湘教版（2024）数学七年级下册1.1整式的乘法同步分层联系
一、夯实基础
1．（2024七下·开化期中）可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·高州月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·平南期中）若，则m的值为（ ）
A． B．6 C．2 D．
4．小明计算 时， 第一步运算的依据是（ ）
A．分配律 B．积的乘方法则
C．幂的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则
5．（2024七下·吉州期末）计算： .
6．（2024七下·萍乡期末）如与的乘积中不含的一次项，则的值为 .
7． 计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
8．1 千克镭完全衰变后， 放出的热量相当于 千克煤放出的热量， 据估计地壳里含 千克镭．试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？
二、能力提升
9．（2024七下·温州期中）计算，所得结果的一次项系数是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
10．（沪科版数学七年级下8.2.2单项式与多项式相乘）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题： ， 的地方被钢笔水弄污了，你认为 内上应填写
A．3xy B． C． D．1
11．（2024七下·榕城期末）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于( )
A． B． C． D．
12．（2024七下·娄底月考）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要 张.
13．（2024七下·揭西期末）某校组织了一次篮球联赛，原计划共有n支球队参加比赛，采用单循环比赛的赛制（任意2支球队之间都要比赛一场）.若赛前有2支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比赛，则比赛总场数比原计划减少 场.
14． 用简便方法计算下列各题：
（1） ．
（2） ．
15．（2024七下·抚州期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题：
（1）①若，则________；
②若，则________；
（2）若，求的值．
三、拓展创新
16．（2024七下·榆林期中）若，，则的值为（ ）
A．8 B．12 C．40 D．144
17．（2024七下·义乌期末）已知 是常数， 若化简 的结果中不含 的二次项， 则 的值为（ ）
A．-3 B．2 C．3 D．4
18．（2024七下·保定期中）已知，，…，均为正数，且满足，，则，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
19． 7 张如图 1 所示的长为 、宽为 的小长方形纸片， 按图 2 的方式不重叠地放在长方形 内， 未被覆盖的部分 (两个长方形) 用阴影表示． 设左上角与右下角的阴影部分的面积差为 ， 当 的长度变化时， 按照同样的放置方式， 始终保持不变， 则 满足（ ）
A． B． C． D．
20．（2024七下·龙岗期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
…
则中，第三项系数为( )
A．45 B．50 C．55 D．60
21．定义运算： ． 下面给出这种运算的四个结论：
①；
②；
③若 ， 则 ；
④ 若 ， 则 ．
其中正确的结论为 ． （把所有正确结论的序号都填在横线上）
22．（2024七下·鼓楼月考）【阅读材料】周末，小红自学苏科版初中数学七年级下册的课本第9章内容，然后独立做完了第73页上一道例题：
例2计算：．
小红忽然看到弟弟在用竖式乘法计算：，过程如图1；小红想：是否可以用这个方法计算？她尝试写了解题过程如图2，结果正确．
小红还联想到多项式除以多项式是否也可以运用竖式除法的方法进行，于是她先做了一道多位数除以多位数的除法计算题如图3，接着她尝试做了一道多项式除以多项式的习题如图4，爸爸亲自检验结果正确，并表扬了她善于思考、勇于探索的学习精神．
【问题解决】下面请你从用中所学到的方法解决以下问题：
（1）小红把多位数竖式乘法运算方法运用在多项式乘法运算上，这里运用的数学思想是 ．
A．数形结合
B．方程
C．类比
D．分类讨论
（2）请你尝试用小红的竖式乘法运算方法计算：；
（3）请计算的商式与余式．
（4）若，那么的值是 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能进行合并计算，则本项不符合题意，
B、不是同类项，不能进行合并计算，则本项不符合题意，
C、则本项不符合题意，
D、则本项符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的乘法计算法则计算即可求解.
2．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】利用单项式乘以单项式的法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母的幂分别相乘，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”计算即可．
3．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得，
∵
∴m=2.
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则将计算出来，然后根据，即可求出m的值.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意可得第一步运算的依据是积的乘方法则.
故答案为：B.
【分析】积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
5．【答案】-1
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．
6．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
解：
∵不含的一次项
∴m-3=0
∴m=3
故答案为3.
【分析】
先根据整式乘法法则展开得：，因为不含的一次项， 故x的系数为0.
7．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式 = .
（4）解：原式 m3n2
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先计算平方，再运用单项式乘单项式计算法则计算即可；（2）先分别计算积的乘方运算，再运用单项式乘单项式计算法则计算即可；（3）（4）运用单项式乘多项式计算法则计算即可；
8．【答案】解：3.75×105×1×1010=3.75×1015（千克）.
答：这些锚完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量.
【知识点】同底数幂的乘法；科学记数法表示大于10的数
【解析】【分析】将地壳中镭的总质量与1千克镭完全衰变后放出的热量进行乘法运算，以得到地壳中镭完全衰变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量.
9．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：=x3-2x+x2-2，
∴所得结果的一次项系数为-2.
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘多项式法则进行计算，再求解即可.
10．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：-3xy（4y-2x-1）=-12xy2+6x2y+3xy
∴缺少的一项为3xy
故答案为：A.
【分析】根据题意，将等号左侧的式子进行运算，得到的结果与右边比对，即可得到答案。
11．【答案】A
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：交换后各袋数量，甲(29-2x+2y )个、乙[(29+2x-(2x+2y)]个、丙（5+2x+2y-2y)个.
因为交换后数量相等，由甲数量=乙数量，乙数量=丙数量得
解得
故答案为：A.
【分析】本题先用代数式表示交换后三个袋中球的个数，再根据交接后各袋中数量相等列方程组，求出2x与2y的值，进而求解.
12．【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题可知：A、B、C类卡片的面积分别为a2，ab，b2，
∵长方形的长为3a+2b，宽为a+b，
∴长方形的面积：S=（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2，
∵A卡片的面积为a2，B卡片的面积为ab，C卡片的面积为b2，
∴A、B、C类卡片一共需要3+5+2=10张.
故答案为：10
【分析】根据长方形的面积公式S=（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2，再找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量.
13．【答案】
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：n支球队进行的场次为，
（n-2）支球进行的场次为，
则比赛总场数比原计划减少.
故答案为：2n-3.
【分析】先分别求出n支球队进行的场次和（n-2）支球队进行的场次，再进行整式的运算即可求解.
14．【答案】（1）解：原式=[×（-1.25）]2024=(-1)2024=1.
（2）解：原式=[
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【分析】根据积的乘方运算的逆用即可求解.
15．【答案】（1）解：①，②
（2）解：，
，
，
当时，；
当时，；
的值为27或．
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）①∵，
∴；
②，
，
故答案为：，.
【分析】（1）①利用新运算的规定，将f(2)拆分成f(1+1)，在进行运算即可；②利用新运算的规定，将将f(2)拆分成f(1+1)，进行运算即可；
（2）利用新运算的规定，将所给条件f(4)=81拆分成f(1)4=81，可求出f(1)的值为±3，在把要求的值f(3)拆分成f(1)3，分别代入f(1)得值进行计算即可．
16．【答案】D
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂乘法的逆用将待求式子变形为，然后整体代入计算即可得出答案.
17．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（-2x+a）（x2+bx-3）
=-2x3-2bx2+6x+ax2+abx-3a
=-2x3+(-2b+a)x2+（6+ab）x-3a，
∵多项式中不含x的二次项，
∴a-2b=0，
∴-12a+24b-3=-12(a-2b)-3=-12×0-3=-3.
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”将原式去括号，然后由多项式中不含x的二次项可得关于a、b的等式，将所求代数式变形得：原式=-12(a-2b)-3，再整体代换计算即可求解.
18．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】解：设，即：，
则有：，
因为，均为正数，
所以，
所以E故选：A.
【分析】设，即可得出，，计算出，即可得出答案.
19．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：根据图片，设HQ=x.
∵，，
∴.
∵当BC长度变化时，S保持不变，即不论x如何变化，S不变，
∴3bx-ax=0，即3b-a=0，即a=3b.
故答案为：B.
【分析】解题关键在于设未知量HQ，通过面积差S不变，得出关于合并后x项的系数为0，从而算出a、b的等量关系.
20．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得，的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
，
的第三项系数为，
故选：A．
【分析】根据题意由简单的展开式第三项系数的规律逐步推理，观察发现数据规律，即可推理得出复杂展开式对应系数.
21．【答案】①④
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，故①错误；
∵，故②错误；
若 ，则有，所以a+b=0或b-2=0，故此时不能判定a+b一定为0，③错误；
若a+b=0，则有，④正确.
故答案为：①④.
【分析】根据新定义运算法则验证各结论即可.
22．【答案】（1）C
（2）解：
；
用竖式表示为：
（3）解：用竖式表示为：
∴商式为，余式为；
（4）8
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：因为多项式乘法运算仿照了乘法运算法则，所以运用类比的思想．
故答案为：C；
（4）解：，
．
故答案为：8．
【分析】（1）利用数学常识及数学思想分析求解即可；
（2）参照题干中的计算方法列出算式求解即可；
（3）参照题干的的计算方法列出算式求解即可；
（4）结合，将其代数式计算即可.
（1）解：因为多项式乘法运算仿照了乘法运算法则，所以运用类比的思想．
故选：C；
（2）解：
；
用竖式表示为：
（3）解：用竖式表示为：
∴商式为，余式为；
（4）解：，
．
故答案为：8．
1 / 1湘教版（2024）数学七年级下册1.1整式的乘法同步分层联系
一、夯实基础
1．（2024七下·开化期中）可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能进行合并计算，则本项不符合题意，
B、不是同类项，不能进行合并计算，则本项不符合题意，
C、则本项不符合题意，
D、则本项符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的乘法计算法则计算即可求解.
2．（2024七下·高州月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】利用单项式乘以单项式的法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母的幂分别相乘，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”计算即可．
3．（2024七下·平南期中）若，则m的值为（ ）
A． B．6 C．2 D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得，
∵
∴m=2.
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则将计算出来，然后根据，即可求出m的值.
4．小明计算 时， 第一步运算的依据是（ ）
A．分配律 B．积的乘方法则
C．幂的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意可得第一步运算的依据是积的乘方法则.
故答案为：B.
【分析】积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
5．（2024七下·吉州期末）计算： .
【答案】-1
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．
6．（2024七下·萍乡期末）如与的乘积中不含的一次项，则的值为 .
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
解：
∵不含的一次项
∴m-3=0
∴m=3
故答案为3.
【分析】
先根据整式乘法法则展开得：，因为不含的一次项， 故x的系数为0.
7． 计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式 = .
（4）解：原式 m3n2
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先计算平方，再运用单项式乘单项式计算法则计算即可；（2）先分别计算积的乘方运算，再运用单项式乘单项式计算法则计算即可；（3）（4）运用单项式乘多项式计算法则计算即可；
8．1 千克镭完全衰变后， 放出的热量相当于 千克煤放出的热量， 据估计地壳里含 千克镭．试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？
【答案】解：3.75×105×1×1010=3.75×1015（千克）.
答：这些锚完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量.
【知识点】同底数幂的乘法；科学记数法表示大于10的数
【解析】【分析】将地壳中镭的总质量与1千克镭完全衰变后放出的热量进行乘法运算，以得到地壳中镭完全衰变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量.
二、能力提升
9．（2024七下·温州期中）计算，所得结果的一次项系数是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：=x3-2x+x2-2，
∴所得结果的一次项系数为-2.
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘多项式法则进行计算，再求解即可.
10．（沪科版数学七年级下8.2.2单项式与多项式相乘）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题： ， 的地方被钢笔水弄污了，你认为 内上应填写
A．3xy B． C． D．1
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：-3xy（4y-2x-1）=-12xy2+6x2y+3xy
∴缺少的一项为3xy
故答案为：A.
【分析】根据题意，将等号左侧的式子进行运算，得到的结果与右边比对，即可得到答案。
11．（2024七下·榕城期末）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：交换后各袋数量，甲(29-2x+2y )个、乙[(29+2x-(2x+2y)]个、丙（5+2x+2y-2y)个.
因为交换后数量相等，由甲数量=乙数量，乙数量=丙数量得
解得
故答案为：A.
【分析】本题先用代数式表示交换后三个袋中球的个数，再根据交接后各袋中数量相等列方程组，求出2x与2y的值，进而求解.
12．（2024七下·娄底月考）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要 张.
【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题可知：A、B、C类卡片的面积分别为a2，ab，b2，
∵长方形的长为3a+2b，宽为a+b，
∴长方形的面积：S=（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2，
∵A卡片的面积为a2，B卡片的面积为ab，C卡片的面积为b2，
∴A、B、C类卡片一共需要3+5+2=10张.
故答案为：10
【分析】根据长方形的面积公式S=（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2，再找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量.
13．（2024七下·揭西期末）某校组织了一次篮球联赛，原计划共有n支球队参加比赛，采用单循环比赛的赛制（任意2支球队之间都要比赛一场）.若赛前有2支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比赛，则比赛总场数比原计划减少 场.
【答案】
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：n支球队进行的场次为，
（n-2）支球进行的场次为，
则比赛总场数比原计划减少.
故答案为：2n-3.
【分析】先分别求出n支球队进行的场次和（n-2）支球队进行的场次，再进行整式的运算即可求解.
14． 用简便方法计算下列各题：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：原式=[×（-1.25）]2024=(-1)2024=1.
（2）解：原式=[
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【分析】根据积的乘方运算的逆用即可求解.
15．（2024七下·抚州期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题：
（1）①若，则________；
②若，则________；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：①，②
（2）解：，
，
，
当时，；
当时，；
的值为27或．
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）①∵，
∴；
②，
，
故答案为：，.
【分析】（1）①利用新运算的规定，将f(2)拆分成f(1+1)，在进行运算即可；②利用新运算的规定，将将f(2)拆分成f(1+1)，进行运算即可；
（2）利用新运算的规定，将所给条件f(4)=81拆分成f(1)4=81，可求出f(1)的值为±3，在把要求的值f(3)拆分成f(1)3，分别代入f(1)得值进行计算即可．
三、拓展创新
16．（2024七下·榆林期中）若，，则的值为（ ）
A．8 B．12 C．40 D．144
【答案】D
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂乘法的逆用将待求式子变形为，然后整体代入计算即可得出答案.
17．（2024七下·义乌期末）已知 是常数， 若化简 的结果中不含 的二次项， 则 的值为（ ）
A．-3 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（-2x+a）（x2+bx-3）
=-2x3-2bx2+6x+ax2+abx-3a
=-2x3+(-2b+a)x2+（6+ab）x-3a，
∵多项式中不含x的二次项，
∴a-2b=0，
∴-12a+24b-3=-12(a-2b)-3=-12×0-3=-3.
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”将原式去括号，然后由多项式中不含x的二次项可得关于a、b的等式，将所求代数式变形得：原式=-12(a-2b)-3，再整体代换计算即可求解.
18．（2024七下·保定期中）已知，，…，均为正数，且满足，，则，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】解：设，即：，
则有：，
因为，均为正数，
所以，
所以E故选：A.
【分析】设，即可得出，，计算出，即可得出答案.
19． 7 张如图 1 所示的长为 、宽为 的小长方形纸片， 按图 2 的方式不重叠地放在长方形 内， 未被覆盖的部分 (两个长方形) 用阴影表示． 设左上角与右下角的阴影部分的面积差为 ， 当 的长度变化时， 按照同样的放置方式， 始终保持不变， 则 满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：根据图片，设HQ=x.
∵，，
∴.
∵当BC长度变化时，S保持不变，即不论x如何变化，S不变，
∴3bx-ax=0，即3b-a=0，即a=3b.
故答案为：B.
【分析】解题关键在于设未知量HQ，通过面积差S不变，得出关于合并后x项的系数为0，从而算出a、b的等量关系.
20．（2024七下·龙岗期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
…
则中，第三项系数为( )
A．45 B．50 C．55 D．60
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得，的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
，
的第三项系数为，
故选：A．
【分析】根据题意由简单的展开式第三项系数的规律逐步推理，观察发现数据规律，即可推理得出复杂展开式对应系数.
21．定义运算： ． 下面给出这种运算的四个结论：
①；
②；
③若 ， 则 ；
④ 若 ， 则 ．
其中正确的结论为 ． （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①④
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，故①错误；
∵，故②错误；
若 ，则有，所以a+b=0或b-2=0，故此时不能判定a+b一定为0，③错误；
若a+b=0，则有，④正确.
故答案为：①④.
【分析】根据新定义运算法则验证各结论即可.
22．（2024七下·鼓楼月考）【阅读材料】周末，小红自学苏科版初中数学七年级下册的课本第9章内容，然后独立做完了第73页上一道例题：
例2计算：．
小红忽然看到弟弟在用竖式乘法计算：，过程如图1；小红想：是否可以用这个方法计算？她尝试写了解题过程如图2，结果正确．
小红还联想到多项式除以多项式是否也可以运用竖式除法的方法进行，于是她先做了一道多位数除以多位数的除法计算题如图3，接着她尝试做了一道多项式除以多项式的习题如图4，爸爸亲自检验结果正确，并表扬了她善于思考、勇于探索的学习精神．
【问题解决】下面请你从用中所学到的方法解决以下问题：
（1）小红把多位数竖式乘法运算方法运用在多项式乘法运算上，这里运用的数学思想是 ．
A．数形结合
B．方程
C．类比
D．分类讨论
（2）请你尝试用小红的竖式乘法运算方法计算：；
（3）请计算的商式与余式．
（4）若，那么的值是 ．
【答案】（1）C
（2）解：
；
用竖式表示为：
（3）解：用竖式表示为：
∴商式为，余式为；
（4）8
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：因为多项式乘法运算仿照了乘法运算法则，所以运用类比的思想．
故答案为：C；
（4）解：，
．
故答案为：8．
【分析】（1）利用数学常识及数学思想分析求解即可；
（2）参照题干中的计算方法列出算式求解即可；
（3）参照题干的的计算方法列出算式求解即可；
（4）结合，将其代数式计算即可.
（1）解：因为多项式乘法运算仿照了乘法运算法则，所以运用类比的思想．
故选：C；
（2）解：
；
用竖式表示为：
（3）解：用竖式表示为：
∴商式为，余式为；
（4）解：，
．
故答案为：8．
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