沪教版九年级数学上册 第二十四章 相似三角形 单元复习检测卷 （含详解）

第二十四章《相似三角形 》单元复习检测卷
一、单选题
1．下列说法不正确的是（　　）
A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3
2．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在 ABC中，，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知，且a+b+c≠0，则= ．
8．点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），如果AC比BC大2，那么AC= ．
9．如图，在 ABC中，点在的延长线上，满足，点是的中点，联结交于点，则 ．

10．如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，DE∥AB，已知= ，，那么用，表示＝ ．
11．如图， ABC的中线、交于点，点在边上，，那么的值是 .

12．在中，1，以为边在 ABC外作等边，设点E、F分别是 ABC和的重心，则两重心E与F之间的距离是 ．

13．如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=，AF=2BF，那么GB= ．
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到，点A、B分别与点对应，边分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边的中点，那么=
15．如图，已知在 ABC中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ．
16．在 ABC中，，P是上的一点，Q为上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和 ABC相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ．
17．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为 ．
18．如图，在矩形中，，是的中点，连接是边AD上一动点，过点的直线将矩形折叠，使点落在上的D/处，当是以为腰的等腰三角形时， ．

三、解答题
19．如图：在 ABC中，点D、E分别是、的中点，设，．
(1)用向量、分别表示下列向量：______，______；
(2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，保留痕迹，写出结果）
20．如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，．
(1)求证：；
(2)分别连接、，求证：四边形是等腰梯形．
21．若实数满足，求的值．
22．如图，在 ABC中，点、点分别在、上，点是上的一点，联结并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
23．已知：如图，在 ABC中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点．

(1)求证：．
(2)当点为的中点时，求证：．
24．在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”：如图，平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为，

(1)当“旋似比”为时，求点的坐标；
(2)过做轴，点为垂足，连接，若轴，求此时的“旋似比”；
(3)当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标．
25．在直角梯形中，，，，，，点是射线上的动点（不与点重合）

(1)将沿者直线翻折，点落在处，射线交边于点．
①如图，当点在边上时，求证：；
②当中有一条边平行于时，求的长；
(2)当点在的延长线上时，连接，射线与射线交于点，且，求的值．
答案
一、单选题
1．下A
【分析】直接利用成比例线段以及相似多边形的性质、黄金分割的性质分别判断得出答案．
【解析】解：A、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，原说法错误，故此选项符合题意；
B、若线段a=5cm，b=2cm，则a：b=5：2，正确，故此选项不符合题意；
C、若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则 cm，正确，故此选项不符合题意；
D、若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴根据线段黄金分割的定义得：AP2＝PB AB，AP：AB＝PB：AP，
∴只有②④正确．
故选B．
3．D
【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．
【解析】
，
，
故选：D．
4．C
【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可．
【解析】解：由题意知，，A错误，故不符合要求；
，B错误，故不符合要求；
，C正确，故符合要求；
，D错误，故不符合要求；
故选：C．
5．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，同理得到，计算即可．
【解析】解：，
，
，
，
同理可得：，
，
，
故选C．
6．C
【分析】过点H作交DE于点Q，HG交DE于点N，
【解析】解：如图所示，过点H作交DE于点Q，HG交DE于点N，设利用得到三角形相似，对应线段成比例，求出从而得到即可得出结果．
∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，
设
即
即
即
故选：C．
二、填空题
7．
【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入比例式进行计算即可得解．
【解析】解：设=k（k≠0），
则a=2k，b=3k，c=5k，
所以，==．
故答案为 ．
8．
【分析】分别设出AC、BC、AB的长，再利用黄金分割点性质构造方程求解即可．
【解析】解：设AC=x，由已知BC=x-2，AB=2x-2
∵点C是线段AB的黄金分割点
∴
即
整理，得
解得
，（舍去）
故答案为：
9．2：5
【分析】过点A作辅助线构造相似三角形,借助相似三角形的性质,可以得到对应边成比例,进而得到的值．
【解析】解：如图,过点A作AG∥BC,交ED于点G,

∵AG∥BC
∴△AGF∽△CEF,△DAG∽△DBE．
∴ ,．
∵．
∴．
∵点是的中点．
∴BE=EC．
∴．
∴．
即:=2：5．
故答案为：2：5
10．2 +
【分析】根据题意利用三角形法则可知：，求出，即可解决问题．
【解析】解：∵AD是中线，
∴BD＝DC，
∵DE∥AB，
∴AE＝EC，
∴AB∥DE，AB＝2DE，
∴＝2，
∵＝＝ ，，
∴＝2+，
故答案为：2 +．
11．
【分析】根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可．
【解析】∵△ABC的中线AD、CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴，
∵GF∥BC，
∴，
∵DC=BC，
∴ ，
故答案为：.
12．
【分析】如图：取中点O，连接．根据含30度角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理得出，根据等边三角形的性质得出，，那么，利用勾股定理求出．然后证明，得出．
【解析】解：如图：取中点O，连接
在中，，
∴AC=2BC=2，AB==，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴BD==．
∵点E、F分别是和的重心，
∴ ，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

13．
【分析】先说明三角形CDE为等腰直角三角形，并求得其斜边CE的长，然后再说明三角形CEG为等腰三角形，最后根据△EFA∽△BGF得出比例式，结合DF AF=2BF得出CG与DE的倍数关系，最后根据BG=BC+CG进行计算即可.
【解析】解：.∵矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与AD交于E；
∴CD=AB=,∠DCE=∠BCE=45°，
∴CD=DE=，
∵直角三角形CDE，
∴CE= ，
又∵∠AEC的角平分线EG与AB交于点F，
∴∠AEG=∠CEG
∵AD//BC
∴∠G=∠AEG
∴∠CEG=∠G
∴CG=CE=6，
∵∠G=∠AEF，∠AFE=∠BFG，
∴△AEF∽△BGF
∴
设BG=x，AE=2x，则BC=AD=+2x
.∵CG=BC+BG
∴6=+2x+x，解得x=.
故答案为：.
14．
【分析】设AC=1，则AB=2，BC=，根据旋转可知，A1C=1，A1B1=2，B1C=，∠B1=∠B=30°，，根据直角三角形性质，证明△CEA1是等边三角形，得出∠ECB1=∠B=30°，根据平行线的判定，得出，根据平行线分线段成比例定理，得出，求出，即可得出结果．
【解析】解：设AC=1，则AB=2，BC=，根据旋转可知，A1C=1，A1B1=2，B1C=，∠B1=∠B=30°，，
∴∠CA1B1=60°，
∵E是边的中点，
∴CE=EA1，
∴△CEA1是等边三角形，
∴CE=A1C=1，，
∴BE=，，
∴∠ECB1=∠B=30°，
∴
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
15．2016
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设，，，得出，，，根据，得出，将化简为即可得出答案．
【解析】解：设，，，
则，
同理可得：，，
∵，
∴，
∴
．
故答案为：2016．
16．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，当时，只要满足，都能满足题意；当时，得到，则，再由，可得，据此可得答案．
【解析】解：如图所示，当时，
∴，
∴只要满足，都能满足题意；

如图所示，当时，
∵直线把 ABC分成面积相等的两部分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，直线把 ABC分成面积相等的两部分，且和 ABC相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是．
故答案为：

17．100°或115°
【分析】根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①当AD＝CD时，②如当AD＝AC，③当AC＝CD，然后结合最美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数．
【解析】解：①当AD＝AC时，如图1，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝65°＋50°＝115°．
②当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝50°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝50°＋50°＝100°．
③当AC＝CD时，如图3，∠ADC＝∠A＝50°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ADC＝∠BCD（不合题意）．
综上所述，∠ACB＝100°或115°．
故答案为： 100°或115°
18．或
【分析】根据矩形的性质，勾股定理可得，根据折叠的性质可得，当是以为腰的等腰三角形，分类讨论：第一种情况，，过点作于点；第二种情况，；根据等腰三角形的性质，折叠的性质，运用相似三角形的判定和性质可得，找出线段之间的数量关系列式求解即可．
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵点是中点，
∴，
∴在中，，
∵折叠，
∴，
当是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
第一种情况，如图所示，，过点D/作于点，

∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，即，
解得，，即，
∴；
第二种情况，如图所示，，

同理，可得，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，，（舍去），
∴；
综上所述，的值为或，
故答案为：或 ．
三、解答题
19．（1）解：∵点D、E分别是、的中点，设，．
∴，，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过作交于，
∵点D、E分别是、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴向量，是向量分别在、方向上的分向量；
20．（1）证明：连结．
∵四边形是菱形，
∴；
又，，
∴，；
∴，；
∴．
（2）证明：连接
∵，
∴；
∵，
∴；
又，
∴；
又，
∴四边形是梯形；
∵,即；
又∵，即；
∵四边形是菱形，
∴；
∴；
∴；
∴梯形是等腰梯形．
21．解：∵，
∴，
设，
则，
，
，
即，
所以或，
当时，则，
，同理，，
所以
；
当时，
所以
，
综上，值为8或．
22．（1）证明：，，
∽，
∴
．
（2）证明：，，
∽，
，
，
又∵，
，
，
，
∽，
，
，
．
23．（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，作交的延长线于，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
．
24．（1）如图，过作轴于点，过作轴于点，
∴
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴点；
（2）如图，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴此时的“旋似比”为；
（3）如图，延长交于点，
∵“旋似比”为，
∴同理：点，
设解析式为，
∴，解得：，
∴解析式为，
则有，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标．
25．（1）①证明：根据折叠的性质，
又
②解：第一种情况：根据题意，当时，如图
，
四边形为平行四边形
设，则，
又，
由题意可知，
，即
解得：，（舍去负值）
第二种情况：根据题意，当时，连接，作，如图所示：
，，
，，
又
四边形是平行四边形
又，
又，
，
又根据折叠的性质，可知
设，则，
由①可知，
由题意可知，，
，即
综上所述，或．
（2）解：连接，作于点，如图
由（1）可知，
又
，
又
设，则，
，
又，
，即
解得：
，
，即
又，
的值为．