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课题：8.4三元一次方程组的解法
教学目标：
1.了解三元一次方程组的概念；
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．.
重点：
会用消元法解三元一次方程组.
难点：
三元一次方程组的应用.
教学流程：
一、知识回顾
问题1：举例说明什么是二元一次方程组？
答案：如，含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．21教育网
问题2：解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们的实质是什么？
答案：
基本方法：代入消元法和加减消元法
实质：消元
二、探究1
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元和5元的纸币各多少张？21·cn·jy·com
问题1：题中有哪些未知量？
答案：1元纸币张数、2元纸币张数和5元纸币张数这三种未知的量．
问题2：题中包含哪些等量关系？
答案：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝总张数
1元面值总钱数＋2元面值总钱数＋5元面值总钱数＝总钱数
1元纸币张数＝2元纸币张数×4
问题3：如何根据等量关系列方程呢？
解：设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张．
问题4：想一想，这是什么方程呢
答案：三元一次方程
强调：本题的解必须同时满足这三个条件，因此，把这三个方程合在一起．
概念：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．www.21-cn-jy.com
问题5：怎么解这个方程组呢
追问1：你能用代入法解吗
解：把③代入①，得
④
把③代入②，得
⑤
④、⑤组成方程组
解这个方程组，得
把y＝2代入③，得
∴这个三元一次方程组的解为：
追问2：你能用加减法解吗
解：①×5，得
④
④－②，得
⑤
③、⑤组成方程组
解这个方程组，得
把x＝8，y＝2代入①，得
∴这个三元一次方程组的解为：
问题6：请你完成本题.
解：设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张．根据题意，得
解得，
答：1元、2元和5元纸币分别为8张、2张、2张．
归纳：解三元一次方程组的基本思路：
三、例1
解三元一次方程组：
解：②×3＋③，得
④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝－2代入②，得
∴这个三元一次方程组的解为：
追问：你还有其它解法吗
练习1：解下面三元一次方程组：
答案：
四、例2
在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值.21世纪教育网版权所有
解：根据题意，可列三元一次方程组：
②－①，得
④
③－①，得
⑤
④、⑤组成方程组
解这个方程组，得
把代入①，得
∴
答：a，b，c的值分别为3，－2，－5.
练习2：解下面三元一次方程组：
答案：
五、应用提高
甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的.求这三个数.
解：甲、乙、丙三个数分别为x、y、z.根据题意，得
解得
答：甲、乙、丙三个数分别10、15、10.
六、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是三元一次方程组？
2.如何解三元一次方程组？
七、达标测评
1.解下列三元一次方程组：
；
答案：；
2.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0.求a，b，c的值.
解：因为三个非负数的和等于零.所以每个非负数都为零.可得方程组：
解得：
答：a，b，c的值分别为－3，－4，－2.
3.某学校中的篮球数比排球数的2倍少3，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个.求三种球各是多少个.21cnjy.com
解：设篮球有x个，排球有y个，足球有z个.根据题意，得：
解得：
答：篮球有21个，排球有12个，足球有8个.
八、布置作业
教材106页习题8.4第1（2）、2（2）、5题．
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【义务教育教科书人教版七年级下册】
8.4 三元一次方程组的解法
学校：________
教师：________
知识回顾
1.举例说明什么是二元一次方程组？
含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
知识回顾
2. 解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们的实质是什么？
基本方法：代入消元法和加减消元法
实质：消元
二元一次方程组
一元一次方程
消元
探究1
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元和5元的纸币各多少张？
题中有哪些未知量？
1元纸币张数、2元纸币张数和5元纸币张数这三种未知的量．
题中包含哪些等量关系？
1元纸币张数＋2元纸币张数 ＋5元纸币张数＝总张数
1元面值总钱数＋2元面值总钱数＋5元面值总钱数＝总钱数
1元纸币张数＝ 2元纸币张数×4
探究1
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元和5元的纸币各多少张？
1元纸币张数＋2元纸币张数 ＋5元纸币张数＝总张数
1元面值总钱数＋2元面值总钱数＋5元面值总钱数＝总钱数
1元纸币张数＝ 2元纸币张数×4
解：设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张．
本题的解必须同时满足这三个条件，因此，把这三个方程合在一起
想一想，这是什么方程呢
探究1
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元和5元的纸币各多少张？
解：设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张．
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
怎么解这个方程组呢
探究1
你能用代入法解吗
解：把③代入①，得
④
把③代入②，得
⑤
④、⑤组成方程组
解这个方程组，得
把y＝2代入③ ，得
∴这个三元一次方程组的解为：
探究1
你能用加减法解吗
解：①×5，得
④
④－②，得
⑤
③、⑤组成方程组
解这个方程组，得
把x＝8,y＝2代入① ，得
∴这个三元一次方程组的解为：
探究1
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元和5元的纸币各多少张？
解：设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张．根据题意，得
解得，
答：1元、2元和5元纸币分别为8张、2张、2张．
归纳
代入消元
加减消元
解三元一次方程组的基本思路：
三元一次方程组
二元一次方程组
消元
消元
一元一次方程
例1
解三元一次方程组
① ② ③
解：②×3＋③，得
④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5, z＝－2代入② , 得
∴这个三元一次方程组的解为：
你还有其它解法吗
练习1
解下面三元一次方程组：
例2
在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60. 求a，b，c的值.
②－①，得
④
③－①，得
⑤
④、⑤组成方程组
解这个方程组，得
∴
解：根据题意，可列三元一次方程组：
① ② ③
把 代入① ，得
答: a，b，c的值分别为3,－2,－5.
练习2
解下面三元一次方程组：
应用提高
甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的 等于丙数的 . 求这三个数.
解：甲、乙、丙三个数分别为x、y、z. 根据题意，得
解得
答：甲、乙、丙三个数分别10、15、10.
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是三元一次方程组？
2.如何解三元一次方程组？
体验收获
达标测评
1.解下列三元一次方程组：
达标测评
2.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2 ＋|2c－b|＝0. 求a，b，c的值.
解:因为三个非负数的和等于零. 所以每个非负数都为零.可得方程组:
解得:
答: a，b，c的值分别为－3，－4，－2.
达标测评
3.某学校中的篮球数比排球数的2倍少3, 足球数与排球数的比是2:3, 三种球共41个. 求三种球各是多少个.
解:设篮球有x个,排球有y个,足球有z个. 根据题意,得:
解得：
答：篮球有21个, 排球有12个, 足球有8个.
布置作业
教材106页习题8.4第1（2）、2（2）、5题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
8.4 三元一次方程组的解法
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、填空题(每小题6分，共30分)
1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
2.下列四组数值中，为方程组的解是( )
A. B. C. D.
3.方程组的解适合方程x＋y＝2，则k值为( )
A.2 B.－2 C.1 D.－
4.已知甲、乙、丙三人各有一些钱，其中甲的钱是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，则三人的钱共有( )21教育网
A.30元 B.33元 C.36元 D.39元
5.一宾馆有2人间、3人间、4人间三种客房供游客租住，某旅行团共20人准备同时租用这三种客房共7间，则租房方案有( )21·cn·jy·com
A.4种 B.3种 C.2种 D.1种
二、填空题(每小题6分，共30分)
6.方程组的解是________.
7.若甲、乙两数的和为20，乙、丙两数的和为30，甲、丙两数的和为40，则甲、乙、丙三个数的和为________.www.21-cn-jy.com
8.甲、乙、丙三数之和为25，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的，则甲数为________，乙数为________，丙数为________.2·1·c·n·j·y
9.在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝20；当与时，y的值相等，则a＝________，b＝________，c＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
10.购买铅笔7支，作业本3本，圆 ( http: / / www.21cnjy.com )珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元.
三、解答题(每小题20分，共40分)
11.解下列三元一次方程组.
(1) ； (2).
12.用卖2头牛、5只羊的钱买13 ( http: / / www.21cnjy.com )头猪，剩1000元钱；用卖3头牛、3头猪的钱买9只羊，钱正好花完；用卖6只羊、8头猪的钱买5头牛，还差600元钱.问：每头牛、每只羊、每头猪的价钱各是多少？21cnjy.com
参考答案
( http: / / www.21cnjy.com )
将x＝1，y＝﹣2代入①得：z＝3，
则方程组的解为.
故选D.
3.C
【解析】
解：，
①＋②得，x＋y＝k＋1，
由题意得，k＋1＝2，
解答，k＝1，
故选C.
4.D
【解析】解：设甲、乙、丙三人各有x、y、z元.
由题意得解这个方程组得
所以x＋y＋z＝20＋10＋9＝39(元).
故选D.
5.A
【解析】解：设需2人间x间，3人间y间，4人间z间，
由题意可得
消去x得y＋2z＝6，即y＝6－2z.
由y、z均为非负整数可知z＝0，1，2，3.
则对应x、y、z的值如下：
6.
【解析】
解：
②＋③得
x＝3，
把x＝3代入①，得
y＝4，
把x＝3，y＝4代入②，
得z＝－2
因此.
7.45
【解析】设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z.
根据题意，可得方程组
①＋②＋③得：2x＋2y＋2z＝20＋30＋40＝90，
2(x＋y＋z)＝90，
，
故甲、乙、丙三个数的和为45.
8.7.5；10；7.5
【解析】解：设甲、乙、丙三数分别为x、y、z.
根据题意，得
解这个方程组得
9.6；－11；3
【解析】解：根据题意，可得方程组
由③得11a＋6b＝0④，②－①得－2b＝22，
解得b＝－11，将b＝－11代入④得a＝6，
再将a＝6，b＝－11代入①得c＝3.
故原方程组的解为
10.5
【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元.购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元.21世纪教育网版权所有
则由题意得
由②－①得3x＋y＝1④
由②＋①得17x＋7y＋2z＝7⑤
由⑤－④×2－③得0＝5－a
所以a＝5
11.(1) ；(2).
【解析】
解：
①＋②＋③，得
2(x＋y＋z)＝18，
所以x＋y＋z＝9④，
用④式分别减去①、②、③三个式子，得
(2)，
①＋②＋③得：x＋y＋z＝1，
所以x＋y＝1－z④，x＋z＝1－y⑤，y＋z＝1－x⑥，
把④代入①解得z＝－2，
把⑤代入②解得y＝－5，
把⑥代入③解得x＝8，
( http: / / www.21cnjy.com )
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