华师大版七下（2024版）5.3实践与探索 学案

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第5章 一元一次方程
5.3实践与探索
学习目标与重难点
学习目标：
1.学生能够理解并掌握在周长一定的情况下，长方形形状对其面积的影响；能够运用所学知识解决实际问题。
2.通过动手操作、小组讨论等方式，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力；通过比较、分析等方法，培养学生解决问题的逻辑思维能力。
学习重点：在周长一定的情况下，长方形形状（长与宽的比例）对其面积的影响；理解并掌握当长方形变为正方形时，面积达到最大值的规律。
学习难点：如何从实际问题中抽象出数学模型，并运用所学知识进行准确计算和推理；理解周长一定时，圆形面积最大的深层次数学知识（作为拓展内容，不做深入讲解，但激发学生兴趣）。
预习自测
一、知识链接
1.用一根长 100cm 的铁丝围成一个长方形：
（1）若宽比长少 10cm，求长和宽；
（2）若长与宽的比为 3:2，求面积并与前者比较，哪个更大？
自学自测
2.某车间有 45 名工人，每人每天可加工 10 个零件或组装 15 个零件。若每天生产的零件需组装完毕，需安排多少人加工零件？
3.古代粮仓用绳测粮堆高度：若绳长余 6 尺，对折后短 2 尺，求粮堆高度。设绳长 x，列方程并求解
教学过程
一、创设情境、导入新课
教材第19页
问题1 用一根长60cm的铁丝围成一个长方形.
(1) 如果长方形的宽是长的 ，求这个长方形的长和宽；
(2) 如果长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积；
(3) 比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗
二、合作交流、新知探究
探究一：
讨论：每小题中如何设未知数 在小题(2)中，能不能直接设长方形的面积为xcm 若不能，该怎么办
回答：
探究二：
探索 将小题(2)中的宽比长少4cm改为少3cm、2cm、 1cm、0cm(即变为正方形)，长方形的面积有什么变化 请你和同学讨论一下你的看法。
探究三： 读一读
在问题1中，通过探索我们发现，在周长一定的情况下，长方形的长和宽越接近，面积就越大. 实际上，当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大. 通过以后的学习，我们就会知道其中的道理.
有趣的是：若把这根铁丝围成任意封闭的平面图形(包括随意凹凸的不规则图形)，面积最大的是圆. 这其中的道理涉及更深层次的数学知识，你有兴趣去认识它们吗
探究四：练习
1. 如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框。已知铺这个框恰好用了1
44块边长为0.8米的正方形花岗岩，设日晷基座的底面边长为x米，则下列方程正确的是( )
A.4x(3.2+x)x3.2=144x0.82
B.4x(6.4+x)x3.2=144x0,82
C.2x(3.2+x)x3.2=144x0.82
D.2x(6.4+x)x3.2=144x0.82
2.如图，小刚将一个正方形纸片剪去一个宽为5cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么两个所剪下的长条的面积之和为( )
A.215cm2
B.250 cm2
C.300 cm2
D.320 cm2
总结反思、拓展升华
本节课我们通过学习用固定长度的铁丝围成长方形的问题，探索了在周长一定的情况下，长方形形状对其面积的影响。我们发现，当长方形变为正方形时，面积达到最大值。同时，我们还拓展到了圆形面积的问题，虽然未做深入讲解，但激发了同学们对更深层次数学知识的兴趣。希望同学们在今后的学习中，能够继续保持这种探索精神和创新意识。
五、【作业布置】
1.如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙(不使用铁丝)，如果设平行于围墙的一边为x米，那么可列方程( )
A.x(10-x)=15
B.(10-x)=15
C.x(10-)-15
D. (10-2x)=15
2.《孙子算经》中有一道题，原文是"今有木，不知长短,引绳度之，余绳四尺五寸;屈绳量之，不足一尺，木长几何 ”意思是:用一根绳子去量一根长木，绳子还
剩余4.5尺;将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺,问木长多少尺 设绳长x尺，可列一元一次方程为___________
3. 列一元一次方程解决实际问题:如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为6米，另一边长为a米(4【综合拓展类作业】
4.《算法统宗》中有这样一首诗：
巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争．
三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧．
请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题．
[答案]
1.(1)设长方形的长为 xcm，宽为 ycm。
根据题意，可以列出以下方程组：
2(x+y)=100(周长为100cm)
y=x 10(宽比长少10cm)
将第二个方程代入第一个方程，得：
2(x+x 10)=100
2x+2x 20=100
4x=120
x=30
将 x=30 代入 y=x 10，得 y=20。
所以，长方形的长为 30cm，宽为 20cm。
(2)设长方形的长为 3acm，宽为 2acm。
根据题意，可以列出方程：
2(3a+2a)=100
10a=100
a=10
将 a=10 代入长和宽的表达式，得长为 30cm，宽为 20cm。
所以，长方形的面积为 30×20=600cm2。
与(1)中的结果相同，所以两个长方形的面积一样大。
设安排 x 人加工零件，那么剩下的 45 x 人则负责组装零件。
每人每天可加工 10 个零件，所以 x 人每天可加工 10x 个零件。
每人每天可组装 15 个零件，所以 45 x 人每天可组装 15(45 x) 个零件。
由于每天生产的零件需要当天组装完毕，所以有：
10x=15(45 x)
展开并整理得：
10x=675 15x
25x=675
x=27
所以，需要安排 27 人加工零件，剩下的 45 27=18 人负责组装零件。
设绳长为 x 尺。
根据题意，当绳长余 6 尺时，粮堆的高度为 x 6 尺。
当绳对折后短 2 尺时，对折后的绳长为 2x 尺，此时粮堆的高度为 2x +2 尺。
由于粮堆的高度是固定的，所以有：
x 6=2x +2
两边乘以 2 得：
2x 12=x+4
x=16
所以，绳长为 16 尺，粮堆的高度为 16 6=10 尺。
【作业答案】
1.B
2. x-4.5-
3. 分析：假设安排生产长方形玻璃的工人为( x )名，则生产遮光帘的工人为( 50 - x )名。
每个生产长方形玻璃的工人每天可生产8块玻璃，因此( x )名工人每天生产的玻璃数量为( 8x )块。
每个生产遮光帘的工人每天可生产4张遮光帘，因此( 50 - x )名工人每天生产的遮光帘数量为( 4×(50 - x) )张。
解：根据题目要求，每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍，因此可以列出方程：
8x=3×4(50 x)
8x=12(50 x)
8x=600 12x
8x+12x=600
20x=600
解得：
x =30
生产遮光帘的工人:50 - 30 = 20 (名)
答：应安排生产长方形玻璃的工人30名，生产遮光帘的工人 20 名。
4. 解：设寺内共有 x 名僧人。
根据题意：饭的碗数 ：因为三人共食一碗饭，所以需要个碗。羹的碗数 ：因为四人共尝一碗羹，所以需要 个碗。
总碗数等于 364，因此可列方程： + =364
消分母：方程两边同乘 12（3和4的最小公倍数）：4x+3x=364×12
7x=4368
求得僧人总数：x==624经验证 与题意一致
答：僧人数为624人。
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