专题 等腰(直角)三角形中动点问题(原卷版 解析版)

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名称 专题 等腰(直角)三角形中动点问题(原卷版 解析版)
格式 zip
文件大小 566.9KB
资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2025-02-20 08:45:32

文档简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
专题 等腰(直角)三角形中动点问题
题型一:三角形存在性问题
1.如图,∠ABC=30°,AB=6,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP是以AB为底的等腰三角形时,t的值为______秒.
【答案】
【解析】
【分析】
过点P作PD⊥AB于点D,根据等腰三角形有性质得到BD=3,再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解.
【详解】
解:过点P作PD⊥AB于点D,
∵△ABP是以AB为底的等腰三角形,即BP=PA,
∴BD=DA=AB=3,
∵∠ABC=30°,
∴BP=2PD,即BP=PD,
∵BP2-PD2=BD2,
∴BP2-BP2=32,
解得:BP=,
∵点P的运动速度是每秒1个单位长度,
∴t的值为秒,
故答案为:.
【总结】
本题考查了等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理等知识点,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
2.如图,,点A是延长线上的一点,,动点P从点A出发沿以的速度移动,动点Q从点O出发沿以的速度移动,如果点同时出发,用表示移动的时间,当_________s时,是等腰三角形;当_________s时,是直角三角形.
【答案】 或5 4或10
【解析】
【分析】
根据是等腰三角形,分两种情况进行讨论:点在上,或点在上;根据是直角三角形,分两种情况进行讨论:,或,据此进行计算即可.
【详解】
解:如图,当时,是等腰三角形,
,,
当时,,
解得;
如图,当时,是等腰三角形,
,,
当时,,
解得;
如图,当时,是直角三角形,且,
,,
当时,,
解得;
如图,当时,是直角三角形,且,
,,
当时,,
解得:t=10.
故答案为:或5;4或10.
【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质,解决问题的关键是进行分类讨论,分类时注意不能遗漏,也不能重复.
3.如图∠MAN=60°,若△ABC的顶点 B在射线AM上,且AB=6,动点C从点A出发,以每秒1个单位沿射线AN运动,当运动时间 t是_______秒时,△ABC是直角三角形.
【答案】3或12
【解析】
【分析】
分∠ACB=90°和∠ABC=90°两种情况,根据含30°角的直角三角形的性质求出AC,再求出答案即可.
【详解】
解:如图:当△ABC是以∠ACB=90°的直角三角形时,
∵∠MAN=60°,
∴∠ABC=30°,
∴AC=,
∴运动时间 t=秒,
当△ABC是以∠ABC=90°的直角三角形时,
∵∠MAN=60°,
∴∠ACB=30°,
∴AC=,
∴运动时间 t=秒,
当运动时间 t是3或12秒时,△ABC是直角三角形.
故答案为:3或12
【总结】
本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质,能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键.
4.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=30 cm,一动点P从B向C以每秒2 cm的速度移动,当P点移动____________秒时,PA与△ABC的腰垂直.
【答案】5或10
【解析】
【分析】
根据等腰三角形性质求出∠B=∠C=30°,分PA⊥AC和PA⊥AB两种情况分类讨论,得到BP=10cm或BP=20cm,即可求出点P移动的时间.
【详解】
解:∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
如图①,当PA⊥AC时,
∵∠C=30°.
∴PC=2AP,∠APC=60°,
∴∠B=∠BAP=30°,
∴AP=BP,
∴PC=2BP,
∴BP=BC=×30=10cm,
∴P点移动了10÷2=5(秒);
如图②当PA⊥AB时,
∵∠B=30°.
∴PB=2BP,∠APB=60°,
∴∠C=∠CAP=30°,
∴AP=CP,
∴BP=2CP,
∴BP=BC=×30=20cm,
∴P点移动了20÷2=10(秒).
故答案为:5或10
【总结】
本题考查了等腰三角形的性质与判定,直角三角形性质等知识,熟知相关定理,根据条件分类讨论是解题关键
5.如图,是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动.
(1)当点P的运动速度是,点Q的运动速度是,当Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),当时,判断的形状,并说明理由;
(2)当它们的速度都是,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),则当t为何值时,是直角三角形?
【答案】(1)是等边三角形,理由见解析
(2)当点P的运动时间为2s或4s时,是直角三角形
【分析】(1)分别求出的长可知,再由等边三角形的性质得到,即可证明是等边三角形;
(2)分当时和当时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可,
本题主要考查了直角三角形的判定,等边三角形的性质和判定,几何动点问题,熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键.
【详解】(1)解:是等边三角形,理由如下;
由题意得,当时,,
∴,
∴,
∵是等边三角形,
∴,
∴是等边三角形;
(2)解;∵运动时间为,
∴,
∴,
如图1所示,当时,
∵,
∴,
∴,
∴,
解得;
如图2所示,当时,
同理可得,
∴,
∴,
解得;
综上所述,当点P的运动时间为2s或4s时,是直角三角形.
6.如图,已知在中,,,,若动点P从点B开始,按的路径运动,且速度为每秒2个单位长度,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求CP的长.
(2)出发几秒钟后,CP恰好平分的周长.
(3)当t为何值时,为等腰三角形?
【答案】(1)PC =
(2)出发3秒钟后,CP恰好平分△ABC的周长
(3)t=3或5.4或6或6.5时,△BCP为等腰三角形
【解析】
【分析】
(1)勾股定理求得的长,进而根据速度求得出发2秒后的长,中勾股定理求解即可;
(2)由于CP恰好平分的周长,则P点不可能位于线段BC和AC上,即对P点在线段AB上进行探究,根据题意列出一元一次方程,解方程求解即可;
(3)①当P在AB上时,若BP=BC时,②当P在AC上时,若BP=BC时,③当P在AC上时,若CB=CP时,④当P在AB上时,若PC=PB时,根据题意列出一元一次方程解方程求解即可
(1)
由∠B=90°,AC=10,BC=6,
∴AB=8,
∵P从点B开始,按B→A→C→B,且速度为2,
∴出发2秒后,则BP=4,AP=6,
∵∠B=90°,
∴在中,由勾股定理得PC= ;
(2)
P点不可能位于线段BC和AC上,即对P点在线段AB上进行探究,
根据题意可得,
6+2t=10+8-2t ;
解得t=3
出发3秒钟后,CP恰好平分△ABC的周长
(3)
①当P在AB上时,若BP=BC时,得到2t=6;则t=3,
②当P在AC上时,若BP=BC时,过点作,则
在中,
在中,

解得
③当P在AC上时,若CB=CP时,

解得
④当P在AC上时,若PC=PB时,
得到2t=6;
则t=6.5.
综上可得t=3或5.4或6或6.5时,△BCP为等腰三角形.
【总结】本题考查了勾股定理,一元一次方程的应用,等腰三角形的性质与判定,分类讨论是解题的关键.
题型二、最值 问题
1.如图,在中,,,,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D、E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是(  )
A.2 B. C.3 D.
【答案】B
【分析】连接,利用三角形中位线的性质得到,根据垂线段最短知,当时,最小,即最小,利用勾股定理和等面积法求得即可.
【详解】解:连接,
∵点D、E分别为CN,MN的中点,
∴,
∴当时,最小,即最小,
在中,,,,
∴,
∴的最小值为,
∴的最小值为,
故选:B.
【总结】本题考查了三角形的中位线性质、勾股定理、垂线段最短,熟练掌握三角形的中位线性质,将求的最小值转化为求的最小值是解答的关键.
2.如图,在边长为6,面积为的等边△ABC中,N为线段AB上的任意一点,∠BAC的平分线交BC于点D,M是AD上的动点, 连结BM、MN,则BM+MN的最小值是_______
【答案】
【解析】
【分析】
由等边三角形的对称性得到MC=BM,再利用垂线段最段解题.
【详解】
解:过点C作于点N,
平分∠BAC,△ABC为等边三角形,
BM+MN,
当时,最小
等边△ABC面积为,边长为6,
故答案为:.
【总结】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的性质等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.
3..如图,等边中,于,,点、分别为、上的两个定点且,在上有一动点使最短,则的最小值为 .
【答案】5
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定,轴对称最短问题等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.
作点关于的对称点,连接交于,连接,此时的值最小.最小值.
【详解】解:如图,作点关于的对称点,连接交于,连接,此时的值最小.最小值,
是等边三角形,

,,,

,,




是等边三角形,

的最小值为5.
故答案为:5.
4.(2022·福建省泉州实验中学八年级期末)如图,在等腰△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC,BC=4,点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点,△PQR周长的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
过BC的中点P作AB,AC的对称点M,N,连接MN交AB与Q,交AC于R,则此时△PQR周长最小,求出MQ,RQ,RN即可解决问题.
【详解】
过点P作,的对称点M,N,连接交于Q,交于R,设交于点,
则,,
∴周长为,
当四点共线时,即当点P是的中点时,的周长最小,如图
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,,
同理,
∵,
∴.
∵,
中,
∴,
∴周长的最小值是.
故答案为:
【总结】本题是三角形综合题,考查了轴对称的性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键.
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专题 等腰(直角)三角形中动点问题
题型一:三角形存在性问题
1.如图,∠ABC=30°,AB=6,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP是以AB为底的等腰三角形时,t的值为______秒.
2.如图,,点A是延长线上的一点,,动点P从点A出发沿以的速度移动,动点Q从点O出发沿以的速度移动,如果点同时出发,用表示移动的时间,当_________s时,是等腰三角形;当_________s时,是直角三角形.
3.如图∠MAN=60°,若△ABC的顶点 B在射线AM上,且AB=6,动点C从点A出发,以每秒1个单位沿射线AN运动,当运动时间 t是_______秒时,△ABC是直角三角形.
4.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=30 cm,一动点P从B向C以每秒2 cm的速度移动,当P点移动____________秒时,PA与△ABC的腰垂直.
5.如图,是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动.
(1)当点P的运动速度是,点Q的运动速度是,当Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),当时,判断的形状,并说明理由;
(2)当它们的速度都是,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),则当t为何值时,是直角三角形?
6.如图,已知在中,,,,若动点P从点B开始,按的路径运动,且速度为每秒2个单位长度,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求CP的长.
(2)出发几秒钟后,CP恰好平分的周长.
(3)当t为何值时,为等腰三角形?
题型二、最值 问题
1.如图,在中,,,,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D、E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是(  )
A.2 B. C.3 D.
2.如图,在边长为6,面积为的等边△ABC中,N为线段AB上的任意一点,∠BAC的平分线交BC于点D,M是AD上的动点, 连结BM、MN,则BM+MN的最小值是_______
3..如图,等边中,于,,点、分别为、上的两个定点且,在上有一动点使最短,则的最小值为 .
4.(2022·福建省泉州实验中学八年级期末)如图,在等腰△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC,BC=4,点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点,△PQR周长的最小值是______.
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