沪教版九年级数学上册 24.4相似三角形的判定 练习（含详解）

24.4相似三角形的判定
一、单选题
1．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是36°的两个等腰三角形相似
B．有一个角是45°的两个等腰三角形相似
C．有一个角是60°的两个等腰三角形相似
D．有一个角是钝角的两个等腰三角形相似
3．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
4．已知在△ABC中，，，，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（ ）
A．B．C． D．
5．如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（ ）

A． B．
C． D．
6．如图，点在△ABC的边上，添加一个条件可判定，其中添加不正确的是( )
A． B． C． D．
7．如图，在中，、分别是边、AB上的点，下列命题中，假命题是（ ）
A．若，则与相似 B．若，则与相似
C．若，则与相似 D．若，则与相似
8．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（ ）
A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC
9．如图，在△ABC中，.则图中相似三角形共有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
10．如图，将△ABC绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．与 B．△BDF与
C．与 D．与
二、填空题
11．图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）.
12．如图，与相交于点，连接，，添加一个条件，使．你添加的条件是 ．
13．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．

14．点D在△ABC的边AB上，且，则，理由是 ．
15．如图，已知，则图中相似三角形是 ．

16．已知：在△ABC中，P是上一点，连接，当满足条件： 或 或 时，．

17．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中 对相似三角形．
18．如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个．
三、解答题
19．如图，相交于点．求证∶
20．如图，是的边上的一点，，，，求证：．
21．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC=PD=CD，∠A=∠BPD，求证：△PAC∽△BPD．
22．如图，，且，，求证：．

23．如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：．
24．如图，在矩形中，为边上一点，将点沿翻折恰好落到边上的点处．求证：；
25．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E．
(1)求证：
(2) ， ．
26．如图，经过点的直线l与双曲线交于点，直线分别交曲线和于点M、N，点在直线上．连接、．
(1)求n的值及直线l的解析式；
(2)求证：．
27．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：△ADP∽△BDF；
（3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值．
答案
一、单选题
1．D
【分析】本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解析】解：由图得：
当或或时，与相似；
也可．
选项中角不是成比例的两边的夹角．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查相似三角形的判定方法，根据有两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【解析】解：A、36度的两个角一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三角形不相似，选项为假命题；
B、45度的两个角一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三角形不相似，选项为假命题；
C、有一个角是60°的两个等腰三角形均为等边三角形，相似，为真命题；
D、有一个角是钝角，且钝角的度数相等的两个等腰三角形相似，选项为假命题；
故选C．
3．A
【分析】直接根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”分别判断得出答案．
【解析】∵，，∴，故A选项符合题意；
∵，不是和的夹角，∴不能说明△ABC和相似，故B选项不符合题意；
∵，和均不是夹角，∴不能说明△ABC和相似，故C选项不符合题意；
∵，不是和的夹角，∴不能说明△ABC和相似，故D选项不符合题意．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【解析】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．A
【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）；
（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）；
（4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。
【解析】A选项符合判定方法（4），符合题意．
B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意．
C选项相等的角不是对应角，不符合题意．
D选项相等的角不是对应角，不符合题意．
6．D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
【解析】解：∵在和中，，
∴当时，满足两组角对应相等，可判断，故A不符合题意；
当时，满足两组角对应相等，可判断，故B不符合题意；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C不符合题意；
当时，不能判断，故D符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】三角形相似的判定方法:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似;两角对应相等的两个三角形相似;根据三角形相似的判定方法容易得出结论.
【解析】解:若,不满足三角形相似的判定方法,不一定相似,A是假命题;
若,则DE∥BC，△ADE~ △ACB B正确;
若又∠A=∠A,△ADE~△ACB, C正确;
若∠ADE=∠B,又∠A=∠A,
△ADE~△ABC, D正确;
所以选A.
8．A
【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案．
【解析】解：A．若，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△DOC，故本选项符合题意；
B．若，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项不符合题意；
C．若，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意；
D．若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
故选：A．
9．C
【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，，
．
故相似的三角形对数为4对：
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到，，，，，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．
【解析】解：根据旋转的性质得，，
∴，
∴，，
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故B不符合题意；
又，，
∴，故C不符合题意；
根据题意，无法求解与相似，
故D符合题意；
故选：D．
二、填空题
11．是
【分析】先根据三角形的内角和定理求得第一个三角形的第三个内角的度数，根据相似三角形的判定即可解答．
【解析】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为，
根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似，
故答案为：是
12．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由图可知，所以要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键．
【解析】∵（对顶角相等），
∴要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，
∴可以添加，
故答案为：（答案不唯一）．
13．或或（答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键．
【解析】解：添加，
∵，
∴，即，
∵，
∴；
添加，
∵，
∴，即，
∵，
∴；
添加，
∵,
∴，即，
∵，
∴；
故答案为：或或（答案不唯一）．
14．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
【分析】先依题意画出图形，再根据相似三角形的判定即可得．
【解析】依题意，画图如下：
，即，
又，
（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
15．
【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
【解析】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】连接，由图可得，两三角形已有一组角（公共角）对应相等，再加一组角对应相等或两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有此填空即可．
【解析】证明：连接，

，
∴当或或时，，
故答案为：；；．
17．3
【分析】由□ABCD可得，，再由平行线性质推导而证明△AFE∽△CFD∽△BCE，从而完成求解．
【解析】∵□ABCD
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴
△CFD∽△BCE
∴△AFE∽△CFD∽△BCE
故答案为：3．
18．7
【分析】本题考查相似三角形的判定．根据题意，可分情况讨论，具体见详解．
【解析】解：如图所示，当时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，．
综上所述，符合题意的点的位置有7个．
故答案为：7．
三、解答题
19．证明∶，
，
．
20．证明：，，
，
，
，
为公共角，
．
21．证明：∵PC＝PD＝CD，
∴为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴,
∵∠A＝∠BPD，
∴△PAC∽△PBD．
22．证明：，且，，
，
，且，
，
，
，
又∵，
23．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
24．证明：在矩形中，，
根据翻折可得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．（1）解：证明：如下图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又，，，
∴∠ABC=∠ADG=∠AFB=90°，
∴ADGAFE，
∴∠3=∠AGD=∠AEF，
∴∠ADC=∠CGD=∠AEB，
又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C，
∴
故答案为：ADG，AFE，ACD．
26．（1）解：将代入得，，解得，，
设直线l的解析式是，
将，，代入得，
解得，
∴直线l的解析式是，
∴，直线l的解析式是；
（2）证明：∵在直线上，
∴，
解得：，
∴，
把代入，得，即；
把代入，得，即；
∴ ，，
∵，，，
由勾股定理得，，，
∴，
又∵，
∴；
27．（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠FCH＝45°，
∵AB∥FH，
∴∠HFC＝∠ABC＝90°，
∴∠FCH＝∠H＝45°，
∴CF＝FH＝AE，
∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH，
∴△APE≌△HPF（AAS），
∴PE＝PF，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵EP＝PF，
∴∠EDP＝∠FDP＝45°，
∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，
∴∠ADP＝∠BDF，
∵∠DAP＝∠DBF＝45°，
∴△ADP∽△BDF；
（3）如图2中，作PH⊥BC于H．
∵∠ACB＝45°，PC＝，
∴PH＝CH＝1．
由（2）得：BE＝PE＝PF，
∴BE＝EF，
∴∠BFE＝30°，
∴PF＝2，
∴HF＝，
∴CF＝﹣1，