函数值.
【详解】根据题意，令，为常数，
可得，且，
所以时有，
将代入，等式成立，
所以是的一个解，
因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，
所以可知函数有唯一解，
又因为，
所以，即，
所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和函数的表示方法，属于中档题.
23.【答案】
【解析】由题意存在使。又因是上的单调函数，这样的是唯一的，再由得
解得或（舍）。所以，。
24.【答案】
【解析】
由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有.
当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式，即，解得.故不等式的解集为.
25．【答案】
【解析】【解答】令，由可得
因为对于恒成立，，
所以对于恒成立，
所以在上单调递增，因为是偶函数，
所以也是偶函数，
不等式等价于，
所以，解得：或，
所以的解集为，
故答案为：
【分析】构造函数，则是偶函数，利用已知条件可判断在上单调递增，不等式等价于，利用单调性即可求解.
26．【答案】
【解析】【解答】令，由，，时，都有，
即，在上单调递增，
又函数为奇函数，所以，
所以，
所以为上的偶函数，所以在上单调递减；
当时，由，得，即，故；
当时，由，得，即，故，
综上所述：的解集为，
故答案为：。
【分析】令，由，，时，都有，即，再利用增函数的定义，从而判断出函数在上为增函数，再利用奇函数的定义结合函数为奇函数，所以，所以，再利用偶函数的定义，从而判断出函数为上的偶函数，再利用偶函数的图象与单调性的关系，所以函数在上单调递减；再利用分类讨论的方法结合，再利用函数g(x)的单调性，从而结合并集的运算法则，进而求出不等式的解集。
27．【答案】
【解析】【解答】，
所以若，则，因此函数实数集上是增函数，
，解得。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象判断出分段函数的单调性，再利用分段函数的单调性，进而得出实数a的取值范围。
28．【答案】
【解析】【解答】由题知，
记，
因为是奇函数，
所以，
所以，
所以为偶函数，
由题知，记，即，
因为，
所以，即，
所以在上，为减函数，
因为为偶函数，
所以在上，为增函数，
因为不等式可化为，即，
又因为，可得，
所以可化为，解得，或，
所以解集为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合函数的奇偶性和单调性，进而得出不等式的解集。
29．【答案】
【解析】【解答】不妨设，
则不等式，
即为，即，
令，
则，
所以函数在上递减，
当时，在上递减，符合题意，
当时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合函数的单调性，从而判断出函数的单调性，再结合函数的单调性，进而得出实数a的取值范围。
30．【答案】
【解析】【解答】根据题意，g（x）＝f（x）+x2，
则f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3 f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2 g（x+1）＞g（x+2），
若f（x）为偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即可得函数g（x）为偶函数，
又由当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x）在[0，+∞）上递减，
则g（x+1）＞g（x+2） |x+1|＜|x+2| （x+1）2＜（x+2）2，解可得x，
即不等式的解集为（，+∞）；
故答案为：（，+∞）．
【分析】根据题意，分析可得f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3 f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2 g（x+1）＞g（x+2），由函数奇偶性的定义分析可得g（x）为偶函数，结合函数的单调性分析可得g（x+1）＞g（x+2） |x+1|＞|x+2|，解可得x的取值范围，即可得答案．
31．【答案】（-∞，1）
【解析】【解答】不妨令，则等价于，可得，构造函数，则是上的增函数，
因为，所以等价于，即，所以，，即，解得，
因此，不等式的解集为（-∞，1）。
故答案为：（-∞，1）。
【分析】不妨令，则等价于，可得，构造函数，再利用增函数的定义，从而判断出函数函数是上的增函数，再利用，所以等价于，即，从而求出。不等式的解集
32．【答案】
【解析】【解答】对任意两个不等实数，由可得即，
则在上单调递增，
则取任意，，有，
又.
则，即，对任意恒成立，
注意到，则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合增函数的定义，进而判断出在上单调递增，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。函数性质 专题提升
函数的对称性与周期性综合
【知识梳理】
要点一、函数自身对称性
1.轴对称
，则的图象关于轴对称.
是偶函数，则函数的图象关于直线对称.
，则函数的图象关于直线对称.
2.中心对称
，则函数的图象关于原点中心对称.
是奇函数，则函数的图象关于点中心对称..
，则函数的图象关于点中心对称.
要点二、函数的周期性
类型 满足关系 周期
1.全周期
2.半周期
3.两个对称性得到周期性 （类型相同，2倍差； 类型不同，4倍差） 关于直线与对称
偶函数，且关于直线对称
关于点与点对称
奇函数，且关于对称
关于直线与点对称
奇函数，关于直线对称
【典例精讲】
考点一、奇偶性与单调性的判断求解不等式
1．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．定义在上函数满足，当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则不等式的解集是 ．
4．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是定义在R上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.函数，则不等式的解集为 .
7.若为正实数，且是奇函数，则不等式的解集是 .
8.函数，则关于的不等式的解集为 .
考点二、奇偶性与单调性的判断求值域或参数范围
9．设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，设，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数为上的奇函数，当时，若函数满足且，有6个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的最大值为，最小值为，则等于（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
13．已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围为 ．
14．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值
15.函数的最小值为，最大值为，则________.
16.函数的值域为_____ _____.
考点三、利用周期性求函数值
17．若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ）
A．2023 B． C．4048 D．
18．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
19．已知 是定义为 的奇函数，满足 。若 ，则 （ ）
A．-50 B．0 C．2 D．50
20．已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
21．若函数 的定义域为R，且 ，则 （ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．1
22．（多选）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 若 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
23．已知是定义在上且不恒为0的连续函数，若，，则（ ）
A． B．为奇函数 C．的周期为2 D．
24．已知函数的定义域为，且满足的导函数为，函数为奇函数，则（ ）
A． B．3 C． D．1
考点三、周期性的判断及函数的应用
25．是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，．若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A．（1，2） B．（2，+∞） C． D．
26．定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
27．，（ ）
A． B． C． D．
28．已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．关于点对称 D．关于直线对称
29．已知 是定义在 上的偶函数，且.当时，，则函数 的所有零点之和为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
30．已知是的奇函数，满足，若，则（ ）
A． B．2 C．0 D．50
31．(多选)一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，称非零常数是这个函数的周期．已知是定义在上的奇函数，且满足为偶函数，且不恒等于0，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．是函数的周期
D．
32．(多选)已知在定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．，
D．方程在的各根之和为
考点四、弱周期与强周期函数
33．(多选)已知函数是定义在上的偶函数，当时，
，以下说法正确的有（ ）
A．当时，
B．
C．存在，使得
D．函数的零点个数为10
34．已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有 .当时，，则（ ）
A． B． C． D．
35．定义在上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．[，＋∞） B．[，＋∞） C．[，＋∞） D．[，＋∞）
36．设函数，若对任意的，都有，则的最小值是（ ）
A．-4 B．-6 C． D．
37．已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，若函数的零点个数为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
38．已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，则函数的零点个数为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
39．已知函数，若方程恰有5个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
40．已知函数 .若，，则函数 在上的零点之和为（ ）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】是定义在上的偶函数，
，
，
在上为增函数，
在上为减函数，
由可得，
解得或，
故不等式的解集为。
故答案为：D．
2．【答案】D
【解析】【解答】，且.
则，
因为，，所以，所以，
所以，
所以，所以在上单调递增.
又，所以为奇函数.
又时，有，
所以，时，有.
由可得，
.
因为，
所以由可得，，
整理可得，即，
显然，所以有，解得.
所以，不等式的解集为.
故答案为：D.
3．【答案】
【解析】【解答】因为，令，
则，
则函数为偶函数，
又，
当时，，，所以，所以在上单调递增，
又，
由可得，即，即，
所以，解得，即不等式的解集是.
故答案为：
4．【答案】A
【解析】【解答】解：
因为和是单调递增函数，
所以也是单调递增函数，
因为，
所以，
设，
所以，
化简后得到，，
所以是奇函数，且单调递增，
又因为，
所以，
所以，
即，
故答案为：A.
【分析】根据函数表达式以及定义域，可知函数的单调性，并对不等式进行化简，构造新的函数表达式，结合函数奇偶性与单调性，对不等式进行化简，从而得出解集.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：已知函数是定义在R上的奇函数，且对任意的，都有，
此时则，所以函数f(x)在上单调递减，
因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)在上单调递减，
因为，所以，
所以当和时，当和时，
由
，
所以
则不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合奇函数的性质和函数的单调性，再结合函数的图象求出不等式的解集。
6.【答案】
【解析】令，易得为奇函数且单调递增，原不等式等价于，所以，解得
7.【答案】
【解析】
由可得
即
也即，所以.
由于在（0，+）上递增，所以在（0，+）上是增函数，结合是奇函数可知在R上是增函数.解不等式，只需找到的解.
方程等价于
也即
两边平方，解得.因此，不等式的解集是.
故答案为：
8.【答案】D
【分析】构造函数，可得函数为奇函数且在实数上为增函教，进而即得.
【详解】令，
则函数的定义域为，
又，
∴函数为奇函数，
又
所以函数在上为增函数，
由，可得，
即，
∴，即.
故选：D．
9．【答案】D
【解析】【解答】，
可令，则，
为定义在上的奇函数，，
则，。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和函数最值求解方法，进而得出M+m的值。
10．【答案】D
【解析】【解答】因为的定义域为，且，
所以为偶函数，，
又当时，单调递减，
由以及，
可得，
即。
故答案为：D．
11．【答案】C
【解析】【解答】因为函数为上的奇函数，当时，
令，则，则，
又
所以，
设，作出函数的图象，
当时，
则函数有三个根，且，，
又图像如图：
当时，即无解，当时，即有4个解，
当时，即有2个解，
方程恰好有6个不同的解，
同理当时，函数有一个根，此时无解；
当时，函数有三个根如图，且，，；
此时结合函数图象，无解，和均有2个解，共4个解，不满足题意；
当时，函数有1个根此时只有2个解，不满足题意；
综上，选项都不符合，选项C符合。
故答案为：C
【分析】利用函数为上的奇函数结合奇函数的定义和转化法，从而得出分段函数f(x)的解析式，设，作出函数的图象，当时，则函数有三个根，且，，，再利用分段函数解析式画出其图象 ，再利用其图象和分类讨论的方法和两函数交点的横坐标与方程的根的等价关系，再结合已知条件得出实数a的取值范围。
12．【答案】C
【解析】【解答】依题意 ，
故令 ，所以 ，
所以函数 为奇函数，所以 ，故 ，
所以 。
故答案为：C.
【分析】令 ，再利用奇函数的定义判断函数 为奇函数，再利用奇函数的图象求出函数的最值，再结合已知条件函数 的最大值为M，最小值为m， 从而求出M+m的值。
13．【答案】
【解析】【解答】的定义域为，
且
则为奇函数，由增函数加增函数为增函数可知
函数为增函数，
不等式对任意实数恒成立，
等价于，
可得，
即，因为
，
当且仅当即时，取等号，所以。
故答案为：。
14．【答案】D
【解析】【解答】解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得，经检验符合题意；
则，易知在上单调递增，且 是定义在上的奇函数，
所以不等式等价于，
即等价于，即，
该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值．
由复合函数单调性可知在区间上单调递增，
所以当时，的最小值为，
所以，当且仅当等号成立．
故答案为：D.
【分析】先由奇函数确定的值，注意检验，再对变形判断其单调性，结合函数奇偶性将不等式等价变形为对任意恒成立，故只需求出函数的最小值即可，由复合函数单调性，即可得出其单调性，进而得到其最小值.
15.【答案】
【解析】设,则且，∴.
，令，.
令得，，，
∴，，∴.
16.【答案】
【解析】
由已知得的定义域为.
令.则.
又，故，且.
显然，在区间上单调递增，因此的值域为.
17．【答案】C
18．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 为偶函数， 则有f(2+x)=f(2-x)，可得f(x+3)=f(1-x)，
又因为 为奇函数， 则有f(1-2x)=-f(2x-1)，可得f(1-x)=-f(x+1)，
所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x)=f(x+4)
故函数f(x)的周期为T=4
又因为函数F(x)=f(2x+1)是奇函数，则F(0)=f(1)=0
故f(-1)=-f(1)=0
故答案为：B
【分析】推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.
19．【答案】C
【解析】【解答】∵f（1-x）=f（1+x）
∴y=f（x）图象关于x=1对称，又是奇函数
∴f（x）是一个周期函数，且T=4
又f（1）=2 f（x）= f（2-x）
∴f（2）=f（0）=0
f（3）=f（-1）=-f（1）=-2 f（4）=f（0）=0
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=-2，f（4）=0
∴原式f（1）+f（2）+…+ f（50）=f（1）+f（2）=2
故答案为：C
【分析】根据函数的对称性、奇偶性求出函数的周期数是4.
20．【答案】C
21．【答案】A
【解析】【解答】因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得， ，即有 ，从而可知 ， ，故 ，即 ，所以函数 一个周期为6．
因为 ， ， ， ， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．
故答案为：A
【分析】根据题意赋值即可知函数 的一个周期为6，求出函数一个周期中的 的值，即可求解．
22．【答案】B,C
【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，
由g(2+x)为偶函数可知：g(x)关于直线x=2对称，
结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，
根据f(x)关于直线对称可知：g(x)关 于点(，0)对称，
综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，
所以有f(0)= f(2)=t，所以A不正确；
f(-1)= f(1)， f(4)=f(2)， f(1)= f(2)，故f(-1)= f(4)，所以C正确，
，g(-1)=g(1)，故B正确；
又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误.
故选：BC
【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.
23．【答案】D
24．【答案】B
25．【答案】D
【解析】【解答】∵对x∈R，都有，
∴是定义在R上的周期为4的函数；
作函数与的图象如下，
结合图象可知，，
解得，≤a＜2。
故答案为：D．
【分析】对x∈R，都有，再结合周期函数的定义，进而判断出函数是定义在R上的周期为4的函数，作函数与的图象，从而结合图象可知实数a的取值范围。
26．【答案】A
【解析】【解答】由得，∴的周期为2，
又为偶函数，则，，
∵，在上单调递增，∴。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合函数的周期性和偶函数的定义以及函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小。
27．【答案】A
【解析】【解答】令，则
则，
所以为奇函数，
所以的图像关于对称，
所以，
故，
且，
所以。
故答案为：A
【分析】令，进而得出函数g(x)的解析式，再利用奇函数的定义判断出函数g(x)为奇函数，再利用奇函数的图象的对称性得出的图像关于对称，所以，再利用得出的值。
28．【答案】A
【解析】【解答】由于是定义域为的奇函数，则的图象关于成中心对称，
是定义域为的偶函数，则的图象关于对称，
因为与的图象关于轴对称，则的图象关于对称，
又的图象关于成中心对称，则的图象关于成中心对称，
故为奇函数，A符合题意；
因为为奇函数，故，
由与的图象关于轴对称，可得，
故 ，故为奇函数，B不符合题意；
由A的分析可知的图象关于对称，C不符合题意；
由A的分析可知的图象关于成中心对称，为奇函数，
则的图象也关于成中心对称，
而与的图象关于轴对称，
则的图象关于成中心对称，D不符合题意，
故答案为：A
【分析】根据题意，得出的图象关于成中心对称，的图象关于对称，再由 与的图象关于轴对称， 得出函数的图象关于原点对称且关于对称，函数的图象关于轴对称其且关于点中心对称，即可求解.
29．【答案】D
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，可知 的周期为 ，
因为 是定义在R上的偶函数，所以 ，可得 的图象关于点 对称，
作出函数 的大致图象，如图所示，则 的零点，即为函数 与 图象的交点的横坐标，
由图可知 ， ，即零点之和为 。
故答案为：D.
【分析】利用 结合转化的方法，从而利用周期函数的定义，进而求出函数 的周期，再利用函数 是定义在R上的偶函数，从而结合偶函数的定义，得出 ，再利用函数图象的对称性，可得 的图象关于点 对称，进而作出函数 的大致图象，再利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，从而由 的零点，推出即为函数 与 图象的交点的横坐标，再利用两函数的图象得出 ， 的值，进而求出函数 的所有零点之和。
30．【答案】C
【解析】【解答】因为 ，
用 代替上式中的 ，得到
而 是 的奇函数，
所以有
用 代替上式中的 ，得 ，
所以 ，
可得 的周期为 .
因为 ，
所以 时，由 得
时，由 得
故 ， ，
，
所以
故答案为： .
【分析】由 得到 ，结合奇函数，求出 的周期，再将所求的 进行转化，得到其中的关系，从而得到答案.
31．【答案】A,C,D
【解析】【解答】由于知是定义在R上的奇函数，则， ，
由为偶函数，则，即，
则函数的图象关于直线对称，A符合题意；
若函数的图象关于点对称， 结合数的图象关于直线对称，
不妨任取 ，，则且，则 ，
则恒等于0，不合题意，B不符合题意；
由可得，则，
故是函数的周期，C符合题意；
，因为函数的图象关于直线对称且，
所以，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合奇函数和偶函数的图象的对称性，再结合函数的周期性，进而得出函数的周期，再利用函数的周期求出函数的值，从而找出正确的选项。
32．【答案】A,C,D
【解析】【解答】由在定义在上的奇函数，则
由，所以，即
则，即是以4为周期的周期函数.
由题意，所以
又，则，所以
所以，A符合题意.
B. 当时，B不正确.
C.
所以
当时，均为增函数，则为增函数.
所以在上为增函数，
又为奇函数，且
所以在单调递增，所以，由
所以，所以必存在，使得，C符合题意.
D. 因为为偶函数，根据题意先作出在上的示意图，
然后由对称性作出在上的图象，如图所示.
根据对称性可知方程在的各根之和为 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】由在定义在上的奇函数结合奇函数的定义，则，再由，所以，再结合周期函数的定义得出函数是以4为周期的周期函数，再利用代入法结合已知条件得出，当时结合代入法得出再利用已知条件结合代入法得出的值，再利用奇函数的定义结合函数的单调性，从而求出函数的值域，所以，所以必存在，使得，
利用为偶函数，根据题意先作出在上的图像，然后由对称性作出在上的图象，根据对称性可知方程在的各根之和 ，从而找出说法正确的选项。
33．【答案】A,D
【解析】【解答】对于A，当 时， ，所以 ，
所以 ，A符合题意：
对于B，当 时， 与 矛盾，B不符合题意；
对于C，由 为偶函数，可作出正半轴的图象，
观察图象， 的值域为 ，C不符合题意：
对于D，由 的零点个数即为 根的个数，
即 与 的的交点个数，观察图象，在 时，有5个交点，
根据对称性可得 时，也有5个交点，共计10个交点，D符合题意.
故答案为：AD．
【分析】根据题意由指数函数和一次函数的图象即可得出分段函数的图象，然后由零点的定义利用数形结合法，由此对选项逐一判断即可得出答案。
34．【答案】C
【解析】【解答】由f（x）=1﹣f（1﹣x），得 f（1）=1，
令x= ，则f（ ）= ，
∵当x∈[0，1]时，2f（ ）=f（x），
∴f（ ）= f（x），
即f（ ）= f（1）= ，
f（）=1-f（1-）=1-f（）=
f（ ）= f（ ）=，
f（）=（）=
∵ ＜ ＜ ，
∵对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，均有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））≥0
∴f（ ）= ，
同理f（ ）=…=f（﹣ ）=f（ ）= ．
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣ ）+f（﹣ ）+…+f（﹣ ）+f（﹣ ）
=﹣[f（﹣ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（ ）]=﹣ ，
故答案为：C．
【分析】采用赋值法，得 f（1）=1，f（ ）= ，再利用函数的奇偶性及在[﹣1，1]上单调递增，即可求值.
35．【答案】A
【解析】【解答】因为当时，，
所以，
因为，
当时，即时，
所以，即，
当，即时，，
当，即时，，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
依此类推，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，
因为对任意，都有，则，
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合绝对值定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分类讨论的方法和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
36．【答案】D
【解析】【解答】作出f（x）的部分图象，如图所示.
当 时，f（x）=8（x+5）.
令f（x）=-4，解得 .
数形结合可得，
若对任意的 ，都有 ，则m的最小值是 .
故答案为：D
【分析】利用已知条件作出分段函数图象，数形结合即可得出m的范围
37．【答案】B
【解析】【解答】 零点个数为 ， ， 有 个不同的实数解，
是 上的偶函数，当 时， 有 个不同实数解，
当 时， 可得 在 上的图象如下图所示：
由图象可知： ，解得： 。
故答案为：B.
【分析】利用 零点个数为 ， 在饥饿和函数的零点与方程的实数解的等价关系，所以函数 有 个不同的实数解，再利用偶函数的图象的对称性，从而得出当 时， 有 个不同实数解，再利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数 在 上的图象，再利用分段函数的图象，从而求出实数a的取值范围。
38．【答案】C
【解析】【解答】 或
根据函数解析式以及偶函数性质作 图象，零点个数为 ,
故答案为：C
【分析】先解 ，再作图，结合图象确定交点个数，即得零点个数.
39．【答案】B
【解析】【解答】函数 与 的图象如下，
因为方程 恰有5个实根，
所以两函数图象有5个不同的交点，
依题知 ，解得 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式和图象的平移变换，从而画出分段函数f(x)的图像，再利用方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系结合方程 恰有5个实根 ，从而画出函数 与 的图象，进而求出实数k的取值范围。
40．【答案】B
【解析】【解答】因为 ， ，所以 解得 ， ，
所以 所以 在 上是周期为 的函数，
在 上的所有零点为 ，
所以 在 上的所有零点为 的零点且 ，
所以 且 ，解得 （ 且 ），
所以函数 在 上的零点之和为
.
故选：B.
【分析】由 ， ，求出分段函数的解析式，得出函数的周期性为2，将函数 的零点转化为 的零点，即可求出零点之和.指数函数与对数函数 专题提升
指对幂运算与指对幂函数
【典例精讲】
考点一、分类讨论与数形结合
1．定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．0
2．下列命题中，正确的有（ ）个
①对应：是映射，也是函数；
②若函数的定义域是（1，2），则函数的定义域为；
③幂函数与图像有且只有两个交点；
④当时，方程恒有两个实根.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（ ）
A．（3，4） B．（2，4） C．[0，4） D．[3，4）
4．已知函数关于x的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数为上的奇函数，当时，若函数满足且，有6个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数关于的方程有4个根，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若存在不相等的实数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数关于的方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点二、指对幂函数比较大小综合
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．若，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，，则x，y，z的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
13．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
14．设，则（ ）
A． B．
C． D．
15．下列不等关系中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
16．已知正实数满足，则不正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点三、指对幂函数运算求值
17.已知正实数a满足，则的值为 .
18.已知实数满足，则________.
19.设正实数u、v、w均不等于1.若，则的值为________.
20.对整数，记.则 .
21.若，则_________。
22.已知实数满足.则 ______.
23．若实数满足，，则 .
24．已知实数满足，则 .
考点四、指对幂函数运算求范围
25．已知实数满足 ，且 ，则= ．
26．已知实数满足 ，则的最小值是 ．
27．若实数满足，，则的最大值为 ．
28．已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
29．若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
30．已知实数、、满足，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
31．已知函数，当时，，若在上的最大值为2，则 （ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
32．记对数的整数部分为，第一位小数的值为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】令，作出函数的大致图象，
当时，，
故函数的图象关于直线对称，
因为关于的方程恰有个不同的实数根，
则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设，
设方程的两根分别为、，且，则，
所以，，，
因此，.
故答案为：C.
【分析】令，作出函数的大致图象，当时结合函数的图象的对称性得出函数的图象关于直线对称，再利用关于的方程恰有个不同的实数根，则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设，设方程的两根分别为、，且，再结合韦达定理得出的值，进而得出
的值，从而得出的值，再结合代入法和函数的解析式以及对数的运算法则，进而得出函数的值，从而得出 的值。
2．【答案】C
【解析】【解答】对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；
对于②，若函数的定义域是（1，2），则 故函数的定义域为，故②对
对于③，幂函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减且图像过 ，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增且图像过 所以两个图像有且只有两个交点；故③对；
于④，当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个实根.故④错；
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合映射和函数的定义、函数的定义域求解方法、幂函数的图象求交点个数的方法、两函数的图象的交点的横坐标与方程的根的等价关系，进而找出真命题的个数。
3．【答案】D
【解析】【解答】由方程有四个不同的实数根，
得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线．
由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，．
设与交点的横坐标为，，设，则，，
由得，
所以，即．
设与的交点的横坐标为，，
设，则，，且，
所以，
则。
故答案为：D.
【分析】由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线，由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，进而得出实数m的取值范围，设与交点的横坐标为，，设，进而得出，的取值范围，由结合绝对值的定义得出的值，设与的交点的横坐标为，，设，则，的取值范围，且，再利用二次函数的图象求值域的方法得出的取值范围，从而得出的取值范围。
4．【答案】A
【解析】【解答】设，则原方程即，
的图象如图所示，
函数关于x的方程有5个不同的实数根，
则方程必有两根为，，，
且其中一个根为1，不妨设，
即与图象有3个交点，方程有2个根，
由图知，，即。
故答案为：A.
【分析】设，则原方程即，再利用的图象结合函数关于x的方程有5个不同的实数根，则方程必有两根为，，，且其中一个根为1，不妨设，即与图象有3个交点，方程有2个根，由函数的图象知的取值范围，进而得出实数c的取值范围。
5．【答案】C
【解析】【解答】因为函数为上的奇函数，当时，
令，则，则，
又
所以，
设，作出函数的图象，
当时，
则函数有三个根，且，，
又图像如图：
当时，即无解，当时，即有4个解，
当时，即有2个解，
方程恰好有6个不同的解，
同理当时，函数有一个根，此时无解；
当时，函数有三个根如图，且，，；
此时结合函数图象，无解，和均有2个解，共4个解，不满足题意；
当时，函数有1个根此时只有2个解，不满足题意；
综上，选项都不符合，选项C符合。
故答案为：C
【分析】利用函数为上的奇函数结合奇函数的定义和转化法，从而得出分段函数f(x)的解析式，设，作出函数的图象，当时，则函数有三个根，且，，，再利用分段函数解析式画出其图象 ，再利用其图象和分类讨论的方法和两函数交点的横坐标与方程的根的等价关系，再结合已知条件得出实数a的取值范围。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，所以函数图象如下所示：
由图象可知，其中，其中，，，则，得..令，，
又在上单调减，，即.
故答案为：B.
【分析】根据f（x）的解析式画出图像，结合交点与方程跟的关系，得到x1与x2、x3与x4之间的关系，得出要求的取值范围。
7．【答案】C
【解析】【解答】由题设，将问题转化为与的图象有四个交点，
，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为；
的图象如下：
所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，
由图及函数性质知：，易知：，，
所以。
故答案为：C
【分析】由题设，将问题转化为与的图象有四个交点，，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为；进而画出分段函数
的图象，所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，
由分段函数的图象及函数性质易知的值和的取值范围，进而结合不等式的基本性质，进而得出的取值范围。
8．【答案】D
【解析】【解答】由题设，，且，，
作图象如图所示，
由得：，
∴，，如上图，有三个根，
∴有四个实数根，如上图可得：。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义得出分段函数的解析式，即，再利用代入法得出，，从而作出分段函数的图象，再由得出，从而解方程得出或，再利用分段函数的图象得出有三个根，所以方程有四个实数根，再利用分段函数的图象得出实数a的取值范围。
9．【答案】A
【解析】【解答】因为在内单调递减，且，
所以，即，
因为在内单调递增，且，
所以，即，
因为在内单调递增，且，
所以，即，综上，
故答案为：A
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小，可得答案.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：由9m=10可得，
而，
所以 ，
即m>lg11，
所以a=10m-11>10lg11-11=0．
又，
所以 ，
即log89>m ，
所以 ．
综上，a>0>b ．
故选：A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．
11．【答案】A
12．【答案】B
【解析】【解答】，即；
，即；
，即.
故.
故答案为：B.
【分析】由对数、指数得运算性质得、、，即可得到结果.
13．【答案】C
【解析】【解答】，，，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性和指数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
14．【答案】C
【解析】【解答】因为，，所以，
，
因为，所以，又，所以，
因为，所以，又，所以，
综上所述：.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性、换底公式，进而结合比较法得出。
15．【答案】C
【解析】【解答】对于A，，而函数在单调递增，显然，则，A不正确；
对于B，因为，所以，故，B不正确；
对于C，显然，，，C符合题意；
对于D，因为，所以，即，D不正确.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性和均值不等式求最值的方法，进而找出正确的不等关系。
16．【答案】B
【解析】【解答】设，，则，，.
A，，，，则，A正确，不符合题意；
B，，，，
下面比较的大小关系，
因为，，，所以，即，又，
所以，即，B错误，符合题意；
C，，，，
因为，又，所以，即，C正确，不符合题意；
D，，
因为，所以，
又，所以，D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合换底公式、指数式与对数式的互化公式、对数函数的单调性、均值不等式求最值的方法，进而找出不正确的选项。
17.【答案】
【解析】由条件知，故，所以.
18【答案】1
【解析】
化为对数，有，所以.
19.【答案】
【解析】
令.则:
.
故.
从而，.
20.【答案】54
【解析】
注意到，.
于是，.
故.
21.【答案】0
【解析】
设.
则
.
22.【答案】1
【解析】
因为,所以,的交点横坐标,的交点纵坐标.
又关于直线对称, 关于直线对称,则两个交点关于直线对称.
故.
23．【答案】1
【解析】【解答】令，易知为单调递增函数，，
即有且仅有一个零点，
又由题可知，即，
所以，
所以，即，
又，得，
所以.
故答案为：1.
【分析】令，易知为单调递增函数，易知有且仅有一个零点，，可得，由已知条件通过函数变形同构可得，进而代入题中求解即可.
24．【答案】
【解析】【解答】解：因为，所以，
记，因为函数单调递减，所以单调递增，
由，可得，
又因为，所以，
又由，可得，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】构造函数，根据函数的单调性可得，再根据对数函数的运算性质求解即可.
25．【答案】
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
解得： 或 ，则 或 ．
当 时， ，则 ，而 ，得到 ， ；
当 时， ，则 ，而 ，得到 无解，
所以 ．
故答案为：
【分析】由 得到 ，求出 或 ，得到 或 ，根据 ，分别计算，即可得出结果.
26．【答案】16
【解析】【解答】
，即
，则 ，
则
当且仅当 ，即 时取等号，结合 ，可得：
故答案为：16
【分析】利用已知条件结合换底公式，得出，再利用均值不等式变形求最值的方法，进而求出a+b的最小值 。
27．【答案】
【解析】【解答】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得：，
又因为，所以，
化简得：，
因为，所以，所以，即，
所以，所以，
故的最大值是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则和均值不等式求最值的方法，再结合构造法求出c的最大值 。
28．【答案】C,D
【解析】【解答】由题意得，且，则，
故，A不符合题意，
对于B，，而，故，B不符合题意，
对于C，，C符合题意，
对于D，，D符合题意，
故答案为：CD
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则、不等式的基本性质、基本不等式求最值的方法，进而找出结论正确的选项。
29．【答案】A,B,D
【解析】【解答】由，得，所以，即，A符合题意.
由，得，所以，B符合题意.
由，得，即，构造函数，因为在上单调递增，且，所以，C不符合题意.
将代入，得，即，解得，D符合题意.
故答案为：ABD．
【分析】由，得，再利用指数与对数的互化公式和对数函数的单调性，所以；由，结合不等式的基本性质得出；由，和对数的运算法则，得，构造函数，再利用在上的单调性，且，所以；将代入，得，再结合对数的运算法则得出mn的值，从而找出正确的选项。
30．【答案】B,C,D
【解析】【解答】令，则，，且，，．
对于A，，所以A不符合题意：
对于B，，
即，所以B符合题意；
对于C，，所以C符合题意：
对于D：
，所以D符合题意．
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式，再结合作差法比较大小的方法、对数的运算法则、换底公式和均值不等式求最值的方法，进而找出说法正确的选项。
31．【答案】A
【解析】【解答】画出 图像如下，
由于 时， ，所以 ，
且由 ，得 ，所以
由于 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上的最大值为 ， ， ，所以 ，所以 。
故答案为：A
【分析】利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象结合当 时， ，所以 ，又由 ，结合对数的运算法则，进而求出mn的值，由于 ，所以 ，所以 ，所以 在 上的最大值为 ，得出 ，进而结合指数与对数的互化公式求出n的值，从而求出m的值，进而求出的值。
32．【答案】C
【解析】【解答】∵，∴，
设对数的第二位小数及以后的值为，则，
∴，又因为，
∴，即，
所以，∴6。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性，进而得出a的值，设对数的第二位小数及以后的值为，则，再结合对数的运算法则和，再利用指数函数的单调性，进而得出，从而求出b的值，进而求出a+b的值。指数函数与对数函数 专题提升
函数零点综合
【典例精讲】
考点一、零点存在性定理与求零点函数的零点（个数）
1．函数在区间上的零点个数为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
2．函数的所有零点之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
3．已知定义在上的函数，对任意x都满足，且当时，则函数的零点个数为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
4.已知函数，则函数零点个数最多是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5.若则函数的两个零点分别位于区间
和内 和内
和内 和内
6.若函数，函数的零点个数是___________.
7.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
8.已知函数方程的不等实根个数不可能是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
考点二、由零点个数求参数范围
9．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．若函数恰有2个零点，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 ，若关于的方程 有四个实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若方程 恰有 个实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．设函数 ，若函数在区间内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．已知 ，若关于 的方程 有三个实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．函数，若方程有5个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数，当时， ，若定义在上的 有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点三、求多个零点的范围或值
17．已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（ ）
A．（3，4） B．（2，4） C．[0，4） D．[3，4）
18．定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．0
19．已知函数，若存在不相等的实数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数关于的方程有4个根，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数 ，若关于 的方程 （ ）有三个不相等的实数根 ，且 ，则 的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
22．设函数，若关于的方程有四个实根（），则的最小值为（ ）
A． B．16 C． D．17
23．已知函数 ，若 有四个不等实根 、 、 、 ，且 ，求 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
24．已知函数，若方程有四个不等实根，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
考点四、复合函数的零点
25．已知是定义在上的单调函数，满足，则函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
26．已知函数 ，若函数 无零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
27．已知函数 ，则函数 的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
28．已知 ，在函数 图象上存在一点 ，使 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
29．若函数，则函数的零点情况说法正确的是（ ）
A．函数至少有两个不同的零点
B．当时，函数恰有两个不同的零点
C．函数有三个不同零点时，
D．函数有四个不同零点时，
30．设，关于函数，给出下列四个叙述，其中正确的有（ ）
A．任意，函数都恰有3个不同的零点
B．存在，使得函数没有零点
C．任意，函数都恰有1个零点
D．存在，使得函数有4个不同的零点
31．设函数的定义域为，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点.下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是（ ）
A． B．
C． D．
32．已知函数，则（ ）
A．当时，函数有且仅有一个零点
B．当时，函数没有零点
C．当时，函数有两个不同的零点
D．当，函数有四个不同的零点
考点五、新定义函数问题
33．若函数的定义域为，如果对中的任意一个，都有，且，则称函数为“类奇函数”．若某函数是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（ ）
A．若0在定义域中，则
B．若，则
C．若在上单调递增，则在上单调递减
D．若定义域为，且函数也是定义域为的“类奇函数”，则函数也是“类奇函数”
34．对于函数，若对任意的，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
35．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．已知函数，若在定义域内存在实数，使得，其中为整数，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”，若是上的“阶局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．设函数 的定义域为 ，如果对任意 ，都存在 ，使得 ，称函数 为“ 函数”，则下列函数为“ 函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
38．对于函数 ， ，设 ， ，若存在 ，使得 ，则称 互为“零点相邻函数”.若 与 互为“零点相邻函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
39．已知函数 ，若对其定义域内任意 和 均有 ，则称函数 为“凸函数”；若均有 ，则称 函数为“凹函数”.下列函数中是“凹函数”的是（ ）
A． B． C． D．
40.若函数y＝f(x)图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点对[A，B]是函数y＝f(x)的一对“黄金点对”（注：点对[A，B]与[B，A]可看作同一对“黄金点对”）已知函数，则此函数的“黄金点对”有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】因为，所以0不是的零点.
当时，方程的解的个数为函数与的图像在上交点的个数，在同一坐标系中作出与在上的图像（注意到当时，单调递减，）.
如图所示，由图可知在区间上，两函数图象有4个交点.
而与均为奇函数，故在上两图像交点个数为8，即在区间上的零点个数为8.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合函数的零点的定义，进而得出0不是的零点，再结合方程的根与两函数的交点的横坐标的等价关系，所以，当时，方程的解的个数为函数与的图像在上交点的个数，在同一坐标系中作出与在上的图像，由图可知在区间上，两函数图象有4个交点，再利用奇函数的定义判断出与均为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性，从而得出在上两图像交点个数，再结合两函数的交点的横坐标与函数的零点的等价关系，进而得出在区间上的零点个数。
2．【答案】B
【解析】【解答】令，得，
图象关于对称，在上递减.
，令，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，
，在上递增，
所以与有两个交点，
两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为2。
故答案为：B
【分析】令，得，再利用图象关于对称，在上递减，令，令再利用奇函数的定义判断出函数是奇函数，再结合奇函数的图象的对称性得出函数的图象关于原点对称，再结合图像的平移得出函数图象关于对称，再利用代入法和增函数的单调性，得出，在上递增，所以与有两个交点，再利用两函数的交点的横坐标与函数的零点的等价关系，再结合两个交点关于对称，进而得出函数的所有零点之和。
3．【答案】B
【解析】【解答】∵，
∴函数
是周期为2的周期函数．
令
，则
，
由题意得函数
的零点个数即为函数
的图象与函数
的图象交点的个数．
当
时，
，
在同一坐标系内画出函数
和函数
的图象（如图所示），
结合图象可得两函数的图象有14个交点，
∴函数
的零点个数为14.
故答案为：B．
【分析】根据题意，函数
的零点个数即函数
的图象与函数
的图象的交点个数，进而根据题意，分析函数
的周期与解析式，再由函数图象变化的规律分析函数
的图象.在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得其图象交点的个数.
5．【答案】B
【解析】【解答】
由题可知，，图象如图，，
令，则，则，
由图像可知，，此时最多有三个解，，
，由图像可知，最多有四个解
，由图像可知，最多有四个解
，由图像可知，最多有四个解
∴最多有12个解，
∴故选：B
【分析】观察函数对称性画出图像，根据图象与交点问题分析得出结果.
5.【答案】A
【解析】因为，，
所以，故选：A．
6.【答案】 C
【解析】设可得，即，当时，，所以
在坐标系中作出函数的图象如图：
由图可知有两个根
当时，，所以，由图可知有两个根，所以函数的零点个数为4
7.【答案】 C
【解析】当时，令，可得，即
在坐标系中作出函数的图象如图：
由图可知有1个交点
又因为奇函数，所以当时，有一个零点，又因，所以一共有三个零点
8.【答案】 C
【解析】令可得，即，
在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
∴由图象可知两个函数的交点个数为6个，零点个数为6个，故选：C
9．【答案】C
10．【答案】D
11．【答案】C
12．【答案】D
13．【答案】D
14．【答案】A
15．【答案】D
16．【答案】D
17．【答案】D
18．【答案】C
19．【答案】C
20．【答案】B
21．【答案】A
22．【答案】B
23．【答案】C
24．【答案】B
25．【答案】C
25．【答案】A
27．【答案】D
28．【答案】D
29．【答案】A,B,C
30．【答案】A,C
31．【答案】A,C
32．【答案】A,B,C
33．【答案】C
【解析】【解答】对于A，由函数是“类奇函数”，所以，且，所以当时，，即，A符合题意；
对于B，由，即随的增大而减小，若，则成立，B符合题意；
对于，由在上单调递增，所以，在上单调递减，设，在上单调递增，即在上单调递增，C不符合题意；
对于D，由，所以，所以函数也是“类奇函数”，所以D符合题意；
故答案为：C
【分析】由“类奇函数”的定义，所以且，再结合代入法得出的值；由结合单调函数的定义，进而判断出函数的单调性，从而得出函数的最值；由在上单调递增，所以，设，再利用函数的图象的对称性判断出在上的单调性，从而判断出在上的单调性；由，所以，再利用“类奇函数”的定义判断出函数也是“类奇函数”，进而找出错误的选项。
34．【答案】B
【解析】【解答】由题意得，，
当时，，适合题意；
的定义域为R，则，所以是偶函数，
因为为偶函数，故只需考虑在上的范围，
当时，，此时在单调递减，故，
由题意知对任意的，恒成立，
需，此时无最小值，故需，即；.
当，在上单调递增，，
对对任意的，恒成立，
需，但此时无最大值，需，即，
综上：，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数t的取值范围。
35．【答案】B
【解析】【解答】的定义域为，易得在上单调递增，
又，∴只有一个零点．
若和互为“零点相邻函数”，则在上存在零点．
∴，解得或．
（1）若，即或时，只有一个零点，
显然当时，，当时，，不符合题意；
（2）若，即或，
①若在上存在1个零点，则，即，
解得，，
②若在上存在2个零点，则，∴，
综上所述，的取值范围是。
故答案为：B．
【分析】利用的定义域为，易得在上单调递增，再利用函数的零点的求解方法，进而得出函数只有一个零点，再利用和互为“零点相邻函数”，则在上存在零点，再结合判别式法得出实数a的取值范围，再利用分类讨论的方法和函数的零点存在性定理，进而结合判别式法得出实数a的取值范围。
36．【答案】B
【解析】【解答】由题意，函数，满足，解得，
因为函数是上的“1阶局部奇函数”，
即关于的方程在上有解，
即在上有解，
可得，所以在有解，
又由，因为，所以，解得，
实数的取值范围是。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合定义域上的“阶局部奇函数” 的定义，再利用方程在给定区间有解的求解方法，进而求出实数m的取值范围。
37．【答案】B
【解析】【解答】解： 对任意 ，都存在 ，使得 ， 函数 的值域关于原点对称，
的值域为 ，故A错误，
的值域为 ，故B正确，
的值域为 ， ，故C错误，
，
， ，故D错误，
故答案为：B．
【分析】利用 “ 函数” 的定义结合函数求值域的方法，进而找出为“ 函数”的函数。
38．【答案】B
【解析】【解答】 ，且 在 上为增函数，所以 只有唯一零点2，
是“零点相邻函数”， 在 至少有一零点，
由 ，所以 ，
设 ， 与 在 有交点，
，
一次函数和反比例函数的单调性可知 为增函数，
所以 ，要使 与 在 有交点，
需 ，即为 的取值范围。
故答案为：B.
【分析】利用 “零点相邻函数”的定义结合零点存在性定理，再利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，从而结合一次函数和反比例函数的单调性，进而求出实数a的取值范围。
39．【答案】B
【解析】【解答】对函数 ， ，
则 因为 ，根据均值不等式：
故可得
即
又因为 ，故可得
即 .
故答案为：B.
【分析】根据凹函数的定义，对选项中的函数进行判断即可.
40.【答案】C
【分析】将关于y轴对称得到y＝9－2x，x＞0，问题转化为y＝9－2x，x＞0与、交点的个数问题，数形结合即可得到答案.
【详解】由题意关于y轴对称的函数为y＝9－2x，x＞0，
作出函数f(x)和y＝9－2x，x＞0的图象，
由图象知当时，联立y＝4x－x2和y＝9－2x，x＞0，得x2－6x＋9＝0，所以，
当时，联立和y＝9－2x，x＞0得，解得，（舍），
故两图象有2个交点．所以函数f(x)的“黄金点对”有2对．
故选：C三角函数 专题提升
三角函数有关最值范围综合问题
【典例精讲】
考点一、单调问题
1．已知函数.若，且在区间上单调，则（ ）
A． B．或4 C．4 D．或
2．已如函数区间上单调，且，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
4．若函数（）在区间上是单调函数，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数 （ 是常数， ）.若 在区间 上具有单调性，且 ，则 =（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
6．已知函数 ， 和 分别是函数 取得零点和最小值点横坐标，且 在 单调，则 的最大值是( )
A．3 B．5 C．7 D．9
7．已知函数 的图象在区间 上不单调，则 的取值范围为( )
A． B．
C． D．
8．已知函数 为 的零点， 为 图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
考点二、对称与最值问题
9．已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，周期 ， ，且在 处取得最大值，则使得不等式 恒成立的实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．函数 ，已知 为 图象的一个对称中心，直线 为 图象的一条对称轴，且 在 上单调递减．记满足条件的所有 的值的和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 的图像关于直线 对称，且 ，则 的最小值是( )
A． B． C． D．
13．已知函数 ，其中 ， ，其图象关于直线 对称，对满足 的 ， ，有 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
14．若函数 在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．函数对任意实数，都有，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．关于 的不等式 在区间 上恒成立， 的最大值为 ，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
考点三、零点与交点问题
17．已知函数 在区间 有三个零点 、 、 ，且 ，若 ，则 的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．
18．已知函数当时，，若函数在定义域内至少有10个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．函数的图象向右平移个单位得到函数，且在内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知函数 在 上恰有7个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．已知函数，对都有，且是f（x）的一个零点．若的周期大于，则＝ ；若在上有且只有一个零点，则的最大值为 ．
23．先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是 ．
24．已知函数 ， ，下述五个结论：①若 ，且 在 有且仅有5个零点，则 在 有且仅有3个极大值点；②若 ，且 在 有且仅有4个零点，则 在 有且仅有3个极小值点；③若 ，且 在 有且仅有5个零点，则 在 上单调递增；④若 ，且 在 有且仅有4个零点，则 的范围是 ；⑤若 的图象关于 对称， 为它的一个零点，且在 上单调，则 的最大值为11.其中所有正确结论的编号是 .
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】由，得函数的图象关于点中心对称；
由，得函数的图象关于直线对称，
所以，解得，
即，得.
因为在区间上单调，所以，即，
所以，解得.又，所以或.
当时，，则，得.
由，得，此时，
当时，，符合题意；
当时，，则，得.
由，得，此时，
当时，，符合题意.
综上所述，或.
故答案为：B.
【分析】由结合函数的图象的对称性得函数的图象关于点中心对称，同理，由得出函数的图象关于直线对称，进而得出正弦型函数的最小正周期，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出，再利用在区间上单调，进而得出T的取值范围，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的取值范围，再利用，进而得出k的值，再利用分类讨论的方法得出满足要求的函数的解析式，进而得出实数的值。
2．【答案】B
【解析】【解答】∵，∴.
又，.
∴是函数的一条对称轴.
同理得是函数的一个对称中心，
∵，
所以和是同一周期内相邻的对称中心和对称轴，得.
∴，，所以.
∴，它在上单调递增，
故.
所以的最大值为.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象变换和正弦型函数的图象的对称性和周期性，从而得出函数g(x)的解析式，再利用正弦型函数的图象判断出函数在区间上单调性，再结合集合间的包含关系，进而得出实数t的取值范围，从而得出实数t的最大值。
3．【答案】A
【解析】【解答】设函数的最小正周期为，
因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，
则，其中，所以，，，
因为函数在区间上单调，则，所以，.
所以，的可能取值有：、、、、.
（i）当时，，，
所以，，则，
，，所以，，
当时，，所以，
函数在上不单调，不合乎题意；
（ii）当时，，，
所以，，则，
，，所以，，
当时，，所以，
函数在上单调递减，合乎题意.
因此，的最大值为14.
故答案为：A.
【分析】设函数的最小正周期为，利用是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，进而得出正弦型函数的最小正周期，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出，再利用函数在区间上的单调性，进而得出的取值范围，从而得出的可能取值。再利用分类讨论的方法和代入法以及 取值范围，进而得出 值，从而得出函数的解析式，再结合x的取值范围和不等式的基本性质以及单调函数的定义，进而判断出函数在上的单调性，从而得出的最大值。
4．【答案】B
【解析】【解答】令，
，则，
因为函数在上单调，所以，
且或，
即或
解得或，
因此，的取值可以是。
故答案为：B
【分析】令，再利用x的取值范围，则，再利用函数在上单调，所以，且或，再利用集合间的包含关系结合分类讨论的方法，再借助数轴求出的取值范围，进而求出 可以的的取值。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：由 ，可知函数 的一条对称轴为 ，
则 离最近对称轴距离为 ．
又 ，则 有对称中心 ，
由于 在区间 上具有单调性，
则 ，所以 ，从而 ，所以 ，因为 ，所以 ．
故答案为：B
【分析】 结合条件得到函数关于对称，由此即可得出函数的对称中心为，根据对称性求出函数的周期由周期公式即可求出ω的值即可．
6．【答案】B
【解析】【解答】∵ ， 和 分别是函数 取得零点和最小值点横坐标
∴ ，即 .
又∵ ，
∴
又∵ 在 单调
∴
又∵
∴
当 ， 时， ，由 是函数 最小值点横坐标知 ，此时， 在 递减， 递增，不满足 在 单调，故舍去；
当 ， 时， 由 是函数 最小值点横坐标知 ，此时 在 单调递增，故 .
故答案为：B．
【分析】由题意可得 ，即 ，根据 ，可推出 ，再根据 在 单调，可推出 ，从而可得 的取值范围，再通过检验 的这个值满足条件．
7．【答案】B
【解析】【解答】因为 时 ，
又因为函数 的图象在区间 上不单调，
所以存在 ，使得 ，即得
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
因此 的取值范围为
，
故答案为：B.
【分析】根据区间(1，2)上不单调，利用三角函数的单调性建立不等式关系，求解即可．
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵x=﹣ 为f（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴， ∴ ，即 ，（n∈N）
即ω=2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（ ， ）则 ﹣ = ≤ ，即T= ≥ ，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤ ，∴φ=﹣ ，此时f（x）在（ ， ）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤ ，∴φ= ，此时f（x）在（ ， ）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选：B.
【分析】正弦函数的对称性.根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣ 为f（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（ ， ）单调，可得ω的最大值．本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．
9．【答案】D
【解析】【解答】由题意，解得，
∴，．
，，
∵，∴中一个取值1，一个取值-1，
∴。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用绝对值的定义和正弦型函数的对称性，进而得出a的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式和代入法以及正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出 的最小值。
10．【答案】B
【解析】【解答】 ，其中 ，
处取得最大值，
，即 ， ，
，①， ，
， ， ，②，
①②得 ，
，
即 ，解得 ， （舍去），
由①得 ， ，
， 在第一象限， 取 ， ，
由 ，即 ， ， ， ， ，
使 最小，则 ，即 ，
若不等式 恒成立，则 ，
故答案为：B
【分析】首先由两角和的正弦公式整理即可得出函数的解析式，结合正弦函数的性质即可求出，再由已知条件整理即可得出集合同角三角函数的基本关系式整理即可得出，结合正切函数的性质即可求出使 最小，则 ，即 ，由此即可得出使不等式 恒成立的 的取值范围 ，由此即可求出的最小值。
11．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意知或，k∈Z，
∴或
∴或，k∈Z，
∵函数f(x)在 上单调递减，
∴
∴
①当时，
取k=0，得，
此时，，当时，满足函数f(x)在 上单调递减，所以符合；
取k=1，得，
此时，，当时，满足函数f(x)在 上单调递减，所以符合；
②当时，
取k=0，得，
此时，，当时，，此时函数f(x)在 上单调递增，舍去；
当k≤-1，得，舍去；
当k≥1，得，舍去，
综上，或2，，
故答案为：A
【分析】根据正弦函数的单调性、对称性，结合分类讨论思想求解即可.
12．【答案】B
【解析】【解答】因为函数 的图像关于直线 对称，
所以 （1），由 ，可知 （2），
⑴-⑵得， ，
又因为 所以 的最小值是2，
故答案为：B。
【分析】因为函数 的图像关于直线 对称，所以 （1），由 ，可知 （2），再将（1）和（2）联立求出和k的关系式，再利用得出 的最小值 。
13．【答案】B
【解析】【解答】解：已知函数 ，其中 ， ，其图像关于直线 对称，对满足 的 ， ，有 ，∴ .
再根据其图像关于直线 对称，可得 ， .
∴ ，∴ .
将函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数 的图像.令 ，求得 ，
则函数 的单调递减区间是 ， ，
故答案为：B.
【分析】根据已知得到函数 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得 的值，结合其对称轴，求得 的值，进而求得 解析式.根据图像变换的知识求得 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得 的单调递减区间.
14．【答案】A
【解析】【解答】函数的单调区间为，
由，
得．
函数 在区间内没有最值，
函数 在区间内单调，，
解得由，得．
当时，得，
当时，得，又，故，
综上得的取值范围是
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象判断出其单调性，进而得出函数的最值，再结合分类讨论的方法，进而得出实数的取值范围。
15．【答案】C
【解析】【解答】由知是最大值或最小值，
所以，是的一条对称轴的方程，
所以，满足，，
所以，
因为，所以最小值为.
故答案为：C.
【分析】由知是最大值或最小值，所以是的一条对称轴的方程，再结合正弦型函数的图象求对称轴的方法得出，再利用，进而得出 的最小值。
16．【答案】D
【解析】【解答】由 得 ，
即 ，则 ，
为使不等式有解，必有 ；
所以 ，即 ，
若 ，则 ，即 ，则 ，
又 显然恒成立，所以 ，
解得 ， ；
由题意可得， 是 的子集，此时 的最大值为 ，不满足题意，故排除AB选项；
若 ，则 ，即 ，显然对任意 恒成立，此时 无最大值；C不符合题意；
若 ，则 ，即 ，
因为 显然恒成立，所以 ，
解得 ， ；
由题意可得， 是 的子集，此时 的最大值为 ，满足题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据题中条件，得到 ，求出 ，根据特殊值验证，分别取 ， ， ，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
17．【答案】C
【解析】【解答】当 时， ，
函数 的对称轴方程为 ，
令 ，可得 ，因为 ，可得 或 .
由于函数 在区间 有三个零点 、 、 ，且 ，
由对称性可得 、 满足 ，可得 ，
由对称性可得 、 满足 ，可得 ，
所以， ，解得 ，
因此，函数 的最小正周期为 ，
故答案为：C.
【分析】当 时， ，结合正弦函数图象的对称性推出函数 的对称轴方程为 ，令 ，可得 ，因为 ，可得 或 ，由于函数 在区间 有三个零点 、 、 ，且 ，由对称性可得 、 满足 ，由对称性可得 、 满足 ，所以 ，从而求出的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出正弦型函数的最小正周期。
18．【答案】D
【解析】【解答】当时，因为，所以当自变量增加2时，因变量变为原来的，将的图象右移两个单位，再把纵坐标缩为原来的一半，得到的图象，依次进行，再结合时，，得到的图象，如图．
由图可知，当时，至少有10个零点，因此时，，，故需要保证在区间内至少有一个零点即可.
故当时，，，即至少有一解，有，其中，，解得或（舍去，此时.
又由，当时，，当时，在定义域内恰有10个零点.
故只需要令，至少有10个零点．
故答案为：D
【分析】利用余弦函数的图象与函数周期性的结合画出图像，利用图像理解所求函数零点的分布进行分析求解。
19．【答案】B
【解析】【解答】根据题意得，
在内没有零点，满足，
所以，即。
故答案为：B．
【分析】根据题意结合正弦型函数的图象变换得出函数的解析式，再利用函数在内没有零点结合零点存在性定理，从而求出实数 的取值范围。
20．【答案】A
【解析】【解答】解：
令f(x)=0，得在 上恰有7个零点 ，
则由0≤x≤π得，
则
解得，
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式及函数的零点，结合y=Acos(ωx+θ)的性质求解即可
21．【答案】C
【解析】【解答】设函数的最小正周期为，由题意可得，则，所以，
所以，则．令，则，，即，
又因为，所以，所以．
因为函数在上的最大值为1，且，如图.
当时，，所以，
所以。
故答案为：C
【分析】设函数的最小正周期为，由题意结合正弦型函数的最小正周期公式，得出正弦型函数的最小正周期，从而求出的值，再利用赋值法结合，从而求出的值，进而求出正弦型函数的解析式，再利用函数在上的最大值为1，且，从而结合正弦型函数的图象求给定区间的正弦型函数的最大值的方法，再结合代入法得出实数m的取值范围。
22．【答案】；
【解析】【解答】由题意可得，解得，
由f（x）的周期大于π，则，即，
当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意.
由在上有且只有一个零点，则方程在上有且只有一个根，
因为，所以在上有且只有一个，使得函数取得最大值，则，解得，
可知，令，则，且，故同奇偶，
由，则，解得，即，
当时，，为奇数，则，即，
由，则，当或，即或时，函数取得最大值，不符合题意；
当时，，为偶数，则，即，
由，则，当，即时，函数取得最大值，符合题意.
故答案为：，
【分析】根据题意，列出方程组，且，得到，分、，两种情况讨论，求得，得到在上有且只有一个零点，则方程在上有且只有一个根，结合余弦函数的性质，列出方程组，分类讨论，得到，分和，两种情况讨论，即可求解.
23．【答案】
【解析】【解答】函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，因为函数的图象与的图象关于x轴对称，
所以，
因为，所以，
又因为在恰有2个零点，且，，
所以，解得，
令，，得，，令，得在上单调递增，所以，
所以，又，解得．
综上所述，，故的取值范围是．
故答案为：
【分析】利用已知条件结合余弦型函数的图象变换和函数的图象的对称性得到函数的解析式，再利用x的取值范围结合不等式的基本性质和在恰有2个零点，且，，进而得出的取值范围，再结合正弦型函数的图象判断单调性的方法得出函数在上单调递增，所以，再结合集合间的包含关系和
，进而得出实数的取值范围。
24．【答案】①③④
【解析】【解答】①若 ， 在 上有5个零点，可画出大致图象，
由图3可知， 在 有且仅有3个极大值点，故①正确；②若 ，且 在 有且仅有4个零点，同样由图可知 在 有且仅有2个极小值点，故②错误；③若 ，由 在 上有5个零点，得 ，即 ，当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递增，故③正确；④若 ，因为 ，∴ ，∴ ，因为 在 有且仅有4个零点，所以 ，所以 ，所以④正确；⑤若 的图象关于 对称， 为它的零点，则 ( ，T为周期)，
得 ，又 在 上单调，所以 ， ，
又当 时， ， ， 在 上不单调；
当 时， ， ， 在 上单调，满足题意，故 的最大值为9，故⑤不正确.
故答案为：①③④
【分析】画出 的大致图象，即可判断①②；对于③，由题可得 ，当 时， ，所以 ，故判断③；对于④，由 得 范围，故可判断④；对于⑤，由题知 ，又 在 上单调，所以 ， ，将 ， 代入验证即可.
