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专题 等腰(直角)三角形中动点问题
题型一：三角形存在性问题
1．如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．
【答案】
【解析】
【分析】
过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．
【详解】
解：过点P作PD⊥AB于点D，
∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA，
∴BD=DA=AB=3，
∵∠ABC=30°，
∴BP=2PD，即BP=PD，
∵BP2-PD2=BD2，
∴BP2-BP2=32，
解得：BP=，
∵点P的运动速度是每秒1个单位长度，
∴t的值为秒，
故答案为：．
【总结】
本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2.如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．
【答案】 或5 4或10
【解析】
【分析】
根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．
【详解】
解：如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得：t=10．
故答案为：或5；4或10．
【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
3.如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点 B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间 t是_______秒时，△ABC是直角三角形．
【答案】3或12
【解析】
【分析】
分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．
【详解】
解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，
∵∠MAN＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AC=，
∴运动时间 t=秒，
当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，
∵∠MAN＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC=，
∴运动时间 t=秒，
当运动时间 t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．
故答案为：3或12
【总结】
本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．
4.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝30 cm，一动点P从B向C以每秒2 cm的速度移动，当P点移动____________秒时，PA与△ABC的腰垂直．
【答案】5或10
【解析】
【分析】
根据等腰三角形性质求出∠B=∠C=30°，分PA⊥AC和PA⊥AB两种情况分类讨论，得到BP=10cm或BP=20cm，即可求出点P移动的时间．
【详解】
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B=∠C=30°．
如图①，当PA⊥AC时，
∵∠C=30°．
∴PC=2AP，∠APC=60°，
∴∠B=∠BAP=30°，
∴AP=BP，
∴PC=2BP，
∴BP=BC=×30=10cm，
∴P点移动了10÷2=5（秒）；
如图②当PA⊥AB时，
∵∠B=30°．
∴PB=2BP，∠APB=60°，
∴∠C=∠CAP=30°，
∴AP=CP，
∴BP=2CP，
∴BP=BC=×30=20cm，
∴P点移动了20÷2=10（秒）．
故答案为：5或10
【总结】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形性质等知识，熟知相关定理，根据条件分类讨论是解题关键
5.如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
(1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形
【分析】（1）分别求出的长可知，再由等边三角形的性质得到，即可证明是等边三角形；
（2）分当时和当时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可，
本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下；
由题意得，当时，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解；∵运动时间为，
∴，
∴，
如图1所示，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2所示，当时，
同理可得，
∴，
∴，
解得；
综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形．
6.如图，已知在中，，，，若动点P从点B开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求CP的长．
(2)出发几秒钟后，CP恰好平分的周长．
(3)当t为何值时，为等腰三角形？
【答案】(1)PC =
(2)出发3秒钟后，CP恰好平分△ABC的周长
(3)t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）勾股定理求得的长，进而根据速度求得出发2秒后的长，中勾股定理求解即可；
（2）由于CP恰好平分的周长，则P点不可能位于线段BC和AC上，即对P点在线段AB上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；
（3）①当P在AB上时，若BP＝BC时，②当P在AC上时，若BP＝BC时，③当P在AC上时，若CB＝CP时，④当P在AB上时，若PC＝PB时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可
(1)
由∠B＝90°，AC＝10，BC＝6，
∴AB＝8，
∵P从点B开始，按B→A→C→B，且速度为2，
∴出发2秒后，则BP＝4，AP＝6，
∵∠B＝90°，
∴在中，由勾股定理得PC＝ ；
(2)
P点不可能位于线段BC和AC上，即对P点在线段AB上进行探究，
根据题意可得，
6＋2t＝10＋8－2t ；
解得t＝3
出发3秒钟后，CP恰好平分△ABC的周长
(3)
①当P在AB上时，若BP＝BC时，得到2t＝6；则t＝3，
②当P在AC上时，若BP＝BC时，过点作，则
在中，
在中，
即
解得
③当P在AC上时，若CB＝CP时，
即
解得
④当P在AC上时，若PC＝PB时，
得到2t＝6；
则t＝6.5．
综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．
【总结】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
题型二、最值 问题
1.如图，在中，，，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】连接，利用三角形中位线的性质得到，根据垂线段最短知，当时，最小，即最小，利用勾股定理和等面积法求得即可．
【详解】解：连接，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴，
∴当时，最小，即最小，
在中，，，，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故选：B．
【总结】本题考查了三角形的中位线性质、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握三角形的中位线性质，将求的最小值转化为求的最小值是解答的关键．
2.如图，在边长为6，面积为的等边△ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点， 连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______
【答案】
【解析】
【分析】
由等边三角形的对称性得到MC=BM，再利用垂线段最段解题．
【详解】
解：过点C作于点N，
平分∠BAC，△ABC为等边三角形，
BM+MN，
当时，最小
等边△ABC面积为，边长为6，
故答案为：．
【总结】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
3..如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
是等边三角形，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为5．
故答案为：5．
4.（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．
【详解】
过点P作，的对称点M，N，连接交于Q，交于R，设交于点，
则，，
∴周长为，
当四点共线时，即当点P是的中点时，的周长最小，如图
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
同理，
∵，
∴．
∵，
中，
∴，
∴周长的最小值是．
故答案为：
【总结】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
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专题 等腰(直角)三角形中动点问题
题型一：三角形存在性问题
1．如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．
2.如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．
3.如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点 B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间 t是_______秒时，△ABC是直角三角形．
4.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝30 cm，一动点P从B向C以每秒2 cm的速度移动，当P点移动____________秒时，PA与△ABC的腰垂直．
5.如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
(1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？
6.如图，已知在中，，，，若动点P从点B开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求CP的长．
(2)出发几秒钟后，CP恰好平分的周长．
(3)当t为何值时，为等腰三角形？
题型二、最值 问题
1.如图，在中，，，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
2.如图，在边长为6，面积为的等边△ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点， 连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______
3..如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ．
4.（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．
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