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分课时教学设计
《5.3实践与探索》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课属于对一元一次方程的探索过程中关于几何图形面积与周长关系探索的内容。通过具体实例（用固定长度的铁丝围成长方形），引导学生理解在周长一定的情况下，长方形的形状（特别是长与宽的比例）如何影响其面积。进一步拓展到正方形和圆形，激发学生对几何图形性质深入探索的兴趣。教学内容贴近生活实际，易于引发学生的兴趣与思考，同时也是后续学习更复杂几何图形面积和周长关系的基础。
学习者分析 本节课面向的阶段的学生已经掌握了长方形周长和面积的基本计算公式，并具备了一定的数学逻辑思维能力和问题解决能力。学生可能对几何图形的直观感受较强，但在将实际问题抽象为数学模型并进行分析解决方面可能还有所欠缺。因此，教学中需要注重引导学生从实际问题出发，逐步建立数学模型，并通过小组讨论、动手操作等方式，加深学生对几何图形性质的理解和应用能力。
教学目标 1.学生能够理解并掌握在周长一定的情况下，长方形形状对其面积的影响；能够运用所学知识解决实际问题。 2.通过动手操作、小组讨论等方式，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力；通过比较、分析等方法，培养学生解决问题的逻辑思维能力。
教学重点 在周长一定的情况下，长方形形状（长与宽的比例）对其面积的影响；理解并掌握当长方形变为正方形时，面积达到最大值的规律。
教学难点 如何从实际问题中抽象出数学模型，并运用所学知识进行准确计算和推理；理解周长一定时，圆形面积最大的深层次数学知识（作为拓展内容，不做深入讲解，但激发学生兴趣）。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1：教材第19页 问题1 用一根长60cm的铁丝围成一个长方形. (1) 如果长方形的宽是长的 ，求这个长方形的长和宽； 解：(1) 设长方形的长为 xcm，宽为 xcm。
根据长方形的周长公式，有：2(x+x)=60
去括号：2×x=60
x=60
x=18
将 x=18 代入宽 x，得宽为 12cm。
答：这个长方形的长为 18cm，宽为 12cm。 (2) 如果长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积； 解：设长方形的长为 xcm，宽为 (x 4)cm。
根据长方形的周长公式，有：2(x+x 4)=60
去括号：4x 8=60
移相：4x=68
x=17
将 x=17 代入宽 x 4，得宽为 13cm。
长方形的面积为：17×13=221cm2
答：这个长方形的面积为 221cm2。 (3) 比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗 回答：是一个正方形 讨论 每小题中如何设未知数 在小题(2)中，能不能直接设长方形的面积为xcm 若不能，该怎么办 不能直接设长方形的面积为xcm ，应该根据题目给出的其他条件，
选择能够直接和这些条件建立联系的未知数进行设定。 探索 将小题(2)中的宽比长少4cm改为少3cm、2cm、 1cm、0cm(即变为正方形)，长方形的面积有什么变化 请你和同学讨论一下你的看法。 1.宽比长少3cm： 宽为 x 3cm 周长仍为 60cm，因此 2(x+x 3)=60 解得 x=16.5，宽为 13.5cm 面积 S1 =16.5×13.5=222.75cm2 2.宽比长少2cm： 宽为 x 2cm 周长仍为 60cm，因此 2(x+x 2)=60 解得 x=16，宽为 14cm 面积 S2 =16×14=224cm2 3.宽比长少1cm： 宽为 x 1cm 周长仍为 60cm，因此 2(x+x 1)=60 解得 x=15.5，宽为 14.5cm 面积 S3 =15.5×14.5=224.75cm2 4.宽和长相等（即变为正方形）： 宽为 xcm 周长仍为 60cm，因此 2(x+x)=60 解得 x=15，宽也为 15cm 面积 S4 =15×15=225cm2 通过比较这四个面积 S1 ,S2 ,S3 ,S4 ，我们可以发现： 当宽比长少的厘米数从4cm减少到0cm（变为正方形）时，长方形的面积逐渐增大。 特别是当长方形变为正方形时，面积达到最大值 225cm2。学生活动1： 跟随教师引导，思考并尝试解答问题，通过小组讨论形成初步答案。活动意图说明：通过具体问题引入，激发学生的学习兴趣和探索欲望，为后续学习奠定基础。环节二： 读一读在问题1中，通过探索我们发现，在周长一定的情况下，长方形的长和宽越接近，面积就越大. 实际上，当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大. 通过以后的学习，我们就会知道其中的道理. 有趣的是：若把这根铁丝围成任意封闭的平面图形(包括随意凹凸的不规则图形)，面积最大的是圆. 这其中的道理涉及更深层次的数学知识，你有兴趣去认识它们吗 学生活动： 认真听讲，思考并讨论教师提出的问题，尝试用自己的语言总结规律。活动意图说明：加深学生对所学知识的理解，拓展学生的视野，激发对更深层次数学知识的兴趣。环节三：练习巩固教师活动3： 练习 1. 如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩，设日晷基座的底面边长为x米，则下列方程正确的是(A ) A.4x(3.2+x)x3.2=144x0.82 B.4x(6.4+x)x3.2=144x0,82 C.2x(3.2+x)x3.2=144x0.82 D.2x(6.4+x)x3.2=144x0.82 2.如图，小刚将一个正方形纸片剪去一个宽为5cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么两个所剪下的长条的面积之和为(C ) A.215cm2 B.250 cm2 C.300 cm2 D.320 cm2学生活动3： 认真审题，独立或合作完成练习题目，并相互检查答案。活动意图说明：通过练习巩固所学知识，提高学生的计算能力和问题解决能力。
课堂总结 本节课我们通过学习用固定长度的铁丝围成长方形的问题，探索了在周长一定的情况下，长方形形状对其面积的影响。我们发现，当长方形变为正方形时，面积达到最大值。同时，我们还拓展到了圆形面积的问题，虽然未做深入讲解，但激发了同学们对更深层次数学知识的兴趣。希望同学们在今后的学习中，能够继续保持这种探索精神和创新意识。
作业设计 【知识技能类作业】 1.如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙(不使用铁丝)，如果设平行于围墙的一边为x米，那么可列方程(B) A.x(10-x)=15 B.(10-x)=15 C.x(10-)-15 D. (10-2x)=15 2.《孙子算经》中有一道题，原文是"今有木，不知长短,引绳度之，余绳四尺五寸;屈绳量之，不足一尺，木长几何 ”意思是:用一根绳子去量一根长木，绳子还 剩余4.5尺;将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺,问木长多少尺 设绳长x尺，可列一元一次方程为___________(x-4.5-) 3. 列一元一次方程解决实际问题:如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为6米，另一边长为a米(4
巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争．
三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧．
请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题． 解：设寺内共有 x 名僧人。
根据题意：饭的碗数 ：因为三人共食一碗饭，所以需要个碗。羹的碗数 ：因为四人共尝一碗羹，所以需要 个碗。 总碗数等于 364，因此可列方程： + =364 消分母：方程两边同乘 12（3和4的最小公倍数）：4x+3x=364×12 7x=4368 求得僧人总数：x==624经验证 与题意一致 答：僧人数为624人。
教学反思 本节课通过具体问题引入，激发了学生的学习兴趣和探索欲望。在教学过程中，我注重引导学生从实际问题中抽象出数学模型，并运用所学知识进行准确计算和推理。同时，我也注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。然而，在引导学生思考“如果将铁丝围成其他封闭平面图形（如三角形、梯形等），面积会如何变化？是否存在面积最大的图形？”最大能由于时间有限，未能充分展开讨论和验证，这在今后的教学中需要加以改进。此外，我还需要进一步加强与学生的互动交流，及时了解学生的学习情况和困难，以便更好地调整教学策略和方法。
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第五章
课标要求 内容要求： 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程:理解方程解的意义，经历估计方程解的过程； 2.掌握等式的基本性质；能解一元一次方程。 学业要求：
能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；认识方程解的意义，经历估计方程解的过程；掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形，能根据等式的基本性质解一元一次方程。
内容分析 教材从生活实例引出方程概念，如猜年龄、跑步路程问题，让学生感受方程的实用性。通过天平平衡直观呈现等式性质，为方程变形和解方程做铺垫。逐步深入讲解一元一次方程的解法，从简单方程到含分母、括号的复杂方程，符合学生认知规律。实际应用部分涵盖人员分配、工程、行程等多种问题，培养学生建模和解决问题能力。教材内容逻辑连贯，为后续学习方程相关知识奠定基础。
学情分析 学生在小学已接触简单方程，对等式有一定认识，但从算术思维向代数思维转变仍有困难。对于抽象的方程概念和等式性质，部分学生理解可能不深入。在找实际问题中的等量关系时，由于问题情境多样，学生难以准确分析。解方程过程中，移项、去分母等步骤容易出错。不过，七年级学生好奇心强，对生活中的数学问题感兴趣，利于开展教学活动。
单元目标 （一）教学目标 1.学生能阐述方程及一元一次方程概念，准确识别方程； 2.熟练掌握一元一次方程解法，能正确求解各类一元一次方程； 3.能从实际问题中找出等量关系，列出并求解方程，解决实际问题。 4.通过方程概念的形成、方程解法的探究及实际问题的解决，培养学生抽象概括、逻辑推理和数学建模能力，体会方程思想。 5.让学生感受数学与生活的联系，认识数学的应用价值，提高学习数学的积极性，培养认真严谨的学习态度。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.一元一次方程的解法，包括移项、去分母、去括号等步骤的正确运用。 2.从实际问题中分析数量关系，找出等量关系并列出一元一次方程。 教学难点： 对等式性质的理解与运用，尤其是在方程变形过程中的准确应用。 准确分析复杂实际问题中的等量关系，建立方程模型
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数5.1从实际问题到方程15.2解一元一次方程 35.3实践与探索1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1 从实际问题到方程学生能理解方程概念，掌握方程解的判断方法，学会从实际问题列方程，提升抽象思维与建模能力。观察学生课堂参与度，看能否积极举例列方程；检查练习完成情况，评估列方程的准确性；根据学生对拓展问题的思考，评价创新思维能力。1.方程概念引入：借助 “猜年龄”“跑步时间比较” 等实际问题，引导学生用字母表示未知量，根据题目中的等量关系列出含有未知数的等式，从而自然地引出方程的定义。 2.方程解的概念探究：通过尝试检验法，代入不同数值到方程中，判断等式是否成立，以此帮助学生理解方程的解的概念。5.2.1 等式的性质与方程的简单变形学生理解等式性质，掌握方程移项、系数化为 1 等变形方法，能正确进行方程简单变形。从学生对等式性质的举例和判断练习，评估对性质的理解；依据方程变形练习的正确率，评价变形方法的掌握程度；观察学生在练习中的思考过程，判断运算能力。1.等式性质探究：利用天平平衡的直观演示 2.方程变形规则推导：基于等式的性质，引导学生推导出方程的变形规则，即方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于 0 的数，方程的解不变。5.2.2 解一元一次方程 学生掌握一元一次方程定义，熟练运用步骤解方程，能解决实际问题。通过判断方程类型，考查对定义的理解；依据解方程练习的错误率和速度，评价解题能力；从实际问题的解答，评估知识应用能力。1.一元一次方程定义讲解：通过展示一系列方程，让学生观察方程的特点，归纳出一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、左右两边都是整式，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程。 2.解方程步骤教学：以不同类型的一元一次方程为例，详细讲解解方程的一般步骤，包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。5.2.3一元一次方程的实际应用掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤；用列方程解实际问题(代数方法)比用算术方法解的优越性． 2.通过分析找出实际问题中的等量关系，并根据等量关系列出方程．1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤． 2.找出实际问题中的等量关系，并根据等量关系列出方程． 活动一：通过问题情景引入新课，鼓励学生观察天平的操作探索新知. 活动二：学习例题6和7，进一步加深对解方程应用题的步骤进行理解和掌握．5.3 实践与探索 学生学会分析数量关系、建模解题，培养合作探究和创新思维，体会数学应用价值。观察小组讨论参与度，评价合作能力；从拓展问题的解答，评估创新思维；通过学生总结反思，了解对解题方法的掌握和应用意识。1.问题探究与解决：针对课本中的实践问题，如用铁丝围长方形、不同年级捐款问题等，引导学生分析问题中的数量关系，设出合适的未知数，找出等量关系并列出方程 2.拓展与延伸：对实践问题进行拓展和延伸，如改变问题中的条件或数据，让学生重新思考和解决问题
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第五章 一元一次方程
5.3实践与探索
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
新知巩固
05
课堂练习
06
课后作业
01
教学目标
学生能够理解并掌握在周长一定的情况下，长方形形状对其面积的影响；能够运用所学知识解决实际问题。
01
通过动手操作、小组讨论等方式，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力；通过比较、分析等方法，培养学生解决问题的逻辑思维能力。
02
02
新知导入
问题1 用一根长60cm的铁丝围成一个长方形.
如果长方形的宽是长的 ，求这个长方形的长和宽；
如果长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积；
比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗
02
新知导入
(1) 如果长方形的宽是长的 ，求这个长方形的长和宽；
解：(1) 设长方形的长为 xcm，宽为 xcm。
根据长方形的周长公式，有：2(x+x)=60
去括号：2×x=60
x=60
x=18
将 x=18 代入宽 x，得宽为 12cm。
答：这个长方形的长为 18cm，宽为 12cm。
02
新知导入
(2) 如果长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积；
解：设长方形的长为 xcm，宽为 (x 4)cm。
根据长方形的周长公式，有：2(x+x 4)=60
去括号：4x 8=60
移相：4x=68
x=17
将 x=17 代入宽 x 4，得宽为 13cm。
长方形的面积为：17×13=221cm2
答：这个长方形的面积为 221cm2
02
新知导入
(3) 比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗
是一个正方形
02
新知导入
讨论 每小题中如何设未知数 在小题(2)中，能不能直接设长方形的面积为xcm 若不能，该怎么办
不能直接设长方形的面积为xcm ，应该根据题目给出的其他条件选择能够直接和这些条件建立联系的未知数进行设定。
02
新知导入
探索 将小题(2)中的宽比长少4cm改为少3cm、2cm、 1cm、0cm(即变为正方形)，长方形的面积有什么变化 请你和同学讨论一下你的看法。
02
新知导入
1.宽比长少3cm：
宽为 x 3cm
周长仍为 60cm，因此 2(x+x 3)=60
解得 x=16.5，宽为 13.5cm
面积 S1 =16.5×13.5=222.75cm2
02
新知导入
2.宽比长少2cm：
宽为 x 2cm
周长仍为 60cm，因此 2(x+x 2)=60
解得 x=16，宽为 14cm
面积 S2 =16×14=224cm2
02
新知导入
3.宽比长少1cm：
宽为 x 1cm
周长仍为 60cm，因此 2(x+x 1)=60
解得 x=15.5，宽为 14.5cm
面积 S3 =15.5×14.5=224.75cm2
02
新知导入
4.宽和长相等（即变为正方形）：
宽为 xcm
周长仍为 60cm，因此 2(x+x)=60
解得 x=15，宽也为 15cm
面积 S4 =15×15=225cm2
02
新知导入
探索 将小题(2)中的宽比长少4cm改为少3cm、2cm、 1cm、0cm(即变为正方形)，长方形的面积有什么变化 请你和同学讨论一下你的看法。
通过比较这四个面积 S1,S2,S3,S4，我们可以发现：
当宽比长少的厘米数从4cm减少到0cm（变为正方形）时，长方形的面积逐渐增大。
特别是当长方形变为正方形时，面积达到最大值 225cm2。
02
新知导入
在问题1中，通过探索我们发现，在周长一定的情况下，长方形的长和宽越接近，面积就越大. 实际上，当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大. 通过以后的学习，我们就会知道其中的道理.
有趣的是：若把这根铁丝围成任意封闭的平面图形(包括随意凹凸的不规则图形)，面积最大的是圆. 这其中的道理涉及更深层次的数学知识，你有兴趣去认识它们吗
读一读
03
练习巩固
如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框。已知铺这个框恰好用了1
44块边长为0.8米的正方形花岗岩，设日晷基座的底面边长为x米，则下列方程正确的是( )
练习1
A.4x(3.2+x)x3.2=144x0.82
B.4x(6.4+x)x3.2=144x0,82
C.2x(3.2+x)x3.2=144x0.82
D.2x(6.4+x)x3.2=144x0.82
A
03
练习巩固
如图，小刚将一个正方形纸片剪去一个宽为5cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么两个所剪下的长条的面积之和为( )
练习2
A.215cm2
B.250 cm2
C.300 cm2
D.320 cm2
C
06
课后作业
【知识技能类作业】必做题：
1.如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的
一边靠墙(不使用铁丝)，如果设平行于围墙的一边为x米，那么可列
方程( )
A.x(10-x)=15
B.(10-x)=15
C.x(10-)-15
D. (10-2x)=15
B
【知识技能类作业】必做题：
2.《孙子算经》中有一道题，原文是"今有木，不知长短,引绳度之，
余绳四尺五寸;屈绳量之，不足一尺，木长几何 ”意思是:用一根绳
子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木，长木还
剩余1尺,问木长多少尺 设绳长x尺，可列一元一次方程为___________
06
课后作业
答案：x-4.5-
3. 列一元一次方程解决实际问题:如图，李明计划安装由六块相同的长
方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为6米，另一边长为a米(4玻璃上方安装了两张半径为2米的相同的扇形遮光帘.某厂家现有工人
50人，平均每人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为使每天生
产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的
工人各多少名
06
课后作业
分析：假设安排生产长方形玻璃的工人为( x )名，则生产遮光帘的工
人为( 50 - x )名。
每个生产长方形玻璃的工人每天可生产8块玻璃，因此( x )名工人每天
生产的玻璃数量为( 8x )块。
每个生产遮光帘的工人每天可生产4张遮光帘，因此( 50 - x )名工人
每天生产的遮光帘数量为( 4×(50 - x) )张。
06
课后作业
解：根据题目要求，每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍，因此可
以列出方程：8x=3×4×(50 x)
去括号：8x=12×(50 x)
8x=600 12x
8x+12x=600
20x=600
解得：x=30 生产遮光帘的工人:50 - 30 = 20 (名)
答：应安排生产长方形玻璃的工人30名，生产遮光帘的工人 20 名。
06
课后作业
【知识技能类作业】选做题：
4.《算法统宗》中有这样一首诗：
巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争．
三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧．
请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题．
06
课后作业
解：设寺内共有 x 名僧人。
根据题意：饭的碗数 ：因为三人共食一碗饭，所以需要个碗。
羹的碗数 ：因为四人共尝一碗羹，所以需要 个碗。
总碗数等于 364，因此可列方程： + =364
去分母：方程两边同乘 12（3和4的最小公倍数）：4x+3x=364×12
7x=4368
求得僧人总数：x==624（经验证 与题意一致）
答：僧人数为624人。
06
课后作业
Thanks!
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