17.1.1《勾股定理》第三课时：勾股定理的计算、作图 教学设计
文档属性
| 名称 | 17.1.1《勾股定理》第三课时：勾股定理的计算、作图 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 131.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-21 14:08:31 | ||
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文档简介
第十七章勾股定理
17.1.1《勾股定理》
第三课时：勾股定理的计算、作图教学设计
一、教学目标
知识目标
1.学生能够熟练运用勾股定理在数轴上精准画出并清晰表示无理数。通过反复练习与实际操作，学生不仅能掌握具体的绘制步骤，还能深入理解每一步背后的数学原理，从而深度理解并切实感受数轴上的点与实数一一对应的紧密关系。例如，学生能准确说明为何通过特定直角三角形边长构造出的线段长度，恰好能在数轴上对应某个无理数，真正建立起数与形之间的直观联系。
2.学生充分了解利用勾股定理证明 HL 定理的完整过程与逻辑依据。从定理的已知条件出发，逐步引导学生分析如何运用勾股定理3.进一步深化学生对数学中数形
3.结合思想和转化思想的领悟与运用。在教学过程中，通过多样化的实例，如利用勾股定理将几何图形中的边长关系转化为代数运算，或者借助数轴将抽象的无理数直观表示出来，让学生在实践中不断体会这两种重要思想的应用。
核心素养目标
着重培养学生的逻辑思维意识，通过对勾股定理相关证明和应用的学习，引导学生有条理地思考问题，从已知条件出发，逐步推导结论，培养严谨的思维习惯。积极发展学生的数学理念，让学生认识到数学不仅仅是数字和公式的运算，更是一种逻辑严密、结构严谨的知识体系。深刻体会勾股定理在数学领域以及实际生活中的广泛应用价值，如在建筑设计、测量、航海等领域的应用，激发学生对数学学习的兴趣和探索欲望。
二、教学重点、难点
（一）重点
熟练运用勾股定理在数轴上准确标出表示无理数的点。详细讲解利用勾股定理构造直角三角形，确定直角边长度，进而得到斜边长度作为无理数在数轴上表示的方法。
（二）难点
帮助学生透彻理解无理数同样能够在数轴上精确表示出来。通过从有理数在数轴上的表示入手，逐步引入无理数的概念，借助勾股定理构造出与无理数对应的线段长度，让学生直观看到无理数在数轴上的位置。
三、教学过程
（一）“旧知启新思”—— 思考环节
在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得
，
又 AB=A′B′，AC=A′C′
∴ BC=B′C′
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)
设计意图：通过回顾八年级上册中通过画图得到的 “斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等” 这一结论，引发学生思考如何利用勾股定理进行证明。这一环节一方面能有效复习旧知，让学生巩固已学的三角形全等知识；另一方面，自然地引出本节课运用勾股定理进行证明的新内容，激发学生的探究欲望，促使学生主动思考数学知识之间的内在联系，培养学生的逻辑思维能力。
（二）“数与轴的重逢”—— 知识再现环节
实数与数轴上的点是一一对应的.
数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你还记得我们以前是如何在数轴上画出表示的点吗？
则：点A表示.
你能用勾股定理验证点A就是表示的点吗？
设计意图：回顾实数与数轴上的点一一对应的旧知，以及以前在数轴上画出表示特定无理数点的方法，为后续运用勾股定理在数轴上表示无理数做铺垫。通过唤起学生已有的知识记忆，让学生在已有知识的基础上进行知识的拓展与深化，降低新知识学习的难度，同时帮助学生构建完整的知识体系。
（三）“无理数的数轴之旅”—— 探究环节
你能在数轴上画出表示的点吗？
分析：利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边长为.
步骤：
1.在数轴上找出表示3的点A，则OA=3；
2.过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB=2；
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点.
类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段. 按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点.
设计意图：通过具体的问题 “如何在数轴上画出表示\(\sqrt{13}\)的点”，引导学生运用勾股定理进行分析和操作。让学生在实践中体会勾股定理在解决此类问题中的关键作用，培养学生的动手能力和逻辑思维能力。在探究过程中，学生需要思考如何选择合适的直角边长度，通过勾股定理计算出斜边长度，从而确定无理数在数轴上的位置，这一过程能有效提升学生的数学应用能力和创新思维。
（四）“小试牛刀展身手”—— 练习环节
1.在数轴上作出表示的点.
解：如图，点C为表示的点.
2.如图，等边三角形的边长是6. 求：
(1)高AD的长；
(2)这个三角形的面积.
解：(1)∵ AD是等边三角形ABC底边BC上的高
∴ ∠ADB=90°，BD=BC=3
在Rt△ABD中，根据勾股定理，
AD2=AB2-BD2=62-32=27
AD==
(2)S△ABC=×6×3=9
设计意图：通过两个练习题，一个是在数轴上作出表示特定无理数的点，另一个是运用勾股定理求解等边三角形的高和面积，巩固学生对勾股定理在数轴表示无理数以及解决实际几何问题中的应用。通过练习，检验学生对知识的掌握程度，及时发现学生在理解和应用过程中存在的问题，并进行针对性指导，帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。
（五）“知识殿堂的回顾”—— 课堂小结环节
本节课你有哪些收获？比如在知识方面，是否掌握了用勾股定理证明 HL 定理，以及在数轴上表示无理数的方法；在方法上，是否学会了如何构造直角三角形利用勾股定理解决问题；在思想层面，对数形结合和转化思想有没有更深刻的体会。
2. 还有没解决的问题吗？鼓励学生大胆提出在课堂学习过程中遇到的疑惑，无论是对概念的理解，还是对解题方法的困惑，都可以及时反馈给老师和同学。
设计意图：引导学生回顾本节课所学内容，包括知识、方法和思想等方面。通过回顾知识，帮助学生梳理知识体系，强化重点内容的记忆；回顾方法，让学生总结解决问题的思路和技巧，提升学习能力；回顾思想，加深学生对数学思想的理解，培养学生用数学思想方法解决问题的意识。同时让学生提出未解决的问题，以便教师及时了解学生的学习情况，进行后续的辅导和教学调整，做到因材施教。
（六）“情感升华的总结”
同学们，在今天的数学探索之旅中，我们一同借助勾股定理这把神奇的钥匙，打开了在数轴上表示无理数的大门，领略了数与形完美结合的魅力。从证明直角三角形全等的 HL 定理，我们看到勾股定理在逻辑推理中的强大作用，它将几何图形的关系通过严谨的代数运算得以证明。到在数轴上为一个个无理数找到它们专属的位置，每一步都凝聚着我们的思考与智慧。勾股定理就像一座桥梁，连接着几何图形与代数运算，让我们看到了数学世界的和谐与统一。它不仅存在于书本的定理和公式中，更广泛应用于生活的方方面面，如建筑工人在搭建直角结构时要用到勾股定理来确保角度准确，航海家在确定船只位置和航线时也离不开勾股定理的帮助。希望大家在未来的数学学习中，继续保持这份对知识的渴望和探索精神，用数学的眼光去发现更多生活中的美好与奥秘，不断挖掘数学知识的深度和广度，提升自己的数学素养和综合能力。
四、教学反思
1.教学方法的有效性：从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师清晰明了的讲解，让学生快速掌握重点知识和方法；又有组织学生积极参与的讨论，促进学生之间的思想交流与碰撞，培养学生的合作学习能力和批判性思维；还有在教师精心指导下的自学，让学生学会自主探索知识，提高自主学习能力；以及丰富多彩的学生活动，如动手在数轴上绘制无理数对应的点，增强学生的实践操作能力。这些多样化的教学方法充分调动了学生学习的积极性，使得学生能够真正成为课堂的主人，充分发挥了学生的主体作用，让学生在不同的学习方式中都能有所收获。
2.学习空间的拓展：课堂上为学生拓展了广阔的学习空间，给予学生充分发表意见的自由度。在讨论环节，学生们能够围绕问题各抒己见，提出不同的解题思路和观点；在提出问题环节，学生可以大胆表达自己在学习过程中的疑惑。这种自由的氛围有助于培养学生的独立思考能力，让学生敢于质疑、敢于创新。同时，学生之间的思想交流也营造出良好的学习氛围，大家相互学习、相互启发，共同进步。
3.学生的理解与掌握情况：在教学过程中，通过观察学生在课堂上的反应、练习的完成情况以及课堂小结时学生的反馈，发现大部分学生能够较好地理解和掌握运用勾股定理在数轴上表示无理数以及解决相关实际问题的方法。他们能够准确地构造直角三角形，运用勾股定理计算出相应的边长，并在数轴上正确表示出无理数。在解决实际几何问题时，也能熟练运用勾股定理求解边长和面积。但仍有少数学生在理解数轴上点与实数一一对应关系以及勾股定理的灵活应用上存在困难。例如，部分学生在选择直角边长度构造直角三角形时缺乏灵活性，不能快速找到合适的勾股数组合；在理解无理数在数轴上的表示原理时，只是机械地记忆步骤，没有真正理解其背后的数学逻辑。在今后的教学中，需要针对这部分学生进行个别辅导，设计更多有针对性的练习，如专门训练勾股数组合的寻找、数轴上无理数表示原理的深度剖析等，帮助他们突破难点。
4.教学环节的优化：虽然各个教学环节之间过渡较为自然，但在时间把控上还可以进一步优化。例如在探究环节，可以适当给予学生更多自主探索的时间，让他们有更充分的机会去尝试不同的勾股数组合，探索在数轴上表示无理数的多种方法，培养学生的创新思维和探索精神。在练习环节，对于学生的解题思路和方法的点评可以更加深入和全面，不仅要指出正确与否，还要分析不同解题方法的优缺点，引导学生选择最优解法，提升学生的解题能力和思维水平。同时，在教学过程中可以引入更多生活中的实际案例，如测量树的高度、计算梯子靠墙的安全高度等，让学生更加深刻地体会勾股定理的应用价值，增强学生学习数学的兴趣和动力，使数学课堂更加生动有趣、贴近生活。
六、展示评价
评价维度 评价要点 评价等级（A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
学生参与度 是否积极参与课堂讨论、回答问题，主动参与探究活动
知识掌握 能否准确理解平行四边形对角线互相平分的性质，熟练运用性质进行证明和计算
思维能力 在观察、猜想、证明过程中，思维的敏捷性、逻辑性和创新性表现如何
合作交流 小组合作中，与小组成员沟通是否顺畅，能否积极贡献自己的想法，倾听他人意见
17.1.1《勾股定理》
第三课时：勾股定理的计算、作图教学设计
一、教学目标
知识目标
1.学生能够熟练运用勾股定理在数轴上精准画出并清晰表示无理数。通过反复练习与实际操作，学生不仅能掌握具体的绘制步骤，还能深入理解每一步背后的数学原理，从而深度理解并切实感受数轴上的点与实数一一对应的紧密关系。例如，学生能准确说明为何通过特定直角三角形边长构造出的线段长度，恰好能在数轴上对应某个无理数，真正建立起数与形之间的直观联系。
2.学生充分了解利用勾股定理证明 HL 定理的完整过程与逻辑依据。从定理的已知条件出发，逐步引导学生分析如何运用勾股定理3.进一步深化学生对数学中数形
3.结合思想和转化思想的领悟与运用。在教学过程中，通过多样化的实例，如利用勾股定理将几何图形中的边长关系转化为代数运算，或者借助数轴将抽象的无理数直观表示出来，让学生在实践中不断体会这两种重要思想的应用。
核心素养目标
着重培养学生的逻辑思维意识，通过对勾股定理相关证明和应用的学习，引导学生有条理地思考问题，从已知条件出发，逐步推导结论，培养严谨的思维习惯。积极发展学生的数学理念，让学生认识到数学不仅仅是数字和公式的运算，更是一种逻辑严密、结构严谨的知识体系。深刻体会勾股定理在数学领域以及实际生活中的广泛应用价值，如在建筑设计、测量、航海等领域的应用，激发学生对数学学习的兴趣和探索欲望。
二、教学重点、难点
（一）重点
熟练运用勾股定理在数轴上准确标出表示无理数的点。详细讲解利用勾股定理构造直角三角形，确定直角边长度，进而得到斜边长度作为无理数在数轴上表示的方法。
（二）难点
帮助学生透彻理解无理数同样能够在数轴上精确表示出来。通过从有理数在数轴上的表示入手，逐步引入无理数的概念，借助勾股定理构造出与无理数对应的线段长度，让学生直观看到无理数在数轴上的位置。
三、教学过程
（一）“旧知启新思”—— 思考环节
在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得
，
又 AB=A′B′，AC=A′C′
∴ BC=B′C′
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)
设计意图：通过回顾八年级上册中通过画图得到的 “斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等” 这一结论，引发学生思考如何利用勾股定理进行证明。这一环节一方面能有效复习旧知，让学生巩固已学的三角形全等知识；另一方面，自然地引出本节课运用勾股定理进行证明的新内容，激发学生的探究欲望，促使学生主动思考数学知识之间的内在联系，培养学生的逻辑思维能力。
（二）“数与轴的重逢”—— 知识再现环节
实数与数轴上的点是一一对应的.
数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你还记得我们以前是如何在数轴上画出表示的点吗？
则：点A表示.
你能用勾股定理验证点A就是表示的点吗？
设计意图：回顾实数与数轴上的点一一对应的旧知，以及以前在数轴上画出表示特定无理数点的方法，为后续运用勾股定理在数轴上表示无理数做铺垫。通过唤起学生已有的知识记忆，让学生在已有知识的基础上进行知识的拓展与深化，降低新知识学习的难度，同时帮助学生构建完整的知识体系。
（三）“无理数的数轴之旅”—— 探究环节
你能在数轴上画出表示的点吗？
分析：利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边长为.
步骤：
1.在数轴上找出表示3的点A，则OA=3；
2.过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB=2；
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点.
类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段. 按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点.
设计意图：通过具体的问题 “如何在数轴上画出表示\(\sqrt{13}\)的点”，引导学生运用勾股定理进行分析和操作。让学生在实践中体会勾股定理在解决此类问题中的关键作用，培养学生的动手能力和逻辑思维能力。在探究过程中，学生需要思考如何选择合适的直角边长度，通过勾股定理计算出斜边长度，从而确定无理数在数轴上的位置，这一过程能有效提升学生的数学应用能力和创新思维。
（四）“小试牛刀展身手”—— 练习环节
1.在数轴上作出表示的点.
解：如图，点C为表示的点.
2.如图，等边三角形的边长是6. 求：
(1)高AD的长；
(2)这个三角形的面积.
解：(1)∵ AD是等边三角形ABC底边BC上的高
∴ ∠ADB=90°，BD=BC=3
在Rt△ABD中，根据勾股定理，
AD2=AB2-BD2=62-32=27
AD==
(2)S△ABC=×6×3=9
设计意图：通过两个练习题，一个是在数轴上作出表示特定无理数的点，另一个是运用勾股定理求解等边三角形的高和面积，巩固学生对勾股定理在数轴表示无理数以及解决实际几何问题中的应用。通过练习，检验学生对知识的掌握程度，及时发现学生在理解和应用过程中存在的问题，并进行针对性指导，帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。
（五）“知识殿堂的回顾”—— 课堂小结环节
本节课你有哪些收获？比如在知识方面，是否掌握了用勾股定理证明 HL 定理，以及在数轴上表示无理数的方法；在方法上，是否学会了如何构造直角三角形利用勾股定理解决问题；在思想层面，对数形结合和转化思想有没有更深刻的体会。
2. 还有没解决的问题吗？鼓励学生大胆提出在课堂学习过程中遇到的疑惑，无论是对概念的理解，还是对解题方法的困惑，都可以及时反馈给老师和同学。
设计意图：引导学生回顾本节课所学内容，包括知识、方法和思想等方面。通过回顾知识，帮助学生梳理知识体系，强化重点内容的记忆；回顾方法，让学生总结解决问题的思路和技巧，提升学习能力；回顾思想，加深学生对数学思想的理解，培养学生用数学思想方法解决问题的意识。同时让学生提出未解决的问题，以便教师及时了解学生的学习情况，进行后续的辅导和教学调整，做到因材施教。
（六）“情感升华的总结”
同学们，在今天的数学探索之旅中，我们一同借助勾股定理这把神奇的钥匙，打开了在数轴上表示无理数的大门，领略了数与形完美结合的魅力。从证明直角三角形全等的 HL 定理，我们看到勾股定理在逻辑推理中的强大作用，它将几何图形的关系通过严谨的代数运算得以证明。到在数轴上为一个个无理数找到它们专属的位置，每一步都凝聚着我们的思考与智慧。勾股定理就像一座桥梁，连接着几何图形与代数运算，让我们看到了数学世界的和谐与统一。它不仅存在于书本的定理和公式中，更广泛应用于生活的方方面面，如建筑工人在搭建直角结构时要用到勾股定理来确保角度准确，航海家在确定船只位置和航线时也离不开勾股定理的帮助。希望大家在未来的数学学习中，继续保持这份对知识的渴望和探索精神，用数学的眼光去发现更多生活中的美好与奥秘，不断挖掘数学知识的深度和广度，提升自己的数学素养和综合能力。
四、教学反思
1.教学方法的有效性：从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师清晰明了的讲解，让学生快速掌握重点知识和方法；又有组织学生积极参与的讨论，促进学生之间的思想交流与碰撞，培养学生的合作学习能力和批判性思维；还有在教师精心指导下的自学，让学生学会自主探索知识，提高自主学习能力；以及丰富多彩的学生活动，如动手在数轴上绘制无理数对应的点，增强学生的实践操作能力。这些多样化的教学方法充分调动了学生学习的积极性，使得学生能够真正成为课堂的主人，充分发挥了学生的主体作用，让学生在不同的学习方式中都能有所收获。
2.学习空间的拓展：课堂上为学生拓展了广阔的学习空间，给予学生充分发表意见的自由度。在讨论环节，学生们能够围绕问题各抒己见，提出不同的解题思路和观点；在提出问题环节，学生可以大胆表达自己在学习过程中的疑惑。这种自由的氛围有助于培养学生的独立思考能力，让学生敢于质疑、敢于创新。同时，学生之间的思想交流也营造出良好的学习氛围，大家相互学习、相互启发，共同进步。
3.学生的理解与掌握情况：在教学过程中，通过观察学生在课堂上的反应、练习的完成情况以及课堂小结时学生的反馈，发现大部分学生能够较好地理解和掌握运用勾股定理在数轴上表示无理数以及解决相关实际问题的方法。他们能够准确地构造直角三角形，运用勾股定理计算出相应的边长，并在数轴上正确表示出无理数。在解决实际几何问题时，也能熟练运用勾股定理求解边长和面积。但仍有少数学生在理解数轴上点与实数一一对应关系以及勾股定理的灵活应用上存在困难。例如，部分学生在选择直角边长度构造直角三角形时缺乏灵活性，不能快速找到合适的勾股数组合；在理解无理数在数轴上的表示原理时，只是机械地记忆步骤，没有真正理解其背后的数学逻辑。在今后的教学中，需要针对这部分学生进行个别辅导，设计更多有针对性的练习，如专门训练勾股数组合的寻找、数轴上无理数表示原理的深度剖析等，帮助他们突破难点。
4.教学环节的优化：虽然各个教学环节之间过渡较为自然，但在时间把控上还可以进一步优化。例如在探究环节，可以适当给予学生更多自主探索的时间，让他们有更充分的机会去尝试不同的勾股数组合，探索在数轴上表示无理数的多种方法，培养学生的创新思维和探索精神。在练习环节，对于学生的解题思路和方法的点评可以更加深入和全面，不仅要指出正确与否，还要分析不同解题方法的优缺点，引导学生选择最优解法，提升学生的解题能力和思维水平。同时，在教学过程中可以引入更多生活中的实际案例，如测量树的高度、计算梯子靠墙的安全高度等，让学生更加深刻地体会勾股定理的应用价值，增强学生学习数学的兴趣和动力，使数学课堂更加生动有趣、贴近生活。
六、展示评价
评价维度 评价要点 评价等级（A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
学生参与度 是否积极参与课堂讨论、回答问题，主动参与探究活动
知识掌握 能否准确理解平行四边形对角线互相平分的性质，熟练运用性质进行证明和计算
思维能力 在观察、猜想、证明过程中，思维的敏捷性、逻辑性和创新性表现如何
合作交流 小组合作中，与小组成员沟通是否顺畅，能否积极贡献自己的想法，倾听他人意见