山东省德州市2024--2025学年高三下学期开学考试数学试题（图片版，含答案）

山东省德州市 2024--2025 学年高三下学期开学考试
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.每小题仅有一个选项正确.
2
1.已知集合M x x x 12 0 ，N 0，1，2，3，4 ，则M N （ ）
A. 0.3 B. 1，2，3 C. 0，1，2，3 D. 4， 3， 2， 1，0，1，2，3
2 2
2.已知直线 l：y x b，⊙O：x y 4，则“ b 2”是“直线 l与⊙O相交”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
x2 y2
3.若双曲线 2 1过点 4,3 ，则其渐近线方程为（ ）4 m
3 2 2 3 3
A. y x B. y x C. y x D. y x
2 3 3 2
4.已知向量 a,b满足 a 3, b 2, a b 7 ，则向量b在向量 a上的投影向量为（ ）
1 1
A. a B. a C. a D. a
3 3
n
2
5.已知 x 的二项式系数之和为 64，则其展开式的常数项为（ ）
x
A. 240 B. 240 C. 60 D.60
6.某次考试后，甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道题，各自陈述如下，甲说：我做错了；
乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对，已知四人中只有一位同学
的解答是正确的，且只有一位同学的陈述是正确的，则解正确的同学是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.函数 f x sin 2 x 0 在 0 ， 上单调递增，且在 0, 上恰有三个零点，则
3 3
的取值范围为（ ）
7 5 7 5 7 5 7 5
A. ， B. ， C. ， D. ，
6 4 6 4 6 4 6 4
1
8.已知半球O的底面与圆台OO 的下底面完全重合，圆台上底面圆周在半球面上，半球的
半径为 1，则圆台侧面积取最大值时，圆台的母线长为（ ）
1 3 2 3 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选
错的得 0分.
9.某学校为了解学生身高（单位： cm）情况，采用分层抽样的方法从 1500 名学生（该校
男女生人数之比为 3:2）中抽取了一个容量为 100 的样本.其中，男生平均身高为 170，方
差为 12，女生平均身高为 160，方差为 38,.则下列说法正确的是（ ）
2 2
（注：总体分为 2 层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：n1,x,s1 ,n2, y,s2 .
s2 s2 n1 s21 x
2 n s2 y 2
记总的样本平均数为 ，样本方差为 ，则 2 2 ）
n1 n2
1
A.抽取的样本里男生有 60 人 B.每一位学生被抽中的可能性为
15
C.估计该学校学生身高的平均值为 165 D.估计该学校学生身高的方差为 46.4
x2 2
10.已知椭圆C y： 1的两个焦点分别为 F1，F2， P是C上任意一点，则（ ）16 12
3
A.C的离心率为 B. PF1F2的周长为 122
C. PF1 的最小值为 3 D. PF1 PF2 的最大值为 16
11.已知函数 f x ，g x 及其导函数 f x ，g x 的定义域都为 R，若 f x 2 g 1 x 2，
f x g x 1 ，且 g x 1 为奇函数，则（ ）
A. g 1 0 B. f 4 0
2025 2025
C. g k 0为奇函数 D. f k g k 0
k 1 k 1
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.已知复数 z满足 z 1 i 1 5i，则 z .
2
13.直线 y kx与曲线 f x ln x和 g x ae x均相切，则 a .
14. ABC的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 2 2，已知 c 2a 2b2 ，则 A B的最大值
为 .
四、解答题：本题共 5 小题，第 15 题 13 分，第 16、17 小题 15 分，第 18、19
小题 17 分，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数 f x a ln x （ a为常数）.
x
（1）讨论函数 f x 的单调性；
1
（2）不等式 f x 1在 x

,3
2
上恒成立，求实数 a的最大整数值.
16.如图，四棱锥 P ABCD的底面是矩形， AB 2，BC 2 2， PBC是等边三角形，
平面 PBC 平面 ABCD，O，F 分别是 BC，PC的中点， AC与 BD交于点 E .
（1）求证： BD 平面 PAO ；
（2）平面OEF 与直线 PD交于点Q，求直线OQ与平面 PCD所成角 的大小.
2
17.已知抛物线 E：y 2x的焦点为 F ，且 A,B,C为 E上不重合的三点.
（1）若 FA FB FC 0，求 FA FB FC 的值；
（2）过 A,B两点分别作 E的切线 l1、l2，l1与l2相交于点D，若 AB 4，求 ABD面
积的最大值.
3
18.向“新”而行，向“新”而 进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的
应用为例，人工智能中的文生视频模型 Sora（以下简称 Sora），能够根据用户的文本提
示创建最长 60 秒的逼真视频.为调查 Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影
响，某学校研究小组随机抽取了 150 名视频从业人员进行调查，结果如下表所示.
（1）根据所给数据完成题中表格，并判断是否有 99.9%的把握认为 Sora的应用与视频从
业人员的减少有关？
（2）某公司视频部现有员工 100 人，公司拟开展 Sora培训，分三轮进行，每位员工第
2 1 1
一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ，，，每轮相互独立，有两轮及以上获
3 2 3
得“优秀”的员工才能应用 Sora .
（ⅰ）求员工经过培训能应用 Sora的概率；
（ⅱ）已知开展 Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润 6 万元；开展 Sora培
训后，能应用 Sora的员工每人每年平均为公司创造利润 10 万元；Sora培训平均每人每
年成本为 1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然
后对剩余员工开展 Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利
润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：
4
19.已知数列 an 的前n *
S S 1
项和为 Sn， n N 满足 n 1 n ，且 a1 1，数列 bn 满n 1 n 2
足b1b2b3 b 2
Sn *
n n N .
（1）求数列 an ， bn 的通项公式；
a 2
（2）求数列 n 的前 n项和M n；
bn
（3）若将数列 an 中的所有项按原顺序依次插入数列 bn 中，组成一个新的数列 cn ：
b1,a1,b2 ,a2 ,a3 ,b3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7 ,b , , b
k 1
4 在 k 与bk 1之间插入 2 项 an 中的项， cn 中
a2 2n 1 bn 1 之前（不包括 bn 1 ）所有项的和记为 T nn .若 dn 2 .求使得a n 1 Tn 2
d1 d2 d3 dn 2025成立的最大整数 n的值.（其中 x 表示不超过 x的最
大整数）
5
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B A C D C
二、选择题
题号 9 10 11
答案 ABD BD ACD
三、填空题
1
12. 13 13. 14.
e2 6
四、解答题
15.解：（1） f x 1 a x a 2 2 , x 0, ，x x x
当 a 0时，∵ f x 0，∴ f x 在 0， 上单调递增，
当 a 0时，令 f x 0，解得 x a，
当 x a时， f x 0，∴ f x 在 a， 上单调递增，
当0 x a时， f x 0，∴ f x 在 0,a 上单调递减，
综上，当 a 0时， f x 在 0， 上单调递增，
当 a 0时， f x 在 a， 上单调递增，在 0,a 上单调递减.
f x 1 x 1 a 1 （2） 在 ,3 上恒成立等价于 ln x 1在 x ,3 上恒成立， 2 x 2
即 a x x ln x, x 1 ,3 ， 2
g x x x ln x, x 1 ,3 令 ，则 g x ln x， 2
x 1当 ,1

时，g x 0，g x 单调递增，当 x 1,3 时，g x 0，g x 单调递减，
2
6
∵ g x max g x 极大值 g 1 1，∴ a 1，
故实数 a的最大整数值是 2.
16.解：（1）∵ PBC是等边三角形，O分别是 BC的中点，∴PO BC，
又∵平面 PBC 平面 ABCD，平面 PBC 平面 ABCD BC， PO 平面 PBC ，
∴ PO 平面 ABCD，
又 BD 平面 ABCD，∴PO BD，
2 2
∵ BD AO BC BA 1 BC BA 1 BC BA 4 4 0,
2 2
∴ BD AO，∴ AO BD .
又 PO, AO在平面 POA内且相交，故 BD 平面 PAO .
（2）∵ E,O分别为 BD,BC的中点，∴EO∥DC，
又平面 PDC 过DC 且不过 EO，∴ EO∥平面 PDC .
又平面OEQF 平面 PDC QF ，故 EO∥QF ，进而QF∥DC ,
∵ F 是 PC中点，∴Q是 PD的中点.
以O为原点，OE,OC,OP所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
则 P 0，0，6 ，C 0，2,0 ，D 2，2,0 Q 2 6， 1， , ，
2 2

CD 2，0，0 ,PC 2 6 0，2, 6 ，OQ 1， , ，
2 2
设平面 PCD法向量为 n x, y, z ，
CD n 2x 0
则 ，不妨取 y 3，得 n 0, 3,1 ，
PC n 2y 6z 0
n OQ
sin cos n,OQ 6 2则 ，
n OQ 2 3 2
∵ 0

， ，∴ . 2 4
7
1
17.解：（1）依题意，F ,0 ，设 A x1, y1 ,B x , y ,C x , y ，
2 2 2 3 3
由 FA FB FC 0 x 1 1 1得， 1 x2



x 3 0，
2 2 2
3
即 x1 x2 x3 ，2
由抛物线定义得， FA FB FC x 1 1 1 1

x2 x

3 .
2 2 3 2
（2）显然，直线 AB的斜率不为 0，
可设直线 AB的方程为 x my n， A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
y2 2x
y2由 的： 2my 2n 0，
x my n
4m2 8n 0，
∴ y1 y2 2m， y1y2 2n .
2
∵ y 2x 1 1，则 y 2x，∴ y ，
2x y
1 1 y
∴切线 l1的方程为 y x x 1y 1 y1 x ，1 y1 2
l 1 y同理，切线 22 的方程为 y x ，y2 2
y 1 y x
1 x y 1y2y 2 n 1 2
联立两直线方程 ，解得 ，即D n,m ，
y 1

x y 2 y y1 y 2 m
y 2 2 2
m2 2n
则点D到直线 AB的距离为 d ，
1 m2
由 AB 1 m2 y1 y 2 2 22 4y1y2 1 m 4m 8n 4，
2 4
化简得：m 2n ，
1 m2
8
2
S 1
m 2n
∴ ABD AB d
1
4 8 8，
2 2 1 m2 1 m2 1 m2
当且仅当m 0时取等号，
∴ ABD面积的最大值为 8.
18.解：（1）依题意，2 2列联表如下：
2 150 54 42 18 36
2 675
由列联表中数据得， 12.981 10.828，
72 78 90 60 52
故有 99.9%的把握认为 Sora的应用与视频从业人员的减少有关.
（2）（ⅰ）设 Ai “员工第 i轮获得优秀”（ i 1,2,3），且 Ai相互独立.
设 B “员工经过培训能应用 Sora”，则
P B P A1A2A3 P A1A2A3 P A1A2A3 P A1A2 A3
2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1
，
3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2
故员工经过培训能应用 Sora 1的概率是 .
2
（ⅱ）设视频部调 x人至其他部门， x N ， X 为培训后视频部能应用 Sora的人数，
X ~ B 100 x, 1 100 x则 ，因此 E X ，
2 2
调整后视频部的年利润为
100 x 10 1 1 100 x 6 100 x 700 7x （万元），
2 2
令700 7x 100 100 6，解得 x 14.3，又 x N，∴ x
7 max
14 .
因此，视频部最多可以调 14 人到其他部门.
9
Sn 1 S 1 n S19.解：（1）∵ ，∴ n
1
是以 1 为首项， 为公差的等差数列.n 1 n 2 n 2
S 1 n 1 n 1 n2 n
∴ n 1 n 1 ，∴ Sn n .n 2 2 2 2 2 2 2
当 n 2时， an Sn Sn 1 n， n 1时满足，故an n .
数列 bn ，当 n 1时，b1 2，
n 2 b b1b2b3 b
Sn
n
2 Sn Sn 1 an n当 时， n 2 2 2 .b1b2b3 b 2
Sn 1
n 1
∴ an n，bn 2
n
.
a 2 n2
（2）由题可知 n ，
b nn 2
12 22 32 n2M n ，①21 22 23 2n
1 2 2M 1 2 n 1
2 n2
n 2 3 2 2 2 2n 2n 1
，②
1 1 3 5 2n 1 n2
①－②得 M n 2 3 n n 1 ，2 2 2 2 2 2
M 3 5 2n 1 n
2
n 1 2 2 2 2n 1

2n
，③
1M 1 3 2n 3 2n 1 n
2
n 2 n 1 n n 1 ，④2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 2n 1 n2 n2
③－④得 M n 1 2 2 2 2 2n 1
n n 2 2 2n 1
，
1 1 1 n2 2n 1 n2 1 2
2 22 2n 1 2n 2n 1
1 1 1
1 2 2 2
n 1 n2 2n2 4n 2 1 2n 11
2
10
2 n21 2 4n 2
2n 1

2n 1
，
2
∴M 6 n 4n 6n 2n
.
n 1
（3）依题意，数列 cn 中bn 1之前的所有项包括1 2 2 项 an 中的项，
n n
设其和为 S S 1 2 1 2 1 n，则 n 2n 1 2n 1，2
c b n b S 数列 n 中 n 1之前的所有项包括 项 n 中的项，设其和为 n ，则 S n 2n 1 2 .
T n于是 n Sn Sn 2 1 2n 1 2n 1 2，
n2d 1 2
2
2 n 1 n 2 2
n 3
∴ n n n 1 2 3 n 1 2n 3 ，
当 n 1 11时， dn ， d1 1，10
n 2 n n
当 n 2时， n 1 2 3 n 2 2 3 n 1 2 n2 3n 3
n 1 n 2 n2 3n 3 4n 5 0 .
n2 2 2n 3
于是 0 n 1，因此， dn 2 n 1 ，n 1 2 3
∴ d1 d2 d3 dn 1 2 1 2 n 1 n2 n 1 2025，
∴ n 45 .
∴使得 d1 d2 d3 dn 2025成立的最大整数 n的值为 45.
11